밀스 상수 문서 원본 보기

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'''밀스 상수'''는 [[수학 상수]]로, 모든 [[자연수]] <math>n</math>에 대해 다음 수식의 값이 모두 [[소수 (수론)|소수]]가 되도록 하는 가장 작은 양의 [[실수]] <math>A</math>를 가리킨다.
: <math>a(n) = \lfloor A^{3^n} \rfloor</math>

단, 여기서 <math>\lfloor x \rfloor</math>는 [[바닥 함수]]이다. 밀스 상수의 존재는 [[윌리엄 밀스]]가 [[소수 간극]]에 대한 [[귀도 호아이젤]] 등의 연구를 바탕으로 [[1947년]]에 처음으로 증명했으나, 밀스 상수가 [[무리수]]인지의 여부는 아직 알려져 있지 않다. (가장 작은) 밀스 상수의 값은 다음과 같으며,
: <math>A \approx 1.30637788386308069046\cdots</math> {{OEIS|A051021}}

이 <math>A</math>에 대해서 <math>a(n)</math>의 값은 처음 11개가 알려져 있다. 그 다음 값은 [[유사소수]]로 아직 소수임이 확정되지 않은 상태이다. 이들은 '''밀스 소수'''라 불리며, 표현의 편의를 위해 <math>\Delta a(n) = a(n+1) - a(n)^3</math>으로 정의하면 그 값은 다음과 같다.
: <math>a(n)</math> = 2, 11, 1361, 2521008887, 16022236204009818131831320183, … {{OEIS|A051254}}
: <math>\Delta a(n)</math> = 3, 30, 6, 80, 12, 450, 894, 3636, 70756, 97220, (66768), … {{OEIS|A108739}}

알려진 가장 큰 밀스 소수 <math>a(11)</math>은 십진법으로 20,562자리로, 2007년 기준으로 [[타원 곡선 소수성 증명]](ECPP) 알고리즘으로 증명된 가장 큰 소수이다.<ref>[http://listserv.nodak.edu/cgi-bin/wa.exe?A2=ind0606&L=nmbrthry&T=0&P=159 NMBRTHRY 메일링 리스트]</ref>

== 계산법 ==
밀스는 상수의 존재만을 증명했을 뿐 그 값을 보이지는 않았다. 이후에 조건을 만족하는 <math>A</math>의 값은 무한히 많으며, 그 집합은 [[비가산집합]]이라는 것이 증명되었지만<ref>Wright, E. M., "A class of representing functions," ''J. London Math. Soc.'', '''29''' (1954) 63--71.</ref> 역시 직접적으로 값을 계산할 수 있는 것은 아니었다.

밀스 소수의 마지막 항 <math>a(i)</math>가 알려져 있을 경우, 그 다음 항 <math>a(i+1)</math>은 <math>a(i)^3</math>보다 큰 가장 작은 소수를 찾는 것으로 계산할 수 있다. 다만 이는 모든 연속된 정수의 [[거듭제곱|세제곱]] 사이에는 항상 소수가 존재한다는 가정이 필요한데, 현재까지는 <math>10^{6 \cdot 10^{18}}</math>까지의 숫자에 대해서만 이 가정이 성립함이 알려져 있을 뿐이다.

이 방법을 사용해서 [[2005년]]에 C. Caldwell과 Y. Cheng은 [[리만 가설]]이 참이라는 가정 하에 밀스 상수를 [[소수점]] 약 7000자리까지 계산하였다. 리만 가설이 참이 아닐 경우 이 방법으로 밀스 상수를 직접 계산하는 것은 불가능하며, 다른 알려진 계산법이 없기 때문에 밀스 상수를 더 큰 소수의 발견에 사용하는 것은 힘들다.

== 각주 ==
<references/>

== 외부 링크 ==
* {{매스월드|title=Mills' Constant|id=MillsConstant}}
* [http://primes.utm.edu/notes/MillsConstant.html 밀스 상수의 첫 6000자리] (단, 리만 가설이 참일 경우)

{{전거 통제}}

[[분류:수학 상수]]
[[분류:소수]]
[[분류:수학의 미해결 문제]]