밀도 다발 문서 원본 보기

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[[미분기하학]]에서 '''밀도 다발'''(密度-, {{llang|en|density bundle}})은 [[적분]]을 정의할 수 있는 [[단면 (올다발)|단면]]들을 갖는 [[선다발]]이다.

== 정의 ==
<math>n</math>차원 [[매끄러운 다양체]] <math>M</math> 및 양의 실수 <math>s\in\mathbb R^+</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 실수 [[일반선형군]] <math>\operatorname{GL}(n;\mathbb R)</math>는 다음과 같은 자명한 1차원 표현을 갖는다.
:<math>\rho\colon\operatorname{GL}(n;\mathbb R)\to\mathbb R^+</math>
:<math>\rho\colon A\mapsto|\det A|^{-s}</math>
여기서 우변은 양의 실수의 곱셈군 <math>(\mathbb R^+,\cdot)</math>의 원소이다.

그렇다면 이 표현에 대한 [[연관 다발]]을 정의할 수 있다. 이를 '''<math>s</math>-밀도 다발'''({{llang|en|<math>s</math>-density bundle}})이라고 하며, <math>|\Lambda|^s(TM)</math>이라고 쓴다. 만약 <math>s=1</math>일 경우, '''밀도 다발'''이라고 한다. <math>s</math>-밀도 다발의 [[단면 (올다발)|단면]]을 '''<math>s</math>-밀도'''라고 한다.<ref>{{서적 인용|제목=Fundamentals of differential geometry|이름=Serge|성=Lange|저자링크=서지 랭|doi=10.1007/978-1-4612-0541-8|isbn=978-0-387-98593-0|출판사=Springer-Verlag|총서=Graduate Texts in Mathematics|권=191|issn=0072-5285|날짜=1999|url=https://archive.org/details/springer_10.1007-978-1-4612-0541-8|언어=en}}</ref>{{rp|468–470, §XVI.4}}

[[텐서 다발]]과 밀도 다발의 텐서곱을 '''텐서 밀도 다발'''({{llang|en|tensor density bundle}})이라고 하고, 그 단면을 '''텐서 밀도'''({{llang|en|tensor density}})라고 한다.

=== 미분 형식과의 관계 ===
[[유향 다양체]] <math>M</math>의 경우, 밀도 다발은 최고차 [[미분 형식]]들의 다발 <math>\Omega^nM</math>과 표준적으로 동형이다. (이 동형은 다양체의 [[방향 (다양체)|방향]]에 의존한다.) 즉, 이 경우 밀도는 최고차 [[미분 형식]]과 같은 개념이다. 그러나 [[가향 다양체]]가 아닌 경우 이러한 동형은 존재하지 않는다.

=== 리만 다양체의 밀도 다발 ===
[[리만 다양체]] <math>(M,g)</math>는 표준적인 밀도를 가지며, 이를 '''부피 밀도'''({{llang|en|volume density}})라고 한다. 국소적으로, 이는 [[부피 형식]]의 절댓값과 같다.

== 연산 ==
<math>s_1</math>-밀도와 <math>s_2</math>-밀도는 곱할 수 있으며, <math>s_1+s_2</math>-밀도를 얻는다. 어느 곳에서나 0이 아닌 <math>s</math>-밀도는 역수를 취할 수 있으며, 이는 <math>-s</math>-밀도이다.

두 <math>s</math>-밀도는 더할 수 있으며, <math>s</math>-밀도를 얻는다.

=== 적분 ===
다양체 위의 1-밀도는 (적절한 수렴 조건이 충족된다면) [[적분]]을 취할 수 있다. 
[[매끄러운 다양체]] <math>M</math>의 국소 좌표계 <math>(U_\alpha,\phi_\alpha\colon U_\alpha\to\mathbb R^n)</math>에서, 밀도 <math>f</math>의 적분은 다음과 같다.
:<math>\int_{U_\alpha} f = \int_{\phi_\alpha(U_\alpha)} t_\alpha\circ f\circ\phi_\alpha^{-1}d\mu</math>
여기서 <math>\mu</math>는 [[유클리드 공간]] <math>\mathbb R^n</math> 위의 [[르베그 측도]]이다. 두 국소 좌표계의 교집합 <math>U_\alpha\cap U_\beta</math>에서, 밀도의 적분은 사용한 국소 좌표계에 의존하지 않는다는 것을 보일 수 있다. 그렇다면 <math>M</math> 전체에서의 적분은 가법적(加法的)으로 정의할 수 있다.

== 응용 ==
[[등각기하학]]에서, [[등각 계량]]은 2차 텐서 밀도를 이룬다.

== 참고 문헌 ==
{{각주}}

== 같이 보기 ==
* {{eom|title=Tensor density}}
* {{매스월드|id=TensorDensity|title=Tensor density}}
* {{매스월드|id=Pseudotensor|title=Pseudotensor}}
* {{nlab|id=density|title=Density}}

{{전거 통제}}

[[분류:미분기하학]]