민코프스키 부등식 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
'''민코프스키 부등식'''({{llang|de|Minkowski-Ungleichung}}, Minkowski inequality, -不等式) 또는 '''민코프스키 삼각 부등식'''(-三角不等式)은 [[독일]]의 [[유대인|유대계]] [[수학자]]인 [[헤르만 민코프스키]]가 제시한 [[부등식]]이다. 크게 세 가지 형식으로 사용되는데, [[횔더 부등식]] 및 [[토넬리의 정리]]에 의해 유도할 수 있다. 또한 민코프스키 부등식은 [[하디의 부등식]] 등 여러 가지 부등식을 증명하는 데 이용되기도 한다.

== 대수적 형태 ==
1≤p≤∞일 때 임의의 실수 <math>x_1, ..., x_n</math> 와 <math>y_1, ..., y_n</math>에 대해 민코프스키 부등식의 대수적 형태는 다음과 같이 쓸 수 있다. 이는 가장 초등적인 형태이다.<ref>류한영 외, 《한국수학올림피아드 바이블 2》, 도서출판 세화, 2008, 79쪽.</ref>

* <math>\left( \sum_{k=1}^n |x_k + y_k|^p \right)^{1/p} \le \left( \sum_{k=1}^n |x_k|^p \right)^{1/p} + \left( \sum_{k=1}^n |y_k|^p \right)^{1/p}.</math>

이는 아래의 형태에서 [[셈측도]] 공간에 대해 쓴 꼴이다.

== <math>L_p</math> 공간의 형태 ==
1<p<∞일 때 [[측도]] μ가 주어진 [[측도 공간]] X에 대하여 f, g가 X에서 [0, ∞]로 가는 [[가측 함수]]일 때, 측도 μ에 대한 <math>L_p</math> 공간 <math>L_p(\mu)</math>에서는 민코프스키 부등식을 다음과 같이 쓸 수 있다.<ref name="Rudin">{{서적 인용
|성=Rudin
|이름=Walter
|제목=Real and Complex Analysis
|언어=en
|판=3판
|출판사=McGraw-Hill
|날짜=1987
|isbn=978-0-07-054234-1
|mr=0924157
|zbl=0925.00005
|url=http://www.mcgraw-hill.com.sg/html/9780070542341.html
|확인날짜=2014-10-06
|보존url=https://web.archive.org/web/20141006084256/http://www.mcgraw-hill.com.sg/html/9780070542341.html
|보존날짜=2014-10-06
|url-status=dead
}}</ref>{{rp|63}}

* <math>\|f+g\|_p \le \|f\|_p + \|g\|_p.</math>

이 형태 때문에 이 부등식이 민코프스키 [[삼각 부등식]]이라 불리는 것이다. 이를 이용하면 <math>L_p(\mu)</math> 가 [[복소수|복소]][[벡터 공간]]이 된다는 것은 분명하다.

== 적분 형태 ==
(X, m, μ)와 (Y, n, ν)를 σ-유한 [[측도 공간]]이라 하고 F를 X×Y 위에서 정의된 m×n [[가측 함수]]라 하자. 그러면 1≤p<∞인 경우 다음과 같은 적분 형태 민코프스키 부등식이 성립한다. 이 부등식은 '민코프스키 적분부등식'이라고도 한다.<ref>방현수, 《실해석 & 함수해석학》, 교우사, 2002, 258-259쪽.</ref>

* <math>\left[\int_{X}\left(\int_{Y}F(x,y)\,d\nu(y)\right)^pd\mu(x)\right]^{1/p} \le \int_{Y}\left(\int_{X}F(x,y)^p\,d\mu(x)\right)^{1/p}d\nu(y).</math>

위에서 p=1인 경우 이 부등식은 [[토넬리의 정리]]에서 바로 증명된다. 따라서 증명은 1<p에 대해 하면 된다. 이 정리를 증명하기 위해서는 토넬리의 정리와 횔더 부등식을 사용해야 하는데, 기본적으로는 앞의 형태들과 유사한 아이디어를 사용한다.

== 같이 보기 ==
* [[삼각 부등식]]
* [[횔더 부등식]]
* [[하디의 부등식]]
* [[말러의 부등식]]

== 각주 ==
{{각주}}

== 참고 문헌 ==
* 류한영 외, 《한국수학올림피아드 바이블 2》, 도서출판 세화, 2008
* Walter Rudin (1987), ''Real and complex analysis'', McGraw-Hill, {{ISBN|0-07-100276-6}}
* 방현수, 《실해석 & 함수해석학》, 교우사, 2002

[[분류:부등식]]
[[분류:대수학]]
[[분류:해석학 (수학)]]
[[분류:함수해석학]]
[[분류:바나흐 공간]]