민코프스키 공간 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[수리물리학]]에서 '''민코프스키 시공간'''({{llang|en|Minkowski spacetime}})은 [[아인슈타인]]의 [[특수 상대성 이론]]을 잘 기술하는 [[시공간]]의 수학적 모델이다. 이 공간에서는 일반적인 3차원 공간(장소)과 1차원의 [[시간]]이 서로 조합되어 [[시공간]]의 4차원 [[다양체]]를 표현하여 기하학적으로 통합된 관점으로 다룬다. 수학에서 '''민코프스키 공간'''({{llang|en|Minkowski space}})은 [[선형 공간]] <math>\mathbb R^4</math>에 특정한 [[쌍선형 형식]]</br>
<math>\eta= \begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}</math></br>가 주어진 수학적 구조 <math>(\mathbb R^4, \eta)</math>이다. 또한 간단한 [[준 리만 다양체]]의 예시이기도 하다.

이 공간의 이름은 이 공간을 도입한 독일의 수학자 [[헤르만 민코프스키]]에서 따왔다.

4차원 유클리드 공간과 민코프스키 공간은 모두 4차원 공간이지만, 두 공간에 주어진 [[거리공간|거리]]가 다르다.(민코프스키 공간에 주어진 거리는 사실 거리의 성질을 모두 가지지는 않는다.) 민코프스키 공간은 물리적으로 물체들이 움직이는 공간으로 해석되는 3차원과 물리적으로 시간으로 해석되는 차원을 하나 가지고 있다. 이 두 차원은 물리학적으로 다른 의미를 가진다. 유클리드 공간의 [[대칭군 (기하학)|대칭군]]은 [[유클리드 군]], 민코프스키 공간의 대칭군은 [[푸앵카레 군]]에 속한다.

== 역사 ==
1907년 독일 수학자 [[헤르만 민코프스키]]가 도입하였다.
<ref>Minkowski, Hermann (1907–1908), "Die Grundgleichungen für die elektromagnetischen Vorgänge in bewegten Körpern" [The Fundamental Equations for Electromagnetic Processes in Moving Bodies], Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse: 53–111</ref> 처음에는 [[전자기학]]의 [[맥스웰 방정식]]에 어울리는 배경을 만들고자 연구를 시작하였으나, 특수 상대성 이론이 알려지면서 민코프스키는 자신의 연구성과가 특수 상대성 이론을 가장 잘 형식화하는 일임을 깨달았다. 이는 우연의 일치는 아닌데, 왜냐면 특수 상대성 이론 자체가 [[맥스웰 방정식]]과 [[갈릴레이 변환]]의 불협화음을 해소하고자 하는 바람에서 연구되었고 결정적 단서들을 제공했기 때문이다.

[[헤르만 민코프스키|민코프스키]]는 시간과 공간(장소)를 따로 보는 관념은 그림자처럼 사라지고 '''시공간 통일체'''만이 독립적 실체로 남을 것이라고 하였다.<ref>Minkowski, Hermann (1908–1909), "Raum und Zeit" [Space and Time], Physikalische Zeitschrift, 10: 75–88</ref> 시간과 장소를 기하학적으로 밀접하게 통합한 최초의 사례이자 ''[[시공간]]의 (비 유클리드)기하학''이라는 화두를 던짐으로써 물리학적 패러다임 전환을 이뤄내었고 인류가 시공간에 대한 더 깊은 이해를 하도록 이끌었다.

또한 수학자들이 [[비 유클리드 기하학]]을 만든지 약 100년 동안 수학밖에서 아무런 연관이 없었는데, [[민코프스키 공간]]은 [[비 유클리드 기하학]]이 최초로 수학이 아닌 곳과 깊은 연관성을 보인 사례이기도 하다.

민코프스키의 업적이 알려지기 시작하였을 때 [[알베르트 아인슈타인]]은 논문을 통해 공식적으로 회의적 시각을 드러내었고, ''불필요한 박식함''이라고 무시하기도 했다.<ref>Space and Time (2011), translated by Fritz Lewertoff and Vesselin Petkov, in: Space and Time: Minkowski's papers on relativity (Minkowski Institute Press, Montreal 2012), pp. 39-55 Link: http://minkowskiinstitute.org/mip/MinkowskiFreemiumMIP2012.pdf{{깨진 링크|url=http://minkowskiinstitute.org/mip/MinkowskiFreemiumMIP2012.pdf }}</ref> 그러나 [[일반 상대성 이론]]을 연구하면서 민코프스키의 기하학적 접근이 필수적임을 깨닫게 되었다고 한다. 실제로, [[일반상대성 이론]]에서 [[시공간]]은 휘어진 민코프스키 시공간으로 본다.

== 구조 ==
민코프스키 공간은 [[계량 부호수]]가 <math>(-,+,+,+)</math>인 [[비퇴화 쌍선형 형식]]이 갖추어진 4차원 [[실수]] [[벡터 공간]]이다. (간혹, (+,−,−,−)를 부호수로 사용하기도 한다.) 바꿔 말하면, 민코프스키 공간은 k = 3인 4차원 [[유사 유클리드 공간]]이다. 기호로는
계량 부호수를 강조하기 위해 '''R'''<sup>1,3</sup>으로 나타낸다. 또한, '''M'''<sup>4</sup> 또는 간단히 '''M'''으로 표기하기도 한다.

민코프스키 공간의 원소는 '''사건''' 또는 [[사차원 벡터]]라고 불린다. 민코프스키 공간은 [[준 리만 다양체]]중 가장 간단한 예 중의 하나이다.

=== 민코프스키 내적 ===
이 내적은 유클리드 공간의 [[내적]]과 비슷하지만 민코프스키 공간의 [[상대성이론]]과 관련된 다른 기하학을 기술하기 위해 다른 점이 있다. '''M'''을 4차원 실수 [[벡터 공간]]이라 하자. 민코프스키 내적은 다음과 같은 성질을 만족하는 사상 η: ''M'' × ''M'' → '''R'''이다. (즉, 주어진 공간 '''M'''의 임의의 두 벡터 '''v''', '''w'''에 대해 실수를 주는 함수 η('''v''','''w''')를 정의할 수 있다.)

임의의 실수 a와 민코프스키 공간의 벡터 ''u'', ''v'', ''w''에 대해,
{|
|-valign="top"
|1.||width="25%"|[[쌍선형 형식|쌍선형성]]
|η(''au'' + ''v'', ''w'') = ''a''η(''u'', ''w'') + η(''v'', ''w'')
|-valign="top"
|2.||[[대칭성]]
|η(''v'',''w'') = η(''w'',''v'')
|-valign="top"
|3.||[[비겹침성]]
|η(''v'',''w'') = 0 이면 '''v''' = 0.
|}

민코프스키 내적은 [[양의 정부호]]가 아니기 때문에, 엄밀히 말하면 내적이 아니다. 즉, 벡터 '''v'''의 '''민코프스키 노름'''은 ||'''v'''||<sup>2</sup> = η(''v'',''v'')로 표현은 하지만, 항상 양수일 필요는 없다. 이 양의 정부호 조건은 조금 더 약한 조건인 비겹침성으로 대체될 수 있다. (모든 양의 정부호 형태는 비겹침이지만, 역은 거짓이다.) 이러한 내적은 부정({{lang|en|indefinite}})이라고 한다.

[[유클리드 공간]]에서처럼, 두 벡터 '''v''', '''w'''가 η('''v''', '''w''') = 0 을 만족하면 두 벡터는 [[직교]]하다라고 한다. 여기에는 민코프스키 공간의 [[패러다임의 전환]]이 들어있는데, η('''v''', '''w''') < 0 인 [[쌍곡적 직교]]인 사건들이 그것이다.
이 새로운 패러다임으로의 전환은 일반적인 [[복소평면]]의 유클리드 구조와 [[분할 복소수]]의 구조가 비교 되면서 명백해졌다.

민코프스키 공간에서 [[단위 벡터]]는 η('''v''','''v''') = ±1 을 만족하는 벡터 '''v'''를 말한다. 또한, 상호적으로 직교인 단위벡터로 구성된 민코프스키 공간의 기저는 [[정규 직교 기저]]라 불린다.

다음과 같은 정리가 있다 : 위 조건을 만족하는 아무 [[내적 공간]]이나 항상 [[정규 직교 기저]]를 가진다.
게다가 이 정리는 어떤 기저에서 양의 단위벡터와 음의 단위 벡터의 수는 고정되어 있음을 말한다. 이 수의 짝을 내적의 '''부호수'''라 한다.

그러면, <math>\eta</math>에 대한 네 번째 조건은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

{|
|-valign="top"
|4.||width="25%"|''부호수''
|[[쌍선형 형식]] η 는 <code>(-,+,+,+)</code>를 부호수로 갖는다.
|}

=== 표준 기저 ===
민코프스키 공간의 표준 [[기저]]는 상호적으로 직교인 다음과 같은 4개의 벡터(<math>\mathbf e_0, \mathbf e_1, \mathbf e_2, \mathbf e_3</math>)이다.
:<math>-(\mathbf{e}_0)^2 = (\mathbf{e}_1)^2 = (\mathbf{e}_2)^2 = (\mathbf{e}_3)^2 = 1</math>
이 조건은 다음과 같이 간단히 나타낼 수 있다.
:<math>\langle \mathbf{e}_\mu , \mathbf{e}_\nu \rangle = \eta_{\mu\nu} </math>
여기서 <math>\mu, \nu</math>는 (0, 1, 2, 3)중 하나의 숫자를 갖는 인덱스를 뜻하고 행렬 <math>\eta</math>은 다음과 같이 주어진다.
:<math>\eta = \begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}</math>
이 표준 기저를 사용해 벡터 <math>\mathbf v</math>의 성분은 보통 <math>(v_0, v_1, v_2, v_3)</math>로 쓴다. 또한, [[아인슈타인 표기법]]을 사용하면 간단히 이 성분들을 <math>\mathbf v = v^\mu \mathbf e_\mu</math>로 나타낼 수 있다. 성분 <math>v^0</math>는 <math>\mathbf v</math>의 '''시간적 성분'''이라고 말하고, 나머지 3개의 성분은 '''공간적 성분'''이라 말한다.

성분을 사용해 두 벡터 <math>\mathbf{v, w}</math>의 민코프스키 내적을 표현하면 다음과 같다. 중간부분에는 [[아인슈타인 표기법]]이 사용되었다.
:<math>\langle \mathbf{v} , \mathbf{w} \rangle = \eta_{\mu\nu}v^\mu w^\nu = - v^0 w^0 + v^1 w^1 + v^2 w^2 + v^3 w^3 </math>
벡터 <math>\mathbf v</math>의 민코프스키 노름에 제곱을 취한것도 다음과 같이 성분으로 나타낸다.
:<math>||\mathbf{v}||^2 =  \eta_{\mu\nu}v^\mu v^\nu = - v^0 v^0 + v^1 v^1 + v^2 v^2 + v^3 v^3 </math>

== 각주 ==
{{각주}}
== 같이 보기 ==
* [[특수 상대성 이론]]
* [[인과 구조]]
* [[막스 플랑크]]의 [[플랑크 벽]](Planck wall)
* [[준 리만 다양체]]
* [[헤르만 민코프스키]]
* [[시공간 대수]]
* [[복소 시공간]]

{{상대론}}

{{전거 통제}}

[[분류:물리학 방정식]]
[[분류:기하학]]
[[분류:민코프스키 시공간| ]]
[[분류:로런츠 다양체]]
[[분류:특수 상대성이론]]
[[분류:일반 상대성 이론의 엄밀해]]
[[분류:헤르만 민코프스키]]