믹스마스터 우주 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[일반 상대성 이론]]에서 '''믹스마스터 우주'''(Mixmaster宇宙, {{llang|en|Mixmaster universe}})는 SU(2) 대칭을 갖는, [[아인슈타인 방정식]]의 진공해이다.<ref name="Misner"/><ref name="Pontzen">{{저널 인용|제목=Bianchi universes|이름=Andrew|성=Pontzen|doi=10.4249/scholarpedia.32340|저널=Scholarpedia|권=11|호=4|쪽=32340|issn=1941-6016|날짜=2016|언어=en}}</ref> 이는 [[혼돈 이론|혼돈적]] 성질을 보인다.

== 정의 ==
=== 가설 풀이 ===
'''믹스마스터 우주'''는 위상 공간으로서 <math>M=\mathbb S^3\times\mathbb R</math>이다. 여기서 3차원 [[초구]] <math>\mathbb S^3</math>는 공간 방향이며, <math>\mathbb R</math>는 시간 방향이다. <math>\mathbb S^3</math> 위에 표준적인 [[구면 좌표계]] <math>(\theta,\psi,\phi)</math>를 주자.

[[초구]] <math>\mathbb S^3</math> 위의 세 1차 [[미분 형식]]
:<math>\sigma_1 = \sin \psi \mathrm d\theta - \cos\psi \sin\theta\mathrm d\phi</math>
:<math>\sigma_2 = \cos \psi \mathrm \theta + \sin\psi \sin\theta\mathrm d\phi</math>
:<math>\sigma_3 = -\mathrm d\psi - \cos\theta\mathrm d\phi</math>
을 부여할 수 있으며, 이는
:<math>\mathrm d\sigma_i=\frac12\epsilon_{ijk}\sigma_j\wedge\sigma_k</math>
를 만족시킨다.

이제, <math>M</math> 위의 다음과 같은 (부호수 &minus;+++의) [[리만 계량]] [[가설 풀이]]를 생각하자.
:<math>\mathrm ds^2=-\mathrm dt^2+\sum_{i=1}^3\left(L_i(t)\right)^2\sigma_i^2</math>
이 [[가설 풀이]]는 [[비안키 분류]] Ⅸ형의 일반형이며, <math>\mathbb S^4</math>의 <math>\operatorname{SO}(4)\cong(\operatorname{SU}(2)\times\operatorname{SU}(2))/(\mathbb Z/2)</math> 대칭 가운데 하나의 <math>\operatorname{SU}(2)</math>만을 보존한다. 이 [[가설 풀이]]는 세 개의 미지의 함수 <math>L_1(t),L_2(t),L_3(t)</math>를 갖는다. 이들은 편의상 우주의 팽창을 나타내는 함수 (<math>L_i</math>의 [[자연 로그]]의 [[산술 평균]] × &minus;1)
:<math>\Omega(t)=-\frac13\left(\ln L_1(t)+\ln L_2(t)+\ln L_3(t)\right)</math>
와 우주의 비등방성을 나타내는 두 함수
:<math>\beta_+(t)=\Omega(t)-\ln(L_3(t))</math>
:<math>\beta_-(t)=\frac1{\sqrt3}\ln\frac{L_1(t)}{L_2(t)}</math>
로 다시 쓸 수 있다. <math>\Omega</math>는 대략 우주의 너비의 로그 ×&minus;1에 해당하며, <math>\Omega</math>가 더 클 수록 우주의 부피가 더 작다 (즉, [[빅뱅]]은 <math>\Omega\to\infty</math> 극한이다). 마찬가지로, <math>\beta_\pm</math>가 (양 또는 음으로) 0에서 더 멀 수록 우주는 더 일그러진 모양을 한다. 만약 <math>\beta_+=\beta_-=0</math>인 경우 (등방적 우주) 이는 [[프리드만-르메트르-로버트슨-워커 계량]]이 된다.

=== 동역학 ===
이제, [[아인슈타인 방정식]]을 <math>\Omega(t)</math>와 <math>\beta_\pm(t)</math>에 대하여 적용할 수 있다. 사실, 일단 <math>\beta_\pm</math>(우주의 모양)을 <math>\Omega(t)</math>(우주의 크기)의 함수로 우선 풀 수 있다. 편의상 [[에너지-운동량 텐서]]와 [[우주 상수]]가 0이라고 가정하자 (즉, [[리치 곡률]]이 0이라고 하자).

이제, <math>\Omega\to+\infty</math> 극한([[빅뱅]] 근처)에서, [[아인슈타인 방정식]]은 다음과 같은 두 방정식이 된다.<ref name="Misner"/>{{rp|1072, (5), (6)}}
:<math>4=\left(\frac{\mathrm d\beta_+}{\mathrm d\Omega}\right)^2+\left(\frac{\mathrm d\beta_-}{\mathrm d\Omega}\right)^2+4\Lambda(t)^{-1}\exp(-4\Omega(t))V(\beta_+,\beta_-)</math>
:<math>\frac{\mathrm d\Lambda}{\mathrm d\Omega}=-4\Lambda^{-1}\exp(-4\Omega(t))V(\beta_+,\beta_-)</math>
(첫째 식에 의하여 <math>\Lambda(t)</math>를 정의할 수 있다.) 둘째 식에 의하여, <math>\Lambda</math>는 <math>\Omega\gg1</math>일 때 거의 변화하지 않는다.

즉, 이 경우 <math>\Omega</math>를 일종의 "시간"으로 간주하고, <math>\vec\beta=(\beta_+,\beta_-)</math>를 일종의 "위치"로 간주한다면, 이는 시간 의존 [[라그랑지언]]<ref name="Misner"/>{{rp|1072, (7)}}
:<math>L(\beta_+,\beta_-;\Omega)=\frac12\sqrt{\Lambda(\Omega)}\dot{\boldsymbol\beta}^2-\frac{2V(\beta_+,\beta_-)}{\sqrt{\Lambda(\Omega)}\exp(4\Omega)}</math>
에 의하여 묘사된다. (이 라그랑지언에서 <math>\Lambda</math>는 오직 <math>\Omega</math>만의 함수로 간주한다.)
여기서 퍼텐셜 <math>V(\beta)</math>는 다음과 같다.<ref name="Misner"/>{{rp|1072, (8)}}
:<math>V(\beta_+,\beta_-)=1+\frac13\exp(-4\beta_+)-\frac43\exp(-\beta_+)\cosh(\sqrt3\beta_-)+\frac23\exp(2\beta_+)\left(\cosh\left(2\sqrt3\beta_-\right)-1\right)</math>
이 퍼텐셜의 벽은 매우 가파르게 증가한다. 시간 의존 "질량"에 해당하는 <math>\Lambda(\Omega)^2</math>가 우주 초기(<math>\Omega\gg1</math>)에는 매우 천천히 변한다. 따라서, 믹스마스터 우주의 [[빅뱅]] 근처에서의 시간 변화는 대략 일종의 "당구대" 위의 "당구공"의 운동으로 근사되는데, 이러한 [[동역학계]]는 [[혼돈 이론|혼돈적]] 현상을 보이는 대표적인 유이다.

== 성질 ==
믹스마스터 우주가 [[혼돈 이론|혼돈적]]이라는 것은 1996년에 엄밀히 증명되었다.<ref>{{저널 인용|이름=Neil John|성=Cornish|이름2=Janna J.|성2=Levin|arxiv=gr-qc/9605029|제목=The mixmaster universe is chaotic|doi=10.1103/PhysRevLett.78.998|저널=Physical Review Letters|권=78|날짜=1997|쪽=998–1001|bibcode=1997PhRvL..78..998C|언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용|이름=Neil John|성=Cornish|이름2=Janna J.|성2=Levin|arxiv=gr-qc/9612066|제목=The mixmaster universe: a chaotic Farey tale|doi=10.1103/PhysRevD.55.7489|저널=Physical Review D|권=55|날짜=1997|쪽=7489–7510|bibcode=1997PhRvD..55.7489C|언어=en}}</ref>

=== 믹스마스터 퍼텐셜 ===
믹스마스터 우주의 퍼텐셜
:<math>V(\beta_+,\beta_-)=1+\frac13\exp(-4\beta_+)-\frac43\exp(-\beta_+)\cosh(\sqrt3\beta_-)+\frac23\exp(2\beta_+)\left(\cosh\left(2\sqrt3\beta_-\right)-1\right)</math>
는 항상 임의의 <math>(\beta_+,\beta_-)\in\mathbb R^2</math>에 대하여 <math>V\ge0</math>을 만족시키며, 원점에서 <math>V(0,0)=0</math>이 성립한다.

원점 근처에서의 [[매클로린 급수]]는 다음과 같다.
:<math>V(\beta_+,\beta_-)=2\beta_+^2+2\beta_-^2+O(\beta_+\beta_-^2)+O(\beta_-^4)</math>

이 퍼텐셜은 <math>\beta_-\mapsto-\beta_-</math> 대칭을 가지며, 그 "바닥"은 대략 <math>\beta_+</math> 축을 대칭축으로 하고, 원점(<math>\beta_+=\beta_-=0</math>)을 중심으로 하는 [[이등변 삼각형]]의 모양을 한다.

이 이등변 삼각형의 각 "꼭짓점"은 사실 무한히 계속되는 "골짜기"의 모양을 하며, 이들의 위치는 각각 다음과 같다.
* <math>1\ll\beta_+</math> <math>|\beta_-|^{-1}\gg\exp(\beta_+)</math>. 이 경우, 퍼텐셜은 다음과 같다.
*:<math>V=1+4\exp(2\beta_+)\beta_-^2+O\left(\exp(2\beta_+)\beta_-^4\right)+O\left(\exp(-\beta_+)\right)</math>
* <math>1\ll-\beta_+</math>, <math>\beta_-\approx\pm\sqrt3\beta_+</math>. 이 경우, 퍼텐셜은 다음과 같다. 편의상 <math>\beta_-=\pm\sqrt3\beta_+\mp(\ln a)/\sqrt3</math>로 놓자.
*:<math>V=1+\frac13\exp(-4\beta_+)(1-a)^2
+O\left(\exp(2\beta_+)\right)
</math>

== 역사 ==
[[파일:CharlesMisner2009 01.jpg|thumb|right|미스너 (2009년 사진)]]
[[파일:Sunbeam Mixmaster 03.jpg|thumb|right|믹스마스터 브랜드 믹서 (1969년~1972년 경 생산)]]
[[찰스 윌리엄 미스너]]({{llang|en|Charles William Misner}}, 1932~)가 1969년에 도입하였다.<ref name="Misner">{{저널 인용|이름=Charles William|성=Misner|제목=Mixmaster universe|저널=Physical Review Letters|권=22|호=20|날짜=1969-05-19|쪽=1071–1074|doi=10.1103/PhysRevLett.22.1071|bibcode=1969PhRvL..22.1071M|url=http://www.gravityresearchfoundation.org/pdf/awarded/1969/minner.pdf|언어=en|확인날짜=2010-03-15|보존url=https://www.webcitation.org/5oFmSHFDm?url=http://www.gravityresearchfoundation.org/pdf/awarded/1969/minner.pdf|보존날짜=2010-03-15|url-status=dead}}</ref> "믹스마스터"라는 이름은 미국의 가전 제품 회사 선빔프로덕츠({{llang|en|Sunbeam Products}}, 舊名 시카고 유연 샤프트 회사 {{llang|en|Chicago Flexible Shaft Company}})가 1930년부터 생산하기 시작한 [[블렌더|믹서]] 브랜드 믹스마스터({{llang|en|Mixmaster}}, 혼합{{lang|en|[[:wiktionary:ko:mix|mix]]|믹스}}의 달인{{lang|en|[[:wiktionary:ko:master|master]]|마스터}})에서 딴 것이다.

미스너는 이 모형을 원래 [[우주론]]의 [[지평선 문제]]를 해결하기 위하여 개발하였다. [[빅뱅]] 초기의 우주가 마치 "[[블렌더|믹서]]"로 뒤섞은 듯한 혼돈적인 현상을 보인다면, 우주가 광역에 걸쳐 등방적인 것을 설명할 수 있기 때문이다. 그러나 실제 우주의 모형으로서, 믹스마스터 우주는 [[급팽창 이론]]으로 대체되었다.<ref name="Pontzen"/>

== 각주 ==
{{각주}}

{{상대론}}
{{전거 통제}}

[[분류:일반 상대성 이론의 엄밀해]]