미정계수법 문서 원본 보기

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'''미정계수법'''(未定係數法, {{llang|en|method of undetermined coefficients}})은 비제차 [[상미분 방정식]]을 푸는 방법으로서, 상수 계수를 갖는 선형 상미분 방정식의 풀이에 적합하다.

또한 [[항등식]]의 미정계수법은 항등식의 성질을 이용한 '''수치대입법'''과 '''계수비교법''' 등이 있으며, [[방정식]]의 풀이에 적합하다.

== 정의 ==
비제차 선형 [[상미분 방정식]]은 다음과 같이 표현될 수 있다.
:<math>y^{\left( n \right)}+a_{n-1}y^{\left( n-1 \right)}+\cdots +a_{1}y'+a_{0}y=r\left( x \right)</math>

위의 식은
:<math>y\left( x \right)=y_{h}\left( x \right)+y_{p}\left( x \right)</math>
와 같은 일반해를 갖게 되는데, 미정계수법은 <math>y_{p}\left( x \right)</math>를 구하는 방법이다.

풀이방법은 다음과 같다.
# 비제차 상미분 방정식의 <math>r\left( x \right)</math>를 배제하고, 제차방정식이라 생각하고 그 식의 일반해 <math>y_{h}\left( x \right)</math>를 구한다.
# 우항의 <math>r\left( x \right)</math>를 미정계수법 표에서 찾아 적당한 것을 택해 <math>y_{p}\left( x \right)</math>
를 구한다.

{| class="wikitable"
|-
!''r''(''x'')의 항|| ''y<sub>p</sub>''(''x'')에 대한 선택
|-
|<math>\begin{align}
  & ke^{rx} \\
 & kx^{n}\left( n=0,1,\cdots  \right) \\
 & k\cos \omega x \\
 & k\sin \omega x \\
 & ke^{ax}\cos \omega x \\
 & ke^{ax}\sin \omega x \\
\end{align}</math>||<math>\begin{align}
  & Ce^{rx} \\
 & K_{n}x^{n}+K_{n-1}x^{n-1}+\cdots +K_{1}x+K_{0} \\
 & \left. \begin{matrix}
   {}  \\
   {}  \\
\end{matrix} \right\}K\cos \omega x+M\sin \omega x \\
 & \left. \begin{matrix}
   {}  \\
   {}  \\
\end{matrix} \right\}e^{ax}\left( K\cos \omega x+M\sin \omega x \right) \\
\end{align}</math>
|}

미정계수법에 대한 선택 규칙

'''(a)기본규칙'''

<math>r\left( x \right)</math>를 위에서 찾고, 그에 해당되는 <math>y_{p}\left( x \right)</math>를 선택하고, 그 도함수를 비제차 방정식에 대입하여 미정계수를 구한다.

'''(b)변형규칙'''

'''(b-1 이계 비제차 선형 상미분 방정식인 경우)'''

만약 <math>y_{p}\left( x \right)</math>가 제차 상미분 방정식의 해가 된다면, 선택된 <math>y_{p}</math>에 <math>x</math>혹은 <math>x^{2}</math>를 곱한다.

'''(b-2 고계 비제차 선형 상미분 방정식인 경우)'''

만약 <math>y_{p}\left( x \right)</math>로 선택한 항이 제차 상미분 방정식의 해라면, <math>y_{p}\left( x \right)</math>에 <math>x^{k}</math>를 곱하는데, 여기서 <math>k</math>는 <math>x^{k}y_{p}\left( x \right)</math>가 제차 방정식의 해가 아닌 가장 작은 양의 정수이다.

'''(c)합규칙'''

만약 <math>r\left( x \right)</math>가 여러가지의 합일 때는 각각에 대응하는 함수들의 합으로 <math>y_{p}</math>를 선택한다.

== 항등식의 미정계수법 ==
항등식에서 미정계수법을 이용한 부분분수 분해
:<math>{1 \over (x+1)(x+2)} = {a \over x+1} - {b \over x+2}={a (x+2)\over (x+1)(x+2)} - {b (x+1)\over (x+2)(x+1)}={a (x+2)- {b (x+1)}\over (x+1)(x+2)} </math>
:<math>\therefore {1 \over \cancel{(x+1)(x+2)}} ={a (x+2)- { b(x+1)}\over \cancel{(x+1)(x+2)}} </math>
:<math>\therefore {1} ={ a(x+2)-  b(x+1)} </math>
:<math>{1} =ax+2a- bx-b </math>
:<math>{1} =(a-b)x+(2a-b) </math>
:우변의<math>x</math>차항에대한 좌변의 <math>x</math>차항은 없으므로 <math>x</math>차항의 계수는 <math>0</math>, 상수항은<math>1</math>이다<math>( \because</math>미정계수법중 계수비교법으로 <math>)</math>
:<math>(a-b)= 0,  (2a-b)= 1 </math>
:<math>a-b = 0</math>
:<math> a=b \;\;( \because</math> 수치대입법으로 <math>)</math>
:<math>(2a-a)=  1 </math>
:<math>2a-a=  1 </math>
:<math>a=  1 </math>
계속해서 <math>a=  1, \therefore \;(2\times1-b)=1 </math>
:<math>2-b= 1 </math>
:<math>-b= 1-2 </math>
:<math>-b= -1 </math>
:<math>b= 1 </math> 또는,
:<math>a-b= 0 </math>
:<math>1-b= 0 \; \because \; a=1</math>
:<math>1= b </math>

:<math> \therefore {1 \over (x+1)(x+2)} = {1 \over x+1} - {1 \over x+2}</math>

== 참고 문헌 ==
{{서적 인용
  | 성 = Kreyszig
  | 이름 = Erwin
  | 제목 = Advanced Engineering Mathematics 8th ed
  | url = https://archive.org/details/advancedengineer0008krey
  | 출판사 = John Wiley & Sons, INC.
  | 연도 = 1999
  |ISBN=0-471-15496-2}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Undetermined coefficients, method of}}

[[분류:상미분 방정식]]