미적분학의 기본 정리 문서 원본 보기

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{{미적분학}}
'''미적분학의 기본 정리'''(微積分學의基本定理, {{llang|en|fundamental theorem of calculus}})는 [[미분]]과 [[적분]]을 서로 연관시키는 정리이다. 미적분학의 기본 정리와 그 증명은 제임스 그레고리(1638–1675)가 발표하였으며, 아이작 베로우(1630–1677)는 더욱 일반적인 경우를 증명하였다. 이후 아이작 베로우의 제자인 아이작 뉴턴이 미적분학의 기본 정리를 완성시켰고, 이 정리의 제안과 증명으로부터 적분과 미분이 통합된 [[미적분학]]이 창시되었다. 독일의 라이프니츠 역시 뉴턴과는 독자적으로 미적분학의 기본 정리의 최종형태를 발견했고, dx와 dy와 같은 무한소를 나타내는 기호를 도입함으로써 미적분학의 발전에 크게 기여하였다.

미적분학의 기본 정리는 두 결과로 구성되며, 이 둘 가운데 하나를 뜻하기도 한다. '''미적분학의 제1 기본 정리'''는 미분과 적분이 서로 역연산 관계에 있다는 정리이다. 이 정리는 관련이 없어 보이는 두 수학이 아주 긴밀한 관계를 가지고 있음을 보여준다. '''미적분학의 제2 기본 정리'''는 [[정적분]]을 [[부정적분]]의 차로 간단히 계산할 수 있음을 의미한다. 이 정리가 있기에 계산이 힘든 [[리만 합]]의 극한을 매번 계산할 필요 없이 간단히 부정적분을 사용해 정적분의 값을 계산할 수 있다.

== 기하학적 직관 ==
[[파일:FTC_geometric.svg|500px|섬네일|빨간색 영역의 넓이는 정확히 <math>A(x+h)-A(x)</math>이며, <math>h</math>가 충분히 작을 때 직사각형의 넓이 <math>f(x)h</math>로 근사할 수 있다.]]
[[연속 함수]] <math>f\colon\mathbb R\to\mathbb R</math>는 <math>(t,y)</math>-[[데카르트 좌표계]]를 추가한 평면 위의 곡선으로 나타낼 수 있다. 만약 항상 <math>f(t)\ge0</math>이라면, 곡선과 t축, y축, 직선 <math>t=x</math>로 둘러싸인 영역의 넓이 <math>A(x)</math>는 [[리만 적분]]
:<math>A(x)=\int_0^xf(t)\,dt</math>
으로 주어진다. 작은 실수 <math>h>0</math>에 대하여, <math>A(x+h)-A(x)</math>은 직선 <math>t=x</math>와 직선 <math>t=x+h</math> 사이의 영역의 넓이이며, 직사각형의 넓이
:<math>A(x+h)-A(x)\approx f(x)h</math>
로 근사할 수 있다. 따라서, <math>h</math>가 충분히 작을 때
:<math>\frac{A(x+h)-A(x)}h\approx f(x)</math>
이다. 이 근사는 [[절댓값]]이 작은 <math>h<0</math>에 대해서도 성립한다. 좌변은 곡선과 직선 <math>t=x</math>, <math>t=x+h</math>의 교점을 잇는 직선의 [[기울기]]이며, <math>A</math>의 <math>x</math>에서의 [[미분]] <math>A'(x)</math>은 이 기울기의 [[극한]]
:<math>A'(x)=\lim_{h\to0}\frac{A(x+h)-A(x)}h</math>
으로 주어진다. 따라서,
:<math>A'(x)=f(x)</math>
이다.

물론 직관적인 관찰에는 직사각형 넓이와 실제 넓이의 오차에 대한 고려가 빠져 있다. 사실, <math>f</math>가 [[연속 함수]]이므로, <math>h</math>가 작을 때 <math>t\in[x,x+h]</math>에서 <math>f(t)</math>가 변화하는 폭도 작다. <math>f(t)</math>의 <math>t\in[x,x+h]</math>에서의 최솟값을 <math>m</math>, 최댓값을 <math>M</math>이라고 했을 때, 실제 넓이와 근사 넓이 모두 같은 범위
:<math>mh\le A(x+h)-A(x)\le Mh</math>
:<math>mh\le f(x)h\le Mh</math>
에 속한다. 따라서, 기울기와 그 근삿값 <math>f(x)</math> 사이의 오차는 <math>M-m</math> 이하이다.
:<math>\left|\frac{A(x+h)-A(x)}h-f(x)\right|\le M-m</math>
<math>h</math>가 충분히 작을 때, <math>f</math>가 변화하는 폭 <math>M-m</math> 역시 아주 작으므로, 오차를 원하는 만큼 줄일 수 있다.

== 속도와 변위 ==
어떤 물체가 직선 위에서 시간 <math>t\in[t_0,t_1]</math> 동안 [[속도]] <math>v(t)\ge 0</math>로 운동했을 때 일어난 [[변위]] <math>\Delta s</math>를 구하는 문제를 생각해 보자. 우선, 속도 함수가 충분히 좋은 성질을 가진다고 가정하였을 때 (예: [[연속 함수]]), 시간 <math>t\in[t_0,t_1]</math> 동안의 변위는 [[리만 적분]]
:<math>\Delta s=\int_{t_0}^{t_1}v(t)\,dt</math>
과 같다. 또한, <math>t_0</math>와 <math>t_1</math> 사이의 변위는 두 시각의 변위의 차
:<math>\Delta s=s(t_1)-s(t_0)</math>
와 같다. 따라서, 다음이 성립한다.
:<math>\int_{t_0}^{t_1}v(t)\,dt=s(t_1)-s(t_0)</math>
즉, 상수를 더하는 차이를 무시하면, 변위는 속도의 적분과 같다. 다른 한편, 속도는 정의에 따라 변위의 [[미분]]이다.
:<math>v(t)=s'(t)=\lim_{\Delta t\to0}\frac{s(t+\Delta t)-s(t)}{\Delta t}</math>

== 정의 ==
[[파일:Fundamental theorem of calculus (animation ).gif|섬네일|미적분학의 기본 정리]]

=== 제1 기본 정리 ===
[[리만 적분 가능 함수]] <math>f\colon[a,b]\to\mathbb R</math>가 주어졌다고 하자. 함수 <math>F\colon[a,b]\to\mathbb R</math>를 다음과 같이 정의하자.
:<math>F(x)=\int_a^xf(t)\,dt\qquad(\forall x\in[a,b])</math>
'''미적분학의 제1 기본 정리'''에 따르면, 다음이 성립한다.
* <math>F</math>는 [[립시츠 연속 함수]]이다. 따라서, <math>F</math>는 [[균등 연속 함수]]이며, [[연속 함수]]이다.
* 만약 <math>f</math>가 [[연속 함수]]라면, <math>F</math>는 [[미분 가능 함수]]이며, 그 미분은 <math>F'=f</math>이다.

{{증명|제목=제1 기본 정리의 증명}}
함수 <math>f</math>는 리만 적분 가능하므로, [[유계 함수]]이다. 즉,
:<math>M=\sup_{t\in[a,b]}|f(t)|<\infty</math>
이다. 따라서, 임의의 <math>a\le x\le y\le b</math>에 대하여,
:<math>|F(y)-F(x)|=\left|\int_a^yf(t)\,dt-\int_a^xf(t)\,dt\right|=\left|\int_x^yf(t)\,dt\right|\le\int_x^y|f(t)|\,dt\le M(y-x)</math>
이다. 즉, <math>F</math>는 [[립시츠 연속 함수]]이다.

이제, <math>f</math>가 [[연속 함수]]라고 가정하고, 임의의 <math>x\in[a,b]</math> 및 <math>\epsilon>0</math>이 주어졌다고 하자. <math>f</math>의 연속성에 따라,
:<math>|f(t)-f(x)|<\epsilon\qquad(\forall t\in(x-\delta,x+\delta)\cap[a,b])</math>
인 <math>\delta>0</math>가 존재한다. 임의의 <math>y\in((x-\delta,x)\cup(x+\delta))\cap[a,b]</math>에 대하여,
:<math>\left|\frac{F(y)-F(x)}{y-x}-f(x)\right|=\left|\frac 1{y-x}\int_x^yf(t)\,dt-\frac 1{y-x}\int_x^yf(x)\,dt\right|=\left|\frac 1{y-x}\int_x^y(f(t)-f(x))\,dt\right|<\epsilon</math>
이다. 따라서, <math>F</math>는 <math>x</math>에서 미분 가능하며, <math>F'(x)=f(x)</math>이다.
{{증명 끝}}

=== 제2 기본 정리 ===
[[리만 적분 가능 함수]] <math>f\colon[a,b]\to\mathbb R</math>가 주어졌고, <math>F'=f</math>인 [[미분 가능 함수]] <math>F\colon[a,b]\to\mathbb R</math>가 존재한다고 하자 (즉, <math>F</math>는 <math>f</math>의 [[부정적분]]이다). '''미적분학의 제2 기본 정리'''에 따르면, 다음 등식이 성립한다.
:<math>\int_a^bf(t)\,dt=F(b)-F(a)</math>

{{증명|제목=제2 기본 정리의 증명}}
폐구간 <math>[a,b]</math>의 임의의 분할
:<math>P=(x^P_0,x^P_1,\dots,x^P_{n(P)})</math>
:<math>a=x^P_0<x^P_1<\cdots<x^P_{n(P)}=b</math>
을 생각하자. [[평균값 정리]]에 따라, 각 <math>i=1,\dots,n(P)</math>에 대하여
:<math>F(x^P_i)-F(x^P_{i-1})=f(\xi^P_i)(x^P_i-x^P_{i-1})</math>
인 <math>\xi^P_i\in(x^P_{i-1},x^P_i)</math>가 존재한다. 위 등식을 모든 <math>i</math>에 대하여 합하면
:<math>F(b)-F(a)=\sum_{i=1}^{n(P)}f(\xi^P_i)(x^P_i-x^P_{i-1})</math>
을 얻는다. 우변은 <math>f</math>의 <math>P</math>에 대한 [[리만 합]]이므로, 분할 <math>P</math>에 대한 극한을 취하면 [[리만 적분]]
:<math>F(b)-F(a)=\int_a^bf(t)\,dt</math>
을 얻는다.
{{증명 끝}}

== 일반화 ==
=== 르베그 적분 ===
[[르베그 적분]]은 [[리만 적분]]을 효과적으로 일반화한다. 구체적으로, 모든 리만 적분 가능 함수는 [[르베그 적분]]을 가지며, 이는 [[리만 적분]]과 일치한다. 미적분학의 기본 정리의 르베그 적분 형태가 존재하며, 다음과 같다. [[르베그 적분]]을 갖는 [[가측 함수]] <math>f\colon[a,b]\to\mathbb R</math>에 대하여, 함수
:<math>F\colon[a,b]\to\mathbb R</math>
:<math>F(x)=\int_a^xf(t)\,dt\qquad(\forall x\in[a,b])</math>
는 [[절대 연속 함수]]이며, [[거의 모든]] <math>x\in[a,b]</math>에 대하여 <math>F'(x)=f(x)</math>를 만족시킨다. 또한, 임의의 [[미분 가능 함수]] <math>F\colon[a,b]\to\mathbb R</math>에 대하여, 만약 [[도함수]] <math>F'=f</math>가 [[르베그 적분]]을 갖는다면,
:<math>\int_a^bf(t)\,dt=F(b)-F(a)</math>
이다.

=== 스토크스 정리 ===
{{본문|스토크스 정리}}
미적분학의 기본 정리는 [[폐구간]] 및 [[미분 형식|0-형식]]에 대한 [[스토크스 정리]]와 같다.

== 같이 보기 ==
* [[지배 수렴 정리]]: [[르베그 적분]]을 이용할 경우 성립하는 이 정리를 이용해 미적분학의 기본 정리를 일반화할 수 있다.

== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용
|성=Rudin
|이름=Walter
|저자링크=월터 루딘
|제목=Principles of mathematical analysis
|언어=en
|총서=International Series in Pure and Applied Mathematics
|판=3판
|출판사=McGraw-Hill
|날짜=1976
|isbn=978-0-07-054235-8
|mr=0385023
|zbl=0346.26002
|url=http://www.mcgraw-hill.com.sg/html/9780070542358.html
|확인날짜=2014-10-06
|url-status=dead
|보존url=https://web.archive.org/web/20141006165957/http://www.mcgraw-hill.com.sg/html/9780070542358.html
|보존날짜=2014-10-06
}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|제목=Newton-Leibniz formula}}
* {{매스월드|id=FundamentalTheoremsofCalculus|제목=Fundamental theorems of calculus}}
* {{매스월드|id=FirstFundamentalTheoremofCalculus|제목=First fundamental theorem of calculus}}
* {{매스월드|id=SecondFundamentalTheoremofCalculus|제목=Second fundamental theorem of calculus}}

{{전거 통제}}

[[분류:기본 정리]]
[[분류:미적분학 정리]]
[[분류:실해석학 정리]]