미분 형식 전기역학 문서 원본 보기

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'''미분 형식 전기역학'''(微分形式電氣力學, {{llang|en|''p''-form electrodynamics}})은 [[전자기학|전기역학]]을 임의의 차수의 [[미분 형식]]에 대하여 일반화한 것이다. 일반적 전기역학에서는 1차 미분 형식인 전자기 퍼텐셜을 다루는데, 미분 형식 전기역학에서는 이를 임의의 ''p''차 미분 형식으로 바꾼다.

== 정의 ==
일반적 전기역학에서는 1차 [[미분 형식]] <math>A</math> ([[전자기 퍼텐셜]])이 존재한다. 이는 [[진공]]에서 다음과 같은 [[맥스웰 방정식]]을 따른다.
:<math>d*dA=0</math>
이는 다음과 같은 [[게이지 변환]]에 대하여 불변하다.
:<math>A\to A+d\alpha</math>

마찬가지로, 임의의 ''p''차 미분 형식 <math>B</math>에 대하여, 맥스웰 방정식
:<math>d*dB=0</math>
과 [[게이지 변환]]
:<math>B\to B+d\alpha</math>
을 정의할 수 있다.

진공이 아니라, 전하를 지닌 개체가 있다고 하자. 그렇다면 4차원 시공의 1-형식의 경우에는 전류밀도 1-형식 <math>J</math>를 도입한다. 그렇다면 이는
:<math>d*dA=*J</math>
를 만족하고, 또 <math>J</math>는 [[연속방정식]]
:<math>d*J=0</math>
을 만족한다. (즉 <math>*J</math>는 닫혀 있다.) 마찬가지로, ''D''차원에서의 ''p''-형식 전기역학에서는 전류밀도 ''p''-형식 <math>J</math>를 도입하면,
:<math>d*dA=*J</math>
:<math>d*J=0</math>
과 같은 맥스웰 방정식과 연속방정식을 정의할 수 있다. 전류밀도가 ''p''-형식이므로, ''p''-형식 전기역학에서는 대전된 개체는 <math>(p-1)</math>-막임을 알 수 있다.

== 제르브 ==
통상적 (<math>p=1</math>) 전기역학에서, 게이지 퍼텐셜은 어떤 U(1) [[선다발]] <math>L</math>의 [[코쥘 접속]]이다. 시공간 <math>M</math> 위에서, [[전기 선속]]의 [[양자화 (물리학)|양자화]]에 따라, 전자기장의 [[코호몰로지류]] <math>[F]=2\pi c_1(L)</math>은 정수 계수 2차 코호몰로지의 원소이다.
:<math>[F]/2\pi=c_1(L)\in H^2(M;\mathbb Z)</math>
여기서 <math>c_1(L)</math>은 <math>L</math>의 1차 [[천 류]]이다.

일반적으로, <math>p</math>차 형식 퍼텐셜 <math>A^{(p)}</math>의 장세기 <math>F^{(p+1)}</math>의 [[코호몰로지류]]는 <math>p+1</math>차 정수 계수 코호몰로지의 원소이다.
:<math>[F^{(p+1)}]/2\pi\in H^{p+1}(M;\mathbb Z)</math>
기하학적으로 2차 정수 계수 코호몰로지가 (1차 [[천 류]]를 통해) [[선다발]]에 대응하는 것처럼, 고차 정수 계수 코호몰로지는 기하학적으로 '''[[제르브]]'''라는, [[선다발]]을 일반화한 개념에 대응한다.

== 끈 이론과의 관계 ==
[[끈 이론]]에서는 각종 ''p''차형식 게이지 장이 존재한다. NS-NS에서는 캘브-라몽 장 <math>B_{\mu\nu}</math>가 2차 [[미분 형식]]을 이룬다. 끈은 1-막이므로 캘브-라몽 장에 대하여 대전된다. R-R에서는 임의의 <math>p</math>에 대한 게이지 장이 존재한다. (좀 더 정확히, IIB에서는 짝수 ''p'', IIA에서는 홀수 ''p''에 대한 게이지 장이 존재한다.) [[M이론]]에서는 M2-막에 해당하는 3-형식 게이지 장이 존재한다.

== 참고 문헌 ==
* {{저널 인용|성=Henneaux|이름=Marc|공저자=Claudio Teitelboim|날짜=1986-07|제목=''p''-Form electrodynamics|저널=Foundations of Physics|권=16|호=7|쪽=593-617|doi=10.1007/BF01889624|issn=0015-9018|bibcode=1986FoPh...16..593H}}
* {{저널 인용|성=Navarro|이름=J.|공저자=J. B. Sancho|날짜=2012|제목=Energy and electromagnetism of a differential ''k''-form|저널=Journal of Mathematical Physics|권=53|쪽=102501|doi=10.1063/1.4754817|bibcode=2012JMP....53j2501N|arxiv=1201.3504}}


[[분류:끈 이론]]
[[분류:양자장론]]