미분 연산자 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[수학]]에서 '''미분 연산자'''(微分演算子, {{llang|en|differential operator}})는 [[미분]] 연산을 포함할 수 있는, [[함수]] 또는 [[단면 (올다발)|단면]] 공간 위의 국소적 [[선형 변환]]이다.

== 정의 ==
다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.
* [[매끄러운 다양체]] <math>M</math>
* 두 [[매끄러운 벡터 다발]] <math>E,F\twoheadrightarrow M</math>
그렇다면, <math>E</math>와 <math>F</math>의 [[매끄러운 단면]]들의 [[실수 벡터 공간]]
:<math>\Gamma^\infty(E)</math>
:<math>\Gamma^\infty(F)</math>
을 생각하자.

<math>E</math>와 <math>F</math> 사이의 '''미분 연산자'''는 특별한 꼴의 [[실수 선형 변환]]
:<math>D\colon\Gamma^\infty(E)\to\Gamma^\infty(F)</math>
이다. 이는 다음과 같이 다양한 방법으로 정의될 수 있다.

=== 구체적 정의 ===
임의의 국소 좌표계에서, 다음과 같은 꼴의 연산자를 생각하자.
:<math>s\nabla_{X_1}\nabla_{X_2}\cdots\nabla_{X_k}\colon\Gamma^\infty(E)\to\Gamma^\infty(F)</math>
여기서
* <math>k\in\mathbb N</math>는 [[자연수]](음이 아닌 정수)이다.
* <math>\nabla</math>는 <math>E</math>의 임의의 [[코쥘 접속]]이다.
* <math>s\in\Gamma^\infty(E^*\otimes F)</math>는 <math>E^*\otimes F</math>의 임의의 [[매끄러운 단면]]이다.
* <math>X_1,\dots,X_k\in\Gamma^\infty(\mathrm TM)</math>는 <math>M</math> 위의 매끄러운 [[벡터장]]이다.
그렇다면, '''미분 연산자'''는 위와 같은 꼴의 연산자 <math>(D_i)_{i\in I}</math>들의 합으로 나타내어지는 연산자이다. 여기서 합이 잘 정의되기 위해서는 다음 조건이 성립해야 한다.
* 어떤 (충분히 섬세한) [[열린 덮개]] <math>(U_j)_{j\in J}</math>에 대하여, 각 <math>j\in J</math>에 대하여 <math>\{i\in I\colon D_i\restriction U_j\ne\varnothing\}</math>은 [[유한 집합]]이다.
(만약 <math>M</math>이 [[콤팩트 공간]]이라면, 위의 국소적 유한성 조건은 단순히 대역적 유한성에 불과하다.)

위와 같은 꼴에서 가능한 최소의 <math>k</math>를 미분 연산자의 '''차수'''({{llang|en|degree}})라고 한다. (만약 <math>M</math>이 콤팩트 공간이 아니라면 이는 무한할 수 있다.)

=== 제트 다발을 통한 정의 ===
[[실수 선형 변환]]
:<math>D\colon\Gamma^\infty(E)\to\Gamma^\infty(F)</math>
가 주어졌다고 하자. 만약 다음과 같은 꼴의 분해가 존재한다면, <math>D</math>를 '''<math>k</math>차 미분 연산자'''라고 한다.
:<math>D=T\circ \mathrm j^k</math>
여기서
* <math>\mathrm j^k\colon\Gamma^\infty(E)\to\Gamma^\infty(\mathrm J^kE)</math>는 <math>E</math>의 <math>k</math>차 제트 연장이다.
* <math>\mathrm J^kE</math>는 <math>E</math>의 <math>k</math>차 [[제트 다발]]이다.
* <math>T\colon\mathrm J^kE\to F</math>는 벡터 다발 사상이다.

'''미분 연산자'''는 미분 연산자들의 합으로 정의되는 국소 연산자이다. 즉, 그렇다면, '''미분 연산자'''는 위와 같은 꼴의 연산자 <math>(D_i)_{i\in I}</math>들의 합으로 나타내어지는 연산자이며, 다음 조건이 성립해야 한다.
* 어떤 (충분히 섬세한) [[열린 덮개]] <math>(U_j)_{j\in J}</math>에 대하여, 각 <math>j\in J</math>에 대하여 <math>\{i\in I\colon D_i\restriction U_j\ne\varnothing\}</math>은 [[유한 집합]]이다.
(만약 <math>M</math>이 [[콤팩트 공간]]이라면, 위의 국소적 유한성 조건은 단순히 대역적 유한성에 불과하다.)

=== 페트레 정리를 통한 정의 ===
[[실수 벡터 공간]] 값의 [[층 사상]]
:<math>D\colon\Gamma^\infty(E)\to\Gamma^\infty(F)</math>
가 다음 조건을 만족시킨다고 하자.
* 임의의 [[매끄러운 단면]] <math>s\in\Gamma^\infty(E)</math>에 대하여, <math>\operatorname{supp}(Ds)\subseteq\operatorname{supp}s</math>. 여기서 <math>\operatorname{supp}</math>은 층의 [[지지 집합]]이다.
그렇다면, <math>D</math>를 '''미분 연산자'''라고 한다.

이 정의가 위의 두 정의와 동치라는 사실은 자명하지 않으며, '''페트레 정리'''(Peetre定理, {{llang|en|Peetre’s theorem}})라고 한다.

== 성질 ==
[[콤팩트 공간|콤팩트]] [[매끄러운 다양체]] <math>M</math> 위의 두 [[벡터 다발]] <math>E,F</math>가 주어졌다고 하자. <math>E\to F</math> 미분 연산자의 공간을 <math>\mathcal D(E,F)</math>로 표기하자.

그렇다면, 모든 미분 연산자 <math>\Gamma^\infty(E)\to\Gamma^\infty(F)</math>는 유한한 차수를 가지며, 따라서 차수에 따라 자연스러운 [[여과 (수학)|오름 여과]]
:<math>\Gamma^\infty(E^*\otimes F)=\mathcal D_0(E,F)\subseteq\mathcal D_1(E,F)\subseteq\cdots\subseteq\mathcal D_\infty(E,F)=\mathcal D(E,F)</math>
가 존재한다. 그러나 이 여과는 자연스럽게 등급을 이루지 않는다.

미분 연산자의 차수 여과는 합성에 대하여 다음과 같이 호환된다.
:<math>\mathcal D_n(E',E'')\circ\mathcal D_m(E,E')\subseteq \mathcal D_{m+n}(E,E'')</math>

매끄러운 다양체 <math>M</math> 위의 <math>\mathcal C^\infty(M,\mathbb C)\to\mathcal C^\infty(M,\mathbb C)</math> 미분 연산자는 [[유사 미분 연산자]]이다.

=== 등급 대수 ===
[[콤팩트 공간|콤팩트]] [[매끄러운 다양체]] <math>M</math> 위의 [[벡터 다발]] <math>E</math>이 주어졌다고 하자. 편의상 <math>\mathcal D(E)=\mathcal D(E,E)</math>와 같이 표기하자.

이제, 다음과 같이 [[등급 대수]]를 정의할 수 있다.
:<math>\operatorname{gr}\mathcal D(E)=\bigoplus_{i=0}^\infty\frac{\mathcal D_i(E)}{\mathcal D_{i-1}(E)}</math>
(여기서 편의상 <math>\mathcal D_{i-1}(E)=\{0\}</math>으로 간주한다.)

이에 대하여 다음과 같은 [[등급 대수]] 동형 사상이 존재한다.<ref>{{서적 인용 | last1=Berline | first1=Nicole | last2=Getzler | first2=Ezra | last3=Vergne | first3=Michèle | title=Heat kernels and Dirac operators | publisher=Springer-Verlag | 날짜=1992 | 총서=Grundlehren der mathematischen Wissenschaften | 권=298 | isbn= 978-3-540-20062-8 | zbl=0744.58001 | url = http://www.springer.com/us/book/9783540200628 | 언어=en}}</ref>{{rp|64, Proposition 2.1}}
:<math>\Gamma^\infty\left(\operatorname{Sym}(\mathrm TM)\otimes\operatorname{End}(E)\right)\cong\operatorname{gr}\mathcal D(E)</math>
여기서
* <math>\operatorname{Sym}(\mathrm TM)</math>은 그 올이 [[접공간]]의 [[대칭 대수]]인 [[벡터 다발]]이다.
* <math>\operatorname{End}(E)=E\otimes E^*</math>는 <math>E</math> 위의 [[자기 사상|자기]] 벡터 다발 사상으로 구성된 [[벡터 다발]]이다.
이는 다음과 같다.
:<math>X_1\otimes X_2\otimes\cdots\otimes X_k\otimes T\mapsto [T\nabla_{X_1}\nabla_{X_2}\cdots\nabla_{X_k}]\qquad\forall X_1,\dots,X_k\in\Gamma^\infty(\mathrm TM),\;T\in\Gamma^\infty(E\otimes E^*)</math>
여기서 <math>\nabla</math>는 <math>E</math> 위에 정의된 임의의 [[코쥘 접속]]이다.

=== 주표상 ===
'''주표상'''(主表象, {{llang|en|principal symbol}})은 미분 연산자의 차수를 나타내는, [[여접다발]] 위에 정의되는 완전 대칭 다항식이다. 대략 미분 연산자의 최고차항에서 편미분 연산자를 형식적인 변수 <math>\partial_i\mapsto\xi_i</math>로 치환한 것이다.

구체적으로, [[매끄러운 다양체]] <math>M</math> 위의 두 [[매끄러운 벡터 다발]] <math>E,F\to X</math> 사이의 미분 연산자 <Math>D\colon\Gamma^\infty(E)\to\Gamma^\infty(F)</math>를 생각하자. 임의의 [[매끄러운 단면]] <math>u\in\Gamma^\infty(E)</math>에 대하여, 국소 좌표계에서 <math>D</math>가
:<math>D\colon u(x)\mapsto\sum_IP^I(x)\partial_Iu</math>
의 꼴이라고 하자. 여기서 <math>I</math>는 [[다중지표]]이고, <math>D^I\colon E\to F</math>는 [[다발 사상]]이다. 여기서 <math>D^I</math>는 다중지표의 성분들의 [[순열]]에 무관하다.

<math>D</math>의 차수
:<math>k=\max\{|I|\colon P^I\ne0\}</math>
가 유한하다고 하자. 그렇다면 미분 연산자 <math>D</math>의 '''주표상'''
:<math>\sigma_D\in\Gamma^\infty\left(\operatorname{Sym}^k(\mathrm TX)\otimes E^*\otimes F\right)</math>
은 <math>(k,0)</math>차 완전 대칭 텐서장이며, 다음과 같다.
:<math>\sigma_D=\sum_{|I|=k}P^I</math>
이것이 텐서장으로서 변환한다는 사실을 보일 수 있다.

== 예 ==
[[실수선]] 위의 미분 연산자는 이는 다음과 같은 꼴이다.
:<math>D=\sum_{n=0}^\infty f_n(x)\frac{\mathrm d^n}{\mathrm dx^n}</math>
여기서 위 합이 국소적으로 유한하려면 다음 조건이 성립해야 한다.
:<math>\forall x\in\mathbb R\exists\epsilon\in\mathbb R^+\forall y\in (x-\epsilon,x+\epsilon)\exists N\in\mathbb N\forall n>N\colon f_n(y)=0</math>

=== 벡터 연산자 ===
유클리드 공간 <Math>\mathbb R^n</math> 위의 실수 값 [[매끄러운 함수]]는 자명한 [[벡터 다발]] <math>\mathbb R\times\mathbb R^n</math>의 [[매끄러운 단면]]이며, [[벡터장]]은 자명한 벡터 다발 <math>\mathbb R^n\times\mathbb R^n=\operatorname T\mathbb R^n</math>의 [[매끄러운 단면]]이다. 이 경우, 매끄러운 함수의 [[기울기 (벡터)|기울기]]
:<math>\operatorname{grad}\colon\mathcal C^\infty(\mathbb R^n,\mathbb R)\to\mathcal C^\infty(\mathbb R^n,\mathbb R^n)</math>
와 [[발산 (벡터)|발산]]
:<math>\operatorname{div}\colon\mathcal C^\infty(\mathbb R^n,\mathbb R^n)\to\mathcal C^\infty(\mathbb R^n,\mathbb R)</math>
및 [[회전 (벡터)|회전]]
:<math>\operatorname{curl}\colon\mathcal C^\infty(\mathbb R^n,\mathbb R^n)\to\mathcal C^\infty(\mathbb R^n,\mathbb R^n)</math>
은 모두 1차 미분 연산자이다.

=== 라플라스 연산자 ===
{{본문|라플라스 연산자}}
[[준 리만 다양체]] <math>(M,g)</math> 위에는 2차 미분 연산자인 [[라플라스 연산자]]
:<math>\Delta\colon C^\infty(X)\to C^\infty(X)</math>
가 존재하며, 그 주표상은
:<math>\sigma_\Delta(\xi)=g^{-1}(\xi,\xi)</math>
이다. 만약 <math>M</math>이 [[리만 다양체]]라면 이는 타원형 미분 연산자이다.

=== 디랙 연산자 ===
{{본문|디랙 연산자}}
[[스핀 다양체]] <math>M</math> 위의 1차 미분 연산자인 [[디랙 연산자]]
:<math>D=\gamma^i\nabla_i\colon SM\to SM</math>
의 주표상은
:<math>\sigma_D(\xi)=\gamma^i\xi_i</math>
이다. 여기서 <math>SM</math>은 <math>M</math>의 [[스피너 다발]]이고, <math>\gamma^i</math>는 [[디랙 행렬]]이다. 이는 항상 약타원형 미분 연산자이다.

== 역사 ==
미분 연산자를 (단순히 함수의 도함수를 나타내는 기호가 아니라) 스스로 존재하는 대상으로 여기는 것은 루이 프랑수아 앙투안 아르보가스트({{llang|fr|Louis François Antoine Arbogast}}, 1759~1803)의 1800년 저서<ref>{{서적 인용
 | first = Louis François Antoine
 | last=Arbogast
 | 제목=Du calcul des dérivations
 | year=1800
 | publisher=de l’imprimerie de Levrault, frères
 | url=https://archive.org/details/bub_gb_FNK-Pmjul-IC
 | 언어=fr
}}</ref>가 최초라고 여겨진다.<ref>{{서적 인용|이름=Maria|성=Pantecki|editor1-first=James|editor1-last=Gasser|제목=A Boole anthology: recent and classical studies in the logic of George Boole|날짜=2000|쪽=167–212|장=The mathematical background of George Boole’s ''Mathematical Analysis of Logic'' (1847)|doi=10.1007/978-94-015-9385-4_10|isbn=978-90-481-5491-3|총서=Synthese Library |권=291|출판사=Springer-Verlag|언어=en}}</ref>{{rp|169, §2.1}}

페트레 정리는 야크 페트레({{llang|et|Jaak Peetre}}, 1935~)가 증명하였다.

== 같이 보기 ==
* [[타원형 미분 연산자]]
* [[회전 (벡터)]]
* [[분수계 미적분학]]
* [[유사 미분 연산자]]
* [[아티야-싱어 지표 정리]]

== 각주 ==
{{각주}}
* {{서적 인용|장=Linear differential operators|이름=Lars|성=Hörmander|저자링크=라르스 회르만데르|제목=Actes du Congrès international des mathématiciens 1970 publiés sous la direction du Comité d’Organisation du Congrès. Tome 1. Documents — Médailles Fields. Conférences générales (G). Logique (A) — algèbre (B)|날짜=1971|쪽=121–133|장url=http://www.mathunion.org/ICM/ICM1970.1/Main/icm1970.1.0121.0134.ocr.pdf|출판사=Gauthier-Villars|위치=[[파리 (프랑스)|파리]]|언어=en|access-date=2017-01-05|archive-date=2015-11-06|archive-url=https://web.archive.org/web/20151106094050/http://www.mathunion.org/ICM/ICM1970.1/Main/icm1970.1.0121.0134.ocr.pdf}}
* {{서적 인용|mr=0717035|first=L.|last= Hörmander|title=The analysis of linear partial differential operators I|series= Grundl. Math. Wissenschaft. |volume= 256 |publisher=Springer |year=1983|isbn=3-540-12104-8}}
* {{서적 인용|last=Wells|first=R.O.|title=Differential analysis on complex manifolds|year=1973|publisher=Springer-Verlag|isbn=0-387-90419-0}}

== 외부 링크 ==
* {{웹 인용|url=http://www.mat.univie.ac.at/~stein/research/talks/nhops.pdf|제목=Introduction to partial differential operators on manifolds and normally hyperbolic operators|이름=Roland|성=Steinbauer|날짜=2010-08|언어=en}}
* {{eom|title=Differential operator}}
* {{eom|title=Linear differential operator}}
* {{eom|title=Spectral theory of differential operators}}
* {{eom|title=Principal part of a differential operator}}
* {{eom|title=Principal type, partial differential operator of}}
* {{eom|title=Interior differential operator}}
* {{eom|title=Invariant differential operator}}
* {{매스월드|id=DifferentialOperator|title=Differential operator}}
* {{nlab|id=differential operator|title=Differential operator}}
* {{nlab|id=symbol of a differential operator|title=Symbol of a differential operator }}

{{전거 통제}}

[[분류:다변수 미적분학]]
[[분류:미분 연산자| ]]
[[분류:연산자 이론]]