미분 등급 리 대수 문서 원본 보기

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[[수학]]에서 '''미분 등급 리 대수'''(微分等級Lie代數, {{llang|en|differential graded Lie algebra}})는 서로 호환되는 [[공사슬 복합체]]와 [[리 초대수]]의 구조를 갖는 수학 구조이다. [[호모토피 이론]]과 [[대수기하학]]에서 사용된다.

== 정의 ==
[[가환환]] <math>K</math>가 주어졌다고 하자. <math>K</math> 위의 '''미분 등급 리 대수''' <math>(L^\bullet,\mathrm d,[,])</math>는 다음과 같은 데이터로 주어진다.
* <math>K</math>-[[공사슬 복합체]] <math>\textstyle L=\bigoplus_{i\in\mathbb Z} L^i</math>, <math>\mathrm d\colon L^i\to L^{i+1}</math>. 즉,
** 각 <math>L^i</math>는 <math>K</math>-[[가군]]이다.
** <math>\mathrm d\circ\mathrm d=0</math>이다.
* <math>\textstyle L^+=\bigoplus_{i\in\mathbb Z}L^{2i}</math>, <math>\textstyle L^-=\bigoplus_{i\in\mathbb Z}L^{2i+1}</math> 위의 <math>K</math>-[[리 초대수]] 구조 <Math>[-,-]</math>. 즉, 다음이 성립한다.
** <math>[x,x]=0\qquad(x\in L^+)</math>
** <math>[x,[x,x]]=0\qquad(x\in L^-)</math>
** ([[교환 법칙]]) <math>[x,y]+(-)^{ij}[y,x]=0\qquad (x\in L^i,\;y\in L^j)</math>
** ([[야코비 항등식]]) <math>(-)^{ki}[x,[y,z]]+(-)^{ij}[y,[z,x]]+(-)^{jk}[z,[x,y]]=0\qquad(x\in L^i,\;y\in L^j,\;z\in L^k)</math>
이 데이터는 다음과 같은 두 호환 조건을 만족시켜야 한다.
* (차수) <math>[x,y]\in L^{i+j}\qquad(x\in L^i,\;y\in L^j)</math>
* ([[곱 규칙]]) <math>\mathrm d[x,y]=[\mathrm dx,y]+(-)^i[x,\mathrm dy]\qquad(x\in L^i,\;y\in L^j)</math>

== 같이 보기 ==
* [[미분 등급 대수]]
* [[단체 리 대수]]
* [[L∞-대수]]
== 참고 문헌 ==
* {{저널 인용|이름=Daniel|성=Quillen|저자링크=대니얼 퀼런|제목=Rational homotopy theory|저널=The Annals of Mathematics|권=90|호=2|날짜=1969-09|쪽=205–295|jstor=1970725|doi=10.2307/1970725|issn=0003-486X|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{nlab|id=differential graded Lie algebra|title=Differential graded Lie algebra}}
* {{nlab|id=model structure on dg-Lie algebras|title=Model structure on dg-Lie algebras}}

[[분류:리 대수]]
[[분류:호몰로지 대수학]]