미분 (주요 부분) 문서 원본 보기

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[[미적분학]]에서 함수의 '''미분'''(微分, {{llang|en|differential}})은 함수의 증분의 [[주요 선형 부분]]이다. 일반적으로 [[도함수]]가 존재하는 일변수 함수 <math>y=f(x)</math>의 증분 <math>\Delta y</math>는 다음 관계를 만족한다.

:<math>\Delta y=f'(x)\Delta x+\alpha\Delta x,\ \alpha\to 0\ (\Delta x\to 0)</math>

여기서 <math>f'(x)</math>는 일계 도함수, <math>\alpha</math>는 <math>\Delta x</math>가 0으로 갈 때의 [[무한소]]이다. 이로부터 <math>\Delta x</math>에 대해 [[선형성|선형]]인 부분인 <math>dy=f'(x)\Delta x</math>를 함수 <math>y=f(x)</math>의 '''미분'''이라고 정의한다. 이때 함수 <math>y=x</math>의 미분은

:<math>dy=dx=(x)'\Delta x=1\Delta x=\Delta x</math>

이므로 <math>\Delta x</math>를 <math>dx</math>로 다시 쓰면 다음 관계를 얻는다.

:<math>dy=f'(x)dx</math>

<math>f'(x)</math>는 이러한 이유로 <math>\frac{dy}{dx}</math>로 쓰여지기도 한다:

:<math>dy=\frac{dy}{dx}dx</math>

미분의 개념은 때로 엄밀하지 않게 서술된다. 이 경우, 미분 <math>dy</math>는 함수 <math>y=f(x)</math>의 [[무한소|무한히 작은]] 변화값이다([[미분소]]). 이러한 논법은 [[비표준 해석학]]에서 엄밀한 방식으로 처리된다. 미분의 (엄밀한) 정의법은 위에 적은 선형성에 의한 것과 비표준 해석학적 정의 이외에, [[미분 형식]], [[멱영원]], [[초실수]] 등에 의한 것이 있다.<!--
== 용어 == (한국에서 이나 저나 다 "미분"이라는 용어를 사용한다는 점을 서술. 출처가 필요함.) -->

== 일변수 함수 ==
=== 정의 ===
위에서 적었듯이, 일변수 함수의 점 <math>x</math>에서의 미분 <math>dy</math>는 독립 변수의 변화량 <math>dx=\Delta x</math>에 대한 [[선형 함수]]이다:

:<math>dy(x,dx)=f'(x)dx</math>

이러한 <math>dy</math>가 존재할 필요충분조건은 그 점에서 미분 가능, 즉 <math>f'(x)=\frac{dy}{dx}</math>가 존재한다는 것이다.

조금 더 자세히 말해, 어떤 상수 <math>c</math>가 존재하여

:<math>\Delta y=c\Delta x+\alpha\Delta x,\ \alpha\to 0\ (\Delta x\to 0)</math>

일 필요충분조건은, 그 점에서 <math>y=f(x)</math>의 도함수를 구할 수 있다는 것이다. 이때 <math>c=f'(x)</math>가 된다.

=== 성질 ===
==== 연산 성질 ====
함수 <math>u</math>와 <math>v</math>의 미분 <math>du</math>와 <math>dv</math>가 같은 점에서 존재할 때, 도함수와 비슷한 연산 성질들을 만족한다:

* [[선형성]]
*:<math>d(u+v)=du+dv</math>
*:<math>d(cu)=cdu</math> ({{수학|''c''}}는 상수)
* 곱셈
*:<math>d(uv)=vdu+udv</math>
* 나눗셈
*:<math>d(\frac{u}{v})=\frac{vdu-udv}{v^2}</math>

==== 형식 일치 ====
함수 <math>y=f(u)</math>를 생각하자. 여기서 <math>u</math>는 독립 변수이다. 그의 미분은 다음과 같다.

:<math>dy=f'(u)du</math>

한편 함수 <math>y=f(u)</math>와 <math>u=g(x)</math>에 의하여 얻어지는 <math>y</math>의 <math>x</math>에 대한 함수 <math>y=f(g(x))</math>를 미분해 보면 다음과 같다. (<math>u</math>는 <math>x</math>에 대한 종속 변수이다)

:<math>dy=f'(g(x))g'(x)dx</math>

이때 <math>g'(x)dx</math>는 곧 <math>du</math>이고, <math>f'(g(x))</math>는 <math>f'(u)</math>이므로, 위의 식은 아래와 같이 다시 쓸 수 있다.

:<math>dy=f'(u)du</math>

이는 <math>u</math>를 독립 변수로 놓고 <math>y</math>를 미분한 결과와 일치한다. 즉, 일변수 함수의 (그뿐만은 아니다) 일계 미분 <math>dy</math>의 형식은 <math>u</math>가 독립 변수인지 종속 변수인지에 따라 변하지 않는다. 따라서, 예컨대 아래와 같은 미분들을 자유자재로 사용하여도 무방하다.

:<math>d(\sin(\ln x))=\cos(\ln x)d(\ln x)=\cos(\ln x)\cdot\frac{1}{x}dx</math>

:<math>dx=cdy\Longrightarrow dy=\frac{1}{c}dx</math>

이러한 결론은 다변수 함수의 미분에서도 성립한다. 고계 미분에서는 성립하지 않는다는 점은 주의할 가치가 있다.

=== 선형 근사 ===
[[파일:TangentGraphic2.svg|섬네일|300px|{{수학|(''a'', ''f''(''a''))}}에서의 접선(tangent).]]
{{본문|선형 근사}}

함수의 증가량에서 그 점에서의 미분을 제외하고 나면 <math>\Delta x</math>에 비하면 매우 작은 무한소 <math>\alpha\Delta x</math>만 남는다:

:<math>\Delta y=dy+\alpha\Delta x,\ \alpha\to 0\ (\Delta x\to 0)</math>

따라서 함수의 미분은 그 점과 가까운 곳에서의 증가량을 근사하는 데에 사용된다:

:<math>\Delta y\approx dy=f'(x)\Delta x</math>

즉

:<math>f(x')\approx f(x)+f'(x)\Delta x,\ x'=x+\Delta x</math>

이는 결과적으로 임의의 함수를 선형 함수로 근사한 것이 된다. 예를 들어, <math>e^{0.1}</math>의 값을 어림잡기 위하여, 다음의 근사를 사용할 수 있다.

:<math>e^x\approx e^0+(e^x)'(x-0)=1+x,\ x\ll 1</math>

이렇게 추정한 <math>e^{0.1}</math>의 값은 1.1이다. (정확한 값은 {{개행 금지|1.1051709...}})

== 다변수 함수 ==
{{본문|전미분}}
=== 정의 ===
{{빈 문단}}
=== 성질 ===
{{빈 문단}}
== 고계 미분 ==<!-- 
== 적분과의 연관성 ==
++ 테일러 급수와의 연관성 ++ -->

== 같이 보기 ==
* [[전미분]]
* [[미분소]]
* [[미분 형식]]
* [[미분 사상]]
* [[프레셰 도함수]]

{{전거 통제}}

[[분류:미분학]]
[[분류:미분의 일반화]]