물리학에서 K이론 문서 원본 보기

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[[끈 이론]]에서 '''K-이론 분류'''는 수학의 한 분야인 [[K이론|K-이론]]을 초끈 이론에 적용하여 허용된 [[라몽-라몽 장|라몽-라몽]] 장 세기와 안정적인 [[D-막]]의 전하를 분류하는 것을 말한다.

[[응집물질물리학|응집 물질 물리학]]에서 K-이론은 특히 [[위상절연체|위상 절연체]], 초전도체 및 안정적인 페르미 표면의 위상 분류에서 중요한 응용을 발견했다({{하버드 인용 본문|Kitaev|2009}}, {{하버드 인용 본문|Horava|2005}}).

== 역사 ==
D-막 전하에 적용되는 이 추측은 {{하버드 인용 본문|Minasian|Moore|1997}}에 의해 처음 제안되었다. {{하버드 인용 본문|Witten|1998}}은 IIB 유형 끈이론이 [[타키온 응축]] 후 [[D-막|D9]] 및 반-D9-막의 스택으로서 [[아쇼케 센]]의 임의의 D-막 구성의 실현으로부터 자연스럽게 발생함을 입증했다.

이러한 막 스택은 비틀림 [[캘브-라몽 장|Neveu-Schwarz(NS) 3형]] 배경에서 일치하지 않으며, {{하버드 인용 본문|Kapustin|2000}}이 강조한 바와 같이 K-이론 분류를 그러한 경우로 확장하는 것을 어렵게 만든다. {{하버드 인용 본문|Bouwknegt|Varghese|2000}}이 문제에 대한 해결책을 제안했다. D-막은 일반적으로 이전에 {{하버드 인용 본문|Rosenberg|1989}}에 의해 정의된 [[뒤틀린 K이론|뒤틀린 K-이론]]으로 분류된다.

== 응용 ==
D-막의 K-이론 분류는 수많은 응용 분야를 가지고 있다. 예를 들어, {{하버드 인용 본문|Hanany|Kol|2000}} [[오리엔티폴드]] 단일 평면이 8종이 있다고 주장하기 위해 그것을 사용했다. {{하버드 인용 본문|Uranga|2001}} [[축소화|플럭스 압축]]을 위한 새로운 일관성 조건을 도출하기 위해 K-이론 분류를 적용했다. K-이론은 또한 {{하버드 인용 본문|Bouwknegt|Evslin|Varghese|2004}}에 의해 [[T-이중성]] 다양체의 위상 수학에 대한 공식을 추측하는 데 사용되었다. 최근 K-이론은 [[일반화 복소다양체]]에 대한 [[축소화]]에서 [[스피너]]를 분류하는 것으로 추측되었다.

=== 미해결 문제 ===
이러한 성공에도 불구하고 [[라몽-라몽 장|RR 플럭스]]는 K-이론으로 분류되지 않는다. {{하버드 인용 본문|Diaconescu|Moore|Witten|2003}} K-이론 분류가 IIB 끈 이론의 [[S-이중성]]과 양립할 수 없다고 주장했다.

또한 콤팩트 10차원 시공간에서 플럭스를 분류하려고 하면 RR 플럭스의 자기 쌍대성으로 인해 복잡해진다. 쌍대성은 계량에 따라 다르므로 일반적으로 무리수인 연속적 값을 가지는 [[호지 쌍대|호지 별]]을 사용한다. 따라서 K-이론에서 [[천 특성류]]로 해석되는 모든 RR 플럭스가 유리적일 수 있는 것은 아니다. 그러나 천 특성류는 항상 유리적이므로 K-이론 분류는 대체되어야 한다. 양자화 할 플럭스의 절반 또는 [[기하학적 양자화]]에서 영감을 받은 Diaconescu, 무어, 위튼 및 이후 {{하버드 인용 본문|Varghese|Sati|2004}}의 언어에서 ''편광을'' 선택해야 한다. 또는 {{하버드 인용 본문|Maldacena|Moore|Seiberg|2001}} 수행한 것처럼 9차원 [[시간]] 단면의 K-이론을 사용할 수 있다.

== RR 플럭스의 K-이론 분류 ==
유형 II [[초중력]]인 유형 II 끈 이론의 고전적 극한에서 [[라몽-라몽 장|라몽-라몽 장 세기]]는 [[미분 형식]]이다. 양자 이론에서 D-막의 분배 함수가 잘 정의됨은 RR 장 세기가 [[시공간]]이 [[콤팩트 공간|콤팩트]] 할 때 또는 공간 단면이 콤팩트하고 공간 방향을 따라 놓여 있는 장 세기의 (자기) 구성 요소만 고려할 때 [[자기 홀극|디랙 양자화 조건]]을 따른다는 것을 의미한다. 이로 인해 20세기 물리학자들은 정수 계수가 있는 [[코호몰로지]]를 사용하여 RR 장 세기를 분류했다.

그러나 일부 저자는 정수 계수를 갖는 시공간의 코호몰로지가 너무 크다고 주장했다. 예를 들어, Neveu-Schwarz H-플럭스 또는 non-spin 순환이 있는 경우 일부 RR 플럭스는 D-막의 존재를 나타낸다. 전자의 경우 이것은 NS 3-형식과 RR 플럭스의 곱이 D-막 전하 밀도라는 초중력 운동 방정식의 결과이다. 따라서 막이 없는 구성에 존재할 수 있는 [[위상수학|위상 수학]]적으로 구별되는 RR 장 세기 집합은 정수 계수가 있는 코호몰로지의 부분 집합일 뿐이다.

이러한 클래스 중 일부는 [[큰 게이지 변환|큰(large) 게이지 변환]]과 관련되어 있기 때문에 이 부분 집합은 여전히 너무 크다. 양자전기역학에는 윌슨 고리에 <math>2\pi</math>의 정수 배수를 추가하는 큰 게이지 변환이 있다. 유형 II 초중력 이론의 p형 포텐셜도 이러한 큰 게이지 변환을 즐기지만, 초중력 작용에 [[천-사이먼스 형식]] 항이 존재하기 때문에 이러한 큰 게이지 변환은 p형 포텐셜뿐만 아니라 (p+ 3) - 장 세기를 형성한다. 따라서 앞서 언급한 정수 코호몰로지의 부분 집합에서 등가 장 세기의 공간을 얻으려면 이러한 [[큰 게이지 변환]]으로 몫을 계산해야 한다.

[[뒤틀린 K이론|아티야-히르체부르흐 스펙트럼 열]]은 정수 계수 [[코호몰로지]]의 부분 집합의 몫으로 NS 3형 장 세기에 의해 주어진 꼬임과 함께 뒤틀린 K 이론을 구성한다. 유리수 계수로 작업하는 것에 해당하는 고전적 극한에서 이것은 정확히 초중력에서 위에서 설명한 부분 집합의 몫이다. 양자 보정은 꼬임 동치류에서 나오며 프리드-위튼 변칙으로 인한 mod 2 꼬임 보정을 포함한다.

따라서 뒤틀린 K-이론은 [[큰 게이지 변환]]으로 몫을 취한 D-막이 없을 때 존재할 수 있는 RR 장 세기의 부분 집합을 분류한다. 다니엘 프리드는 미분 K-이론을 사용하여 RR 퍼텐셜도 포함하도록 이 분류를 확장하려고 시도했다.

== D-막의 K-이론 분류 ==
K-이론은 D-막을 축소화되지 않은 시공간으로 분류하며, 갈 곳이 없는 막에서 발생하는 플럭스에 대해 걱정하지 않는 시공간에서 직관적으로 분류한다. 10d 시공간의 K-이론은 D-막을 해당 시공간의 부분 집합으로 분류하는 반면, 시공간이 시간과 고정된 9-다양체의 곱인 경우 K-이론은 또한 각 9차원에서 보존된 D-막 전하를 분류한다. 공간 단면. RR 장 세기의 K-이론 분류를 얻기 위해 RR 전위를 잊어야 하는 반면, D-막의 K-이론 분류를 얻으려면 RR 장 세기를 잊어야 한다.

=== K-이론 전하 대 BPS 전하 ===
Petr Hořava가 강조한 것처럼 D-막의 K-이론 분류는 BPS 상태 의 분류와 독립적이며 어떤 면에서는 더 강력하다. K-이론은 [[초대칭]] 기반 분류에서 놓친 안정적인 D-막을 분류하는 것으로 보인다.

예를 들어, 꼬임 전하, 즉 위수 N인 순환 군 <math>\mathbf Z_N</math>의 전하가 있는 D-막은 서로를 끌어당기므로 결코 BPS가 될 수 없다. 사실, 그러한 막들은 붕괴할 수 있는 반면, 보고몰니 경계를 만족하는 막의 중첩은 결코 붕괴할 수 없다. 그러나 그러한 막의 전하는 N을 법으로 보존되며 이는 BPS 분류가 아닌 K-이론 분류에 의해 포착된다. 이러한 꼬임 막은 예를 들어 초대칭 U(N) [[게이지 이론]]에서 [[Douglas-Shenker strings|더글러스-쉔케르 끈]]을 모델링하는 데 적용되었다.

=== 타키온 응축의 K-이론 ===
[[아쇼케 센]]은 [[위상수학|위상 수학]]적으로 중요하지 않은 NS 3형 플럭스가 없는 경우 [[타키온 응축]]을 통해 공간을 채우는 D9 및 반 D9 막의 스택에서 모든 IIB 막 구성을 얻을 수 있다고 추측했다. 결과 막의 위상 수학은 공간 채우기 막의 스택에 있는 게이지 다발의 위상 수학으로 인코딩된다. D9 및 반 D9 스택의 게이지 다발 위상수학은 D9의 게이지 다발과 반 D9의 또 다른 다발로 분해될 수 있다. 타키온 응축은 이러한 다발 쌍을 동일한 다발이 쌍의 각 구성 요소와 직합되는 다른 쌍으로 변환한다. 따라서 타키온 응축 불변량, 즉 타키온 응축 과정에 의해 보존되는 전하는 한 쌍의 다발이 아니라 쌍의 양쪽에 있는 동일한 다발의 직합 아래 한 쌍의 다발의 동치류이다. 이것은 정확히 [[위상 K이론|위상 K-이론]]의 일반적인 구성이다. 따라서 D9 및 Anti-D9 스택의 게이지 다발은 위상 K 이론에 의해 분류된다. 센의 추측이 맞다면 IIB 유형의 모든 D-막 구성은 K-이론에 의해 분류된다. Petr Horava는 이 추측을 D8 막을 사용하여 IIA 유형으로 확장했다.

=== MMS 순간자의 뒤틀린 K-이론 ===
K-이론 분류의 타키온 응축 사진은 D-막을 NS 3형 플럭스가 없는 10차원 시공간의 부분 집합으로 분류하는 반면, 말다세나, 무어, 자이베르크 그림은 유한 질량을 갖는 안정적인 D-막을 시공간의 9차원 공간 단면으로 분류한다.

중심 관찰은 특정 주기를 감싸는 Dp-막이 D(p-2)-막 및 때때로 D(p- 4) 고통받는 Dp-막에서 끝나는 막. 이러한 삽입된 막은 무한대로 계속될 수 있으며, 이 경우 복합 객체는 무한한 질량을 갖거나, 그렇지 않으면 반-Dp-막에서 끝날 수 있으며, 이 경우 총 Dp-막 전하는 0이다. 두 경우 모두 스펙트럼에서 비정상적인 Dp-막을 제거하고 원래 통합 코호몰로지의 부분 집합만 남기고 싶을 수 있다.

이 삽입된 막은 불안정하다. 이것을 보기 위해 그것들이 변칙적인 막으로부터 시간이 지남에 따라 (과거로) 연장된다고 상상해보자. 이는 삽입된 막이 형성된 Dp-막을 통해 붕괴되어 앞서 언급한 사이클을 감싸고 사라지는 과정에 해당한다. MMS<ref>[[Juan Maldacena]], [[Greg Moore (physicist)|Gregory Moore]] and [[Nathan Seiberg]]. ''D-Brane Instantons and K-Theory Charges''. https://arxiv.org/abs/hep-th/0108100</ref>는 이 과정을 순간적이라고 하지만 실제로는 순간적일 필요는 없다.

따라서 보존된 전하는 불안정한 삽입에 의해 인용된 비변칙적 부분 집합이다. 이것은 정확히 하나의 뒤틀린 K-이론의 [[뒤틀린 K이론|아티야-히르체부르흐 스펙트럼 열]] 구성이다.

== 뒤틀린 K-이론과 S-이중성의 조화 ==
Diaconescu, 무어 및 위튼은 뒤틀린 K-이론 분류가 유형 IIB 끈 이론의 [[S-이중성]] 공변성과 호환되지 않는다고 지적했다. 예를 들어, [[뒤틀린 K이론|아티야-히르체부르흐 스펙트럼 열]] (AHSS)에서 [[라몽-라몽 장|라몽-라몽 3형 장 강도]] G <sub>3</sub> 에 대한 제약 조건을 고려하자.

: <math> d_3G_3=Sq^3G_3+H\cup G_3=G_3\cup G_3+H\cup G_3=0
</math>

여기서 d <sub>3</sub> =Sq <sup>3</sup> +H는 AHSS에서 첫 번째 중요하지 않은 미분이고, Sq<sup>3</sup>은 세 번째 [[스틴로드 대수|스틴로드 제곱]]이고 마지막 등식은 임의의 n-형식 x에 작용하는 n번째 스틴로드 제곱이 <math>x\cup x</math>라는 사실에서 따른다.

위의 방정식은 G <sub>3</sub>와 H를 교환하는 S-이중성 하에서 불변하지 않다. 대신 Diaconescu, 무어 및 위튼은 다음과 같은 S-이중성 공변 확장을 제안했다.

: <math> G_3\cup G_3+H\cup G_3+H\cup H=P
</math>

여기서 P는 [[위상수학|위상]](topology)에만 의존하는, 특히 플럭스가 아닌 알려지지 않은 특성류이다. {{하버드 인용 본문|Diaconescu|Freed|Moore|2007}} Diaconescu, 무어 및 위튼이 개척한 [[M이론|M-이론]]에 대한 E<sub>8</sub> 게이지 이론 접근 방식을 사용하여 P에 대한 제약 조건을 발견했다.

따라서 IIB의 D-막은 결국 뒤틀린 K-이론에 의해 분류되지 않지만 필연적으로 기본 끈과 [[NS5-막]]을 모두 분류하는 일부 알려지지 않은 S-이중성-공변 대상으로 분류된다.

그러나 뒤틀린 K-이론을 계산하기 위한 MMS 해는 프리드-위튼 변칙이 S-이중성을 존중하기 때문에 쉽게 S-공변량화된다. 따라서 MMS 구성의 S-공변량화 형태는 이 이상한 공변량 대상이 무엇인지에 대한 기하학적 설명을 알지 못한 채 집합으로서 S-공변량화 뒤틀린 K-이론을 구성하는 데 적용될 수 있다. 이 프로그램은 {{하버드 인용 본문|Evslin|Varadarajan|2003}} 및 {{하버드 인용 본문|Evslin|2003a}} 과 같은 여러 논문에서 수행되었으며 {{하버드 인용 본문|Evslin|2003b}} 의 플럭스 분류에도 적용되었다. {{하버드 인용 본문|Bouwknegt|Evslin|Jurco|Varghese|2006}} 은 이 접근법을 사용하여 3-플럭스에 대한 Diaconescu, 무어 및 위튼의 추측된 제약을 증명하고 D3-막 전하와 동일한 추가 항이 있음을 보여준다. {{하버드 인용 본문|Evslin|2006}} [[자이베르그 이중성|자이베르크 이중성]]의 [[Klebanov-Strassler cascade|Klebanov-Strassler 캐스케이드]]가 각 자이베르크 이중성에 대해 하나씩 일련의 S-이중성 MMS 순간자로 구성되어 있음을 보여준다. 군, <math>\mathbf Z_N</math> 보편 클래스의 <math>SU(M+N)\times SU(M)</math> 초대칭 [[게이지 이론]]은 원래의 뒤틀린 K 이론이 아니라 S-이중성 뒤틀린 K 이론과 일치하는 것으로 나타났다.

일부 저자는 이 퍼즐에 대해 근본적으로 다른 해를 제안했다. 예를 들어, {{하버드 인용 본문|Kriz|Sati|2005}} 뒤틀린 K-이론 대신 II 끈 이론 구성을 [[타원 코호몰로지]]로 분류해야 한다고 제안한다.

== 연구자 ==
이 분야의 저명한 연구자로는 [[에드워드 위튼]], Peter Bouwknegt, Angel Uranga, Emanuel Diaconescu, [[그레고리 윈스럽 무어|그레고리 무어]], Anton Kapustin, 조나단슨 로젠버그, Ruben Minasian, Amihay Hanany, 히샴 사티, [[나탄 자이베르그|나탄 자이베르크]], [[후안 말다세나]], [[알렉세이 키타예프]], 다니엘 프리드 및 이고르 크리즈가 있다.

== 같이 보기 ==
* [[캘브-라몽 장|칼브-라몽 장]]

== 각주 ==
{{각주}}

== 참고 문헌 ==
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* {{인용|last1=Bouwknegt|first1=Peter|last2=Evslin|first2=Jarah|last3=Varghese|first3=Mathai|authorlink3=Mathai Varghese|title=T-Duality: Topology Change from H-flux|journal=[[Communications in Mathematical Physics]]|volume=249|year=2004|pages=383–415|doi=10.1007/s00220-004-1115-6|arxiv=hep-th/0306062|issue=2|bibcode=2004CMaPh.249..383B|s2cid=6041460}}.

* {{인용|last1=Bouwknegt|first1=Peter|last2=Varghese|first2=Mathai|authorlink2=Mathai Varghese|title=D-branes, B-fields and twisted K-theory|journal=[[Journal of High Energy Physics]]|year=2000|volume=0003|issue=7|doi=10.1088/1126-6708/2000/03/007|pages=007|arxiv=hep-th/0002023|bibcode=2000JHEP...03..007B|s2cid=12897181}}.
* {{인용|last1=Diaconescu|first1=Emanuel|last2=Freed|first2=Daniel S.|authorlink2=Dan Freed|last3=Moore|first3=Gregory|contribution=The M-theory 3-form and E<sub>8</sub> gauge theory|title=Elliptic Cohomology: Geometry, Applications, and Higher Chromatic Analogues|editor1-last=Miller|editor1-first=Haynes R.|editor2-last=Ravenel|editor2-first=Douglas C.|publisher=Cambridge University Press|year=2007|pages=44–88|arxiv=hep-th/0312069|bibcode=2003hep.th...12069D}}.
* {{인용|last1=Diaconescu|first1=Emanuel|last2=Moore|first2=Gregory|last3=Witten|first3=Edward|authorlink3=Edward Witten|title=E<sub>8</sub> Gauge Theory, and a Derivation of K-Theory from M-Theory|journal=[[Advances in Theoretical and Mathematical Physics]]|volume=6|issue=6|year=2003|pages=1031–1134|arxiv=hep-th/0005090|bibcode=2000hep.th....5090D|doi=10.4310/ATMP.2002.v6.n6.a2|s2cid=11647083}}.
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* {{인용|last=Evslin|first=Jarah|contribution=The Cascade is a MMS Instanton|title=Advances in Soliton Research|publisher=Nova Science Publishers|year=2006|pages=153–187|arxiv=hep-th/0405210|bibcode=2004hep.th....5210E}}.
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* {{인용|last1=Maldacena|first1=Juan|authorlink1=Juan Maldacena|last2=Moore|first2=Gregory|last3=Seiberg|first3=Nathan|authorlink3=Nathan Seiberg|title=D-Brane Instantons and K-Theory Charges|journal=Journal of High Energy Physics|volume=0111|year=2001|issue=62|doi=10.1088/1126-6708/2001/11/062|pages=062|arxiv=hep-th/0108100|bibcode=2001JHEP...11..062M|s2cid=15132458}}.
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* {{인용|last=Rosenberg|first=Jonathan|title=Continuous-Trace Algebras from the Bundle Theoretic Point of View|journal=Journal of the Australian Mathematical Society, Series A|volume=47|year=1989|pages=368–381|doi=10.1017/S1446788700033097|issue=3|doi-access=free}}.
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* {{인용|last1=Varghese|first1=Mathai|authorlink1=Mathai Varghese|last2=Sati|first2=Hisham|title=Some Relations between Twisted K-theory and E<sub>8</sub> Gauge Theory|journal=Journal of High Energy Physics|volume=0403|year=2004|issue=16|doi=10.1088/1126-6708/2004/03/016|pages=016|arxiv=hep-th/0312033|bibcode=2004JHEP...03..016M|s2cid=119380196}}.
* {{인용|last=Witten|first=Edward|authorlink=Edward Witten|title=D-Branes and K-Theory|journal=Journal of High Energy Physics|volume=9812|year=1998|issue=19|doi=10.1088/1126-6708/1998/12/019|pages=019|arxiv=hep-th/9810188|bibcode=1998JHEP...12..019W|s2cid=14970516}}.

== 참고 문헌(응축 물질 물리학) ==
* {{인용|last=Kitaev|first=Alexei|authorlink=Alexei Kitaev|title=Periodic table for topological insulators and superconductors|journal=AIP Conference Proceedings|volume=1134|issue=1|pages=22–30|year=2009|arxiv=0901.2686|bibcode=2009AIPC.1134...22K|doi=10.1063/1.3149495|s2cid=14320124}}.
* {{인용|last=Horava|first=Petr|title=Stability of Fermi Surfaces and K Theory|journal=Physical Review Letters|volume=95|year=2005|issue=16405|pages=016405|doi=10.1103/physrevlett.95.016405|arxiv=hep-th/0503006|bibcode=2005PhRvL..95a6405H|pmid=16090638|s2cid=15197829}}.
* {{인용|last=Roy|first=Rahul|title=Periodic Table for Floquet Topological Insulators|journal=Physical Review B|volume=96|issue=15|pages=155118|year=2017|arxiv=1603.06944|bibcode=2017PhRvB..96o5118R|doi=10.1103/PhysRevB.96.155118|author2=Fenner Harper|s2cid=119270701}}.

[[분류:K이론]]
[[분류:대수학]]
[[분류:끈 이론]]