무한 집합 문서 원본 보기

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{{출처 필요|날짜=2023-01-26}}
[[수학]]에서 '''무한 집합'''(無限集合, {{llang|en|infinite set}})은 원소의 개수가 무한히 많은 [[집합]]으로, 원소의 개수가 유한한 [[유한 집합]]이 아닌 모든 집합이다. 무한 집합은 크게 [[가산 무한 집합]]과 [[비가산 집합]]으로 나눌 수 있다.

== 정의 ==
엄밀한 정의로는 집합 <math>A</math>의 적당한 [[진부분 집합]] <math>S</math>가 존재해, <math>A</math>와 <math>S</math> 사이의 [[일대일 대응]]이 존재하면 <math>A</math>를 무한 집합이라 한다.

[[선택 공리]]를 추가한 [[체르멜로-프렝켈 집합론]]에서는 집합 <math>S</math>에 대하여 다음 조건들이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 집합을 '''무한 집합'''이라고 한다.
* <math>S</math>는 두 개 이상의 원소를 가지며, <math>S</math>와 <math>S^2</math> 사이에 [[전단사 함수]]가 존재한다.
* <math>S</math>와 그 [[진부분 집합]] <math>T\subsetneq S</math> 사이에 [[전단사 함수]]가 존재한다.
* [[단사 함수]]이지만 [[전사 함수]]가 아닌 함수 <math>S\to S</math>가 존재한다.
* [[전사 함수]]이지만 [[단사 함수]]가 아닌 함수 <math>S\to S</math>가 존재한다.
* [[단사 함수]] <math>\mathbb N\to S</math>가 존재한다.
* [[전사 함수]] <math>S\to\mathbb N</math>이 존재한다.
만약 [[선택 공리]]를 가정하지 않으면, 이 조건들 가운데 일부는 동치이지 않을 수 있다.

== 성질 ==
임의의 집합 <math>S</math>에 대하여, 다음 조건들이 서로 [[동치]]이다.
* <math>S</math>는 무한 집합이다.
* <math>S^2</math>는 무한 집합이다.
* [[멱집합]] <math>\mathcal P(S)</math>는 무한 집합이다.
[[무한 공리]]를 제외한 [[체르멜로-프렝켈 집합론]]에서는 무한 집합의 존재를 증명할 수 없다. 즉, 무한 공리의 존재를 보이려면 [[무한 공리]]가 필요하다.

== 예 ==
[[자연수]]의 집합 · [[정수]]의 집합 · [[유리수]]의 집합은 [[가산 무한 집합]]이다. [[실수]]의 집합 · [[복소수]]의 집합은 [[비가산 집합]]이다.

== 분류 ==
* [[무한 집합]]
** 가산 무한 집합
*** 자연수의 집합
*** 정수의 집합
*** 유리수의 집합
** 비가산 무한 집합
*** 실수의 집합
*** 복소수의 집합

== 같이 보기 ==
* [[알레프 수]]
* [[유한 집합]]

== 외부 링크 ==
* {{매스월드|id=InfiniteSet|title=Infinite set}}
* {{웹 인용|url=http://ncatlab.org/nlab/show/infinite+set|제목=Infinite set|웹사이트=nLab|언어=en}}

{{집합론}}
{{전거 통제}}
{{토막글|수학}}

[[분류:집합론]]