무한곱 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[해석학 (수학)|해석학]]에서 '''무한곱'''(無限-, {{llang|en|infinite product}})은 [[무한 수열]]의 부분 [[유한곱]]의 [[극한]]이다.

== 정의 ==
[[복소수 수열]] <math>(a_n)_{n=0}^\infty\subset\mathbb C</math>의 '''무한곱'''
:<math>\prod_{n=0}^\infty a_n=a_0a_1a_2\cdots</math>
은 다음과 같은 [[극한]]이다.
:<math>\prod_{n=0}^\infty a_n=\lim_{n\to\infty}\prod_{k=0}^na_k=\lim_{n\to\infty}a_0a_1\cdots a_n</math>
임의의 <math>n\in\mathbb N</math>에 대하여, <math>\prod_{k=0}^na_k=a_0a_1\cdots a_n</math>은 무한곱의 <math>n</math>번째 '''부분곱'''(部分-, {{llang|en|partial product}})이다. 즉, 무한곱은 부분곱의 극한이다. 만약 <math>a_n=0</math>인 <math>n\in\mathbb N</math>이 존재한다면, 부분곱은 <math>n</math>번째 이후부터 0이며, 따라서 무한곱을 정의하는 극한은 0이다. 만약 <math>\limsup_{n\to\infty}|a_n|<1</math>이라면, 부분곱은 마찬가지로 0으로 수렴한다. 더 흥미로운 경우에 집중하기 위하여, 무한곱의 수렴성은 부분곱이 0이 아닌 수로 수렴할 것을 요구한다. 즉, 만약 부분곱의 극한이 존재하며, 0이 아니라면, 무한곱 <math>\prod_{n=0}^\infty a_n</math>이 '''수렴'''한다고 한다. 반대로 만약 부분곱의 극한이 0이거나 존재하지 않는다면, 무한곱 <math>\prod_{n=0}^\infty a_n</math>이 '''발산'''한다고 한다.

== 성질 ==
만약 무한곱 <math>\prod_{n=0}^\infty a_n</math>이 수렴한다면, <math>\lim_{n\to\infty}a_n=1</math>이다.

[[복소수 수열]] <math>(a_n)_{n=0}^\infty\subset\mathbb C</math>에 대하여, 만약 임의의 <math>n\in\mathbb N</math>에 대하여 <math>|a_n|<1</math>이라면, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]다.
* 무한곱 <math>\prod_{n=1}^\infty(1+a_n)</math>은 (0이 아닌 값으로) 수렴한다.
* [[급수 (수학)|급수]] <math>\sum_{n=N}^\infty\ln(1+a_n)</math>는 수렴한다.

[[복소수 수열]] <math>(a_n)_{n=0}^\infty\subset\mathbb C</math>에 대하여, 임의의 <math>n\in\mathbb N</math>에 대하여 <math>|a_n|<1</math>이며, 또한 다음 두 조건 가운데 적어도 하나가 성립한다고 하자.
* (양의 실수의 수열) 임의의 <math>n\in\mathbb N</math>에 대하여, <math>a_n\in\mathbb R^+</math><ref name="Knopp"/>{{rp|219, Theorem 3}}
* (르베그 2-수렴) <math>\sum_{n=0}^\infty|a_n|^2<\infty</math><ref name="Knopp">{{서적 인용|성=Knopp|이름=Konrad|번역자-성=Young|번역자-이름=R. C. H.|제목=Theory and application of infinite series|언어=en|판=2|기타=Translated from the 2nd edition and revised in accordance with the fourth by R. C. H. Young.|출판사=Blackie & Son|위치=[[런던]]-[[글래스고]]|날짜=1951|zbl=0042.29203}}</ref>{{rp|225, Supplementary theorem}}
그렇다면, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* 무한곱 <math>\prod_{n=1}^\infty(1+a_n)</math>은 (0이 아닌 값으로) 수렴한다.
* 급수 <math>\sum_{n=1}^\infty a_n</math>는 수렴한다.
일반적으로, 무한곱 <math>\prod_{n=1}^\infty(1+a_n)</math>이 수렴하더라도 급수 <math>\sum_{n=1}^\infty a_n</math>는 발산할 수 있다.

== 예 ==
=== 월리스 곱 ===
다음과 같은 무한곱을 '''월리스 곱'''({{llang|en|Wallis product}})이라고 한다.
:<math>\prod_{n=1}^\infty\frac{4n^2}{4n^2-1}=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{(2n)!!}{(2n-1)!!}\right)^2\frac 1{2n+1}=\frac\pi 2</math>
이는 다음과 같이 증명할 수 있다. 다음과 같은 적분 공식을 사용하자.
:<math>\int_0^{\pi/2}\sin^{2n}x\mathrm dx=\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\frac\pi 2</math>
:<math>\int_0^{\pi/2}\sin^{2n+1}x\mathrm dx=\frac{(2n)!!}{(2n+1)!!}\qquad(n\in\{1,2,\dots\})</math>
임의의 <math>x\in(0,\pi/2)</math> 및 <math>n\in\{1,2,\dots\}</math>에 대하여 <math>\sin^{2n+1}x<\sin^{2n}x<\sin^{2n-1}x</math>이므로, 다음이 성립한다.
:<math>\int_0^{\pi/2}\sin^{2n+1}x\mathrm dx<\int_0^{\pi/2}\sin^{2n}x\mathrm dx<\int_0^{\pi/2}\sin^{2n-1}x\mathrm dx</math>
여기에 위와 같은 공식을 대입하여 정리하면 다음을 얻는다.
:<math>\left(\frac{(2n)!!}{(2n-1)!!}\right)^2\frac 1{2n+1}<\frac\pi 2<\left(\frac{(2n)!!}{(2n-1)!!}\right)^2\frac 1{2n}</math>
다음과 같은 부등식에 따라 양 끝의 식은 <math>\pi/2</math>로 수렴하므로, 월리스 공식이 증명된다.
:<math>\begin{align}0
&<\left(\frac{(2n)!!}{(2n-1)!!}\right)^2\frac 1{2n}-\left(\frac{(2n)!!}{(2n-1)!!}\right)^2\frac 1{2n+1}\\
&=\left(\frac{(2n)!!}{(2n-1)!!}\right)^2\frac 1{2n(2n+1)}\\
&<\frac 1{2n}\frac\pi 2
\end{align}</math>

=== 리만 제타 함수 ===
{{본문|리만 제타 함수}}
[[리만 제타 함수]]의 <math>s>1</math>에서의 값은 다음과 같은 수렴하는 급수와 같다.
:<math>\sum_{n=1}^\infty\frac 1{n^s}</math>
여기에 <math>(1-1/2^s)</math>를 곱하면 홀수에 대한 합이 남는다.
:<math>\left(1-\frac 1{2^s}\right)\sum_{n=1}^\infty\frac 1{n^s}=
\sum_{n=1}^\infty\frac 1{n^s}-\sum_{n=1}^\infty\frac 1{(2n)^s}=
\sum_{2\nmid n}\frac 1{n^s}</math>
다시 <math>(1-1/3^s)</math>를 곱하면 2나 3의 배수가 아닌 정수에 대한 합만 남는다.
:<math>\left(1-\frac 1{3^s}\right)\left(1-\frac 1{2^s}\right)\sum_{n=1}^\infty\frac 1{n^s}=
\sum_{2\nmid n}\frac 1{n^s}-\sum_{2\nmid n}\frac 1{(3n)^s}=
\sum_{2,3\nmid n}\frac 1{n^s}</math>
이를 모든 소수 <math>p_1=2,p_2=3,\dots</math>에 대하여 반복하면 우변은 결국 1이 된다.
:<math>\prod_{k=1}^\infty\left(1-\frac 1{p_k^s}\right)\sum_{n=1}^\infty\frac 1{n^s}=1</math>
즉, <math>s>1</math>에서의 리만 제타 함수 값은 무한곱으로 다음과 같이 나타낼 수 있다.
:<math>\sum_{n=1}^\infty\frac 1{n^s}=\prod_{k=1}^\infty\frac 1{1-1/p_k^s}</math>

== 같이 보기 ==
* [[삼각 함수 항등식]]
* [[연분수]]
* [[급수 (수학)]]
* [[오일러의 오각수 정리]]
== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Infinite product}}
* {{매스월드|id=InfiniteProduct|title=Infinite product}}
* {{웹 인용
|제목=A divergent sereis for which <math>\prod(1+a_n)</math> converges
|언어=en
|웹사이트=Mathematics Stack Exchange
|url=https://math.stackexchange.com/questions/796768/a-divergent-series-which-prod-1a-n-converges
}}

{{전거 통제}}

[[분류:수열]]
[[분류:해석학 (수학)]]