무한 문서 원본 보기

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[[파일:Infinity symbol.svg|섬네일]]
== 언어적 의미 ==
무한(無限, infinity)은 '수(數), 양(量), 공간, 시간 따위에 제한이나 한계가 없음'을 가리킨다. 이에 대해 수학에서는 '집합의 원소를 다 헤아릴 수 없음'으로 표현하기도하며 [[철학]]에서는 '시간이나 공간의 내부 부분이 한계가 있음에 대하여 선천적인 시간이나 공간 그 자체를 이르는 말'로 언급되기도 한다.

== 수학에서의 의미 ==
[[수학]]에서 '''무한대'''(無限大)는 어떤 [[실수]]나 [[자연수]]보다도 더 큰 상태를 뜻한다. 무한은 기수와 서수를 뜻한다.

=== 실해석학에서의 무한 ===
주어진 수열 <math>a_1, a_2, a_3, \cdots</math>에 대하여, 아무리 큰 수 <math>M</math>를 고르더라도 <math>a_N, a_{N+1}, a_{N+2}, \cdots</math>이 모두 <math>M</math>보다 커지는 그러한 <math>N</math>을 찾을 수 있다면, 수열 <math>a_n</math>은 "무한대로 발산한다"고 하고 기호 <math>\infty</math>를 써서 나타낸다.

이곳에서 무한대는 수가 아니라 상태를 나타내는 것으로, 일반적인 [[실수체]](real field, 모든 실수들의 집합)안에서는 두 개의 무한대를 더하거나 곱하는 등의 연산을 할 수는 없다. 그러나 <math>\pm\infty</math>를 포함시켜 [[콤팩트 집합]]의 성질을 갖도록 한 [[확장된 실수]]에서는 실수와 무한대와의 사칙연산 등을 정의하여 사용하기도 한다.

=== [[비표준 해석학]]에서의 무한 ===
비표준 해석학에서는 다음과 같은 형태의 어떠한 것보다도 더 큰 수들을 포함한다.

:<math>1 + 1 + \cdots + 1</math>

이러한 수들을 ‘무한대(infinite)'라고 한다.<ref>Hewitt (1948), p. 74, as reported in Keisler (1994)</ref>또는 무한(infinity)이라고 한다. [[<math>\infty]] [[\pm</math>]]

=== 성질 ===
[[발산 (벡터)|발산]]의 무한<math>\lim_{n\to0}{1 \over n}= \infty</math>
:
[[극한]]의 수렴의 무한
:<math>\sqrt{2} \times \sqrt{2} = 1.999999999......... = \lim_{\infty} 1.999999999......... = 2</math>

이것은 [[0.999...]]에 자세히 나와 있다.

=== 사칙연산 ===
[[1÷3]]의 무한

[[순환소수|1÷3=0.33333333333333...
계산기에 1÷3을 누르면 나누어 떨어지지 않고0.333333333...이런 식으로 반복된다.]]

=== 원주율의 무한 ===

(원주)÷(지름)=3.1415926535897932...등으로 끝없이 이어진다.따라서 3 또는 3.14로 줄여쓴다.<ref>3.14가 제일 정확한 값이다.</ref>

== 각주 ==
<references/>

== 외부 링크 ==
* {{위키공용분류-줄}}

== 수학 ==
* [[1|일]], [[10|십]], [[100|백]], [[1000|천]], [[10000|만]], [[100000000|억]], [[1000000000000|조]], [[10000000000000000|경]], [[100000000000000000000|해]], [[1000000000000000000000000|자]], [[10000000000000000000000000000|양]], [[100000000000000000000000000000000|구]], [[1000000000000000000000000000000000000|간]], [[10000000000000000000000000000000000000000|정]], [[100000000000000000000000000000000000000000000|재]], [[1000000000000000000000000000000000000000000000000|극]], [[항하사]], [[아승기]], [[나유타]], [[불가사의]], [[무량대수]], [[칼파|겁]], [[구골]], [[구골플렉스]], [[무한대]]

* [[원주율]]은 [[무리수]]이다.

* [[자연로그의 밑]]은 [[무리수]]이다.

* <math>\infty</math>을 <math>\infty</math>로 곱해도 <math>\infty</math>이다.

== 과학 ==
[[홍해파리]]는 늙어 죽지 않는다

== 같이 보기 ==
* [[급수 (수학)|급수]]
* [[극한]]
* [[유한]]
* [[무한소]]
* [[유클리드의 정리]]
{{무한}}
{{큰 수}}

{{전거 통제}}
{{토막글|수학}}

[[분류:무한| ]]
[[분류:수리철학]]
[[분류:논리학 개념]]
[[분류:수리철학]]
[[분류:철학 개념]]