무조건 수렴 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[함수해석학]]에서 '''무조건 수렴'''(無條件收斂, {{llang|en|unconditional convergence}})은 [[급수 (수학)|급수]]가 더하는 순서와 무관하게 [[수렴]]하는 성질이다.<ref name="Bogachev">{{서적 인용
|성1=Bogachev
|이름1=V. I.
|성2=Smolyanov
|이름2=O. G.
|제목=Topological Vector Spaces and Their Applications
|언어=en
|총서=Springer Monographs in Mathematics
|출판사=Springer
|위치=Cham
|날짜=2017
|isbn=978-3-319-57116-4
|issn=1439-7382
|doi=10.1007/978-3-319-57117-1
|lccn=2017939903
|zbl=1378.46001
}}</ref><ref name="Kadets">{{서적 인용
|성1=Kadets
|이름1=Mikhail I.
|성2=Kadets
|이름2=Vladimir M.
|제목=Series in Banach Spaces. Conditional and Unconditional Convergence
|언어=en
|총서=Operator Theory Advances and Applications
|권=94
|출판사=Birkhäuser
|위치=Basel
|날짜=1997
|isbn=978-3-0348-9942-0
|doi=10.1007/978-3-0348-9196-7
|zbl=0876.46009
}}</ref><ref name="Schaefer">{{서적 인용
|성1=Schaefer
|이름1=H. H.
|성2=Wolff
|이름2=M. P.
|제목=Topological Vector Spaces
|언어=en
|판=2
|총서=Graduate Texts in Mathematics
|권=3
|출판사=Springer
|위치=New York, NY
|날짜=1999
|isbn=978-1-4612-7155-0
|issn=0072-5285
|doi=10.1007/978-1-4612-1468-7
|zbl=0983.46002
}}</ref> [[실수]]항 또는 [[복소수]]항 급수의 경우 무조건 수렴은 [[절대 수렴]]과 [[동치]]이다.

== 정의 ==
[[위상체]] <math>K</math> 및 [[하우스도르프 공간|하우스도르프]] <math>K</math>-[[위상 벡터 공간]] <math>V</math>이 주어졌다고 하자. 점렬 <math>(v_i)_{i=0}^\infty\subseteq V</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이며, 이 경우 급수 <math>\textstyle\sum_{i=0}^\infty v_i</math>가 '''무조건 수렴'''한다고 한다.<ref name="Schaefer" />{{rp|120, §III, Exercise 23, (ii)}}
* 임의의 [[순열]] <math>\sigma\in\operatorname{Sym}(\mathbb N)</math>에 대하여, <math>\textstyle\sum_{i=0}^\infty v_{\sigma(i)}</math>는 수렴한다.
* 다음 조건을 만족시키는 <math>s\in V</math>가 존재한다.
** 임의의 0의 [[근방]] <math>U</math>에 대하여, 다음을 만족시키는 자연수 <math>N_U\in\mathbb N</math>가 존재한다.{{mindent|<math>\sum_{i\in J}v_i\in s+U\qquad\forall J\in\{J\subseteq\mathbb N\colon|J|<\aleph_0,\;\{0,\dots,N_{\epsilon,\nu}\}\subseteq J\}</math>}}
무조건 수렴 급수는 자명하게 수렴한다. 무조건 수렴하지 않는 수렴 급수를 '''조건 수렴'''(條件收斂, {{llang|en|conditional convergence}})한다고 한다.
{{증명|부제=서로 다른 정의의 동치}}
무조건 수렴 급수 <math>\textstyle\sum_{i=0}^\infty v_i</math>의 합이 [[순열]]과 무관하게 같음을 보이는 것으로 충분하다. [[귀류법]]을 사용하여, <math>\textstyle\sum_{i=0}^\infty v_i=s</math>, <math>\textstyle\sum_{i=0}^\infty v_{\sigma(i)}=s'</math>, <math>s\ne s'</math>인 <math>s,s'\in V</math> 및 [[순열]] <math>\sigma\in\operatorname{Sym}(\mathbb N)</math>이 존재한다고 가정하자. 그렇다면, <math>f(s)\ne f(s')</math>인 [[연속 쌍대 공간]] 원소 <math>f\in V^*</math>를 취할 수 있다. 그렇다면, 실수항 급수 <math>\textstyle\sum_{i=0}^\infty f(v_i)</math>는 [[절대 수렴]]하지 않는다 (이는 순열 <math>\sigma</math>을 가하였을 때 다른 합으로 수렴하기 때문이다). [[리만 재배열 정리]]에 따라, <math>\textstyle\sum_{i=0}^\infty f(v_{\tau(i)})</math>가 발산하게 되는 [[순열]] <math>\tau\in\operatorname{Sym}(\mathbb N)</math>이 존재하며, 이 경우 <math>\textstyle\sum_{i=0}^\infty v_{\tau(i)}</math> 역시 발산하게 된다. 이는 모순이다.
{{증명 끝}}

[[실수체]] 또는 [[복소수체]] <math>K\in\{\mathbb R,\mathbb C\}</math> 및 [[하우스도르프 공간|하우스도르프]] <math>K</math>-[[국소 볼록 공간]] <math>V</math>의 경우, 점렬 <math>(v_i)_{i=0}^\infty\subseteq V</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.<ref name="Bogachev" />{{rp|143, §2.10(ii)}}
* <math>\textstyle\sum_{i=0}^\infty v_i</math>는 무조건 수렴한다.
* 다음 조건을 만족시키는 <math>s\in V</math>가 존재한다.
** 임의의 [[연속 함수|연속]] [[반노름]] <math>\nu\colon V\to[0,\infty)</math> 및 양의 실수 <math>\epsilon\in\mathbb R^+</math>에 대하여, 다음을 만족시키는 자연수 <math>N_{\epsilon,\nu}\in\mathbb N</math>가 존재한다.{{mindent|<math>\nu\left(s-\sum_{i\in J}v_i\right)<\epsilon\qquad\forall J\in\{J\subseteq\mathbb N\colon|J|<\aleph_0,\;\{0,\dots,N_{\epsilon,\nu}\}\subseteq J\}</math>}}

[[실수체]] 또는 [[복소수체]] <math>K\in\{\mathbb R,\mathbb C\}</math> 및 <math>K</math>-[[바나흐 공간]] <math>(V,\Vert\cdot\Vert)</math>의 경우, 점렬 <math>(v_i)_{i=0}^\infty\subseteq V</math>에 대하여, 다음 세 조건이 서로 [[동치]]이다.<ref name="Kadets" />{{rp|10, §1.3, Theorem 1.3.2}}
* <math>\textstyle\sum_{i=0}^\infty v_i</math>는 무조건 수렴한다.
* 임의의 순증가 자연수열 <math>i_0<i_1<i_2<\cdots</math>에 대하여, <math>\textstyle\sum_{j=0}^\infty v_{i_j}</math>는 수렴한다.
* (완전 수렴, {{llang|en|perfect convergence}}) 임의의 <math>\lambda_0,\lambda_1,\dots\in\mathbb\{{-1},1\}</math>에 대하여, <math>\textstyle\sum_{i=0}^\infty\lambda_iv_i</math>는 수렴한다.

=== 절대 수렴 ===
{{본문|절대 수렴}}
[[실수체]] 또는 [[복소수체]] <math>K\in\{\mathbb R,\mathbb C\}</math> 및 [[하우스도르프 공간|하우스도르프]] <math>K</math>-[[국소 볼록 공간]] <math>V</math>이 주어졌다고 하자. 점렬 <math>(v_i)_{i=0}^\infty\subseteq V</math>이 다음 조건을 만족시킨다면, 급수 <math>\textstyle\sum_{i=0}^\infty v_i</math>가 '''[[절대 수렴]]'''한다고 한다.<ref name="Schaefer" />{{rp|120, §III, Exercise 23, (iii)}}
* 임의의 [[연속 함수|연속]] [[반노름]] <math>\nu\colon V\to[0,\infty)</math>에 대하여, <math>\textstyle\sum_{i=0}^\infty\nu(v_i)<\infty</math>

[[실수체]] 또는 [[복소수체]] <math>K\in\{\mathbb R,\mathbb C\}</math> 및 <math>K</math>-[[노름 공간]] <math>(V,\Vert\cdot\Vert)</math>의 경우, 점렬 <math>(v_i)_{i=0}^\infty\subseteq V</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>\textstyle\sum_{i=0}^\infty v_i</math>는 무조건 수렴한다.
* <math>\textstyle\sum_{i=0}^\infty\Vert v_i\Vert<\infty</math>

== 성질 ==
[[하우스도르프 공간|하우스도르프]] [[완비 균등 공간|완비]] [[국소 볼록 공간]] 위의 모든 [[절대 수렴]] 급수는 무조건 수렴한다.<ref name="Schaefer" />{{rp|120, §III, Exercise 23, (a)}} 특히, [[프레셰 공간]]이나 [[바나흐 공간]] 위의 [[절대 수렴]] 급수는 무조건 수렴한다. 유한 차원 [[하우스도르프 공간|하우스도르프]] [[국소 볼록 공간]] 위의 모든 무조건 수렴 급수는 [[절대 수렴]]한다.<ref name="Schaefer" />{{rp|120, §III, Exercise 23, (b)}}

[[위상체]] <math>K</math> 및 [[하우스도르프 공간|하우스도르프]] [[완비 균등 공간|완비]] <math>K</math>-[[위상 벡터 공간]] <math>V</math>의 경우, 점렬 <math>(v_i)_{i=0}^\infty\subseteq V</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.<ref name="Schaefer" />{{rp|120, §III, Exercise 23, (a)}}
* <math>\textstyle\sum_{i=0}^\infty v_i</math>는 무조건 수렴한다.
* 임의의 0의 근방 <math>U</math>에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 자연수 <math>N_U\in\mathbb N</math>가 존재한다. {{mindent|<math>\sum_{i\in J}v_i\in U\qquad\forall J\in\{J\subseteq\mathbb N\colon|J|<\aleph_0,\;J\cap\{0,\dots,N_U\}=\varnothing\}</math>}}

=== 프레셰 공간 위의 무조건 수렴 ===
[[프레셰 공간]]에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.<ref name="Bogachev" />{{rp|138, §2.9, Theorem 2.9.14}}<ref name="Schaefer" />{{rp|184, §IV.10, (10.7), Corollary 2}}
* 모든 무조건 수렴 급수는 [[절대 수렴]]한다.
* [[핵공간]]({{llang|en|nuclear space}})이다.

=== 바나흐 공간 위의 무조건 수렴 ===
[[노름 공간]]에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.<ref name="Kadets" />{{rp|8, §1.2, Theorem 1.2.2; 8, §1.2, Exercise 1.2.1}}
* 모든 [[절대 수렴]] 급수는 무조건 수렴한다.
* 모든 [[절대 수렴]] 급수는 수렴한다.
* [[바나흐 공간]]이다.
{{증명}}
첫 번째와 두 번째 조건의 동치는 자명하다.

두 번째 조건 ⇒ 세 번째 조건: <math>K</math>-[[바나흐 공간]] <math>(V,\Vert\cdot\Vert)</math> 위의 급수 <math>\textstyle\sum_{i=0}^\infty v_i</math> (<math>v_i\in V</math>)가 절대 수렴한다고 하자. 그렇다면, <math>\textstyle\sum_{i=0}^\infty\Vert v_i\Vert</math>의 부분합은 [[코시 점렬]]이므로, 임의의 양의 실수 <math>\epsilon\in\mathbb R^+</math>에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 자연수 <math>N_\epsilon\in\mathbb N</math>가 존재한다.
:<math>\epsilon>\sum_{i=m+1}^n\Vert v_i\Vert\ge\left\Vert\sum_{i=m+1}^nv_i\right\Vert\qquad\forall m,n\ge N_\epsilon</math>
따라서 원래 급수 <math>\textstyle\sum_{i=0}^\infty v_i</math>의 부분합 역시 [[코시 점렬]]이며, <math>\textstyle\sum_{i=0}^\infty v_i</math>은 수렴한다.

세 번째 조건 ⇒ 두 번째 조건: <math>K</math>-[[노름 공간]] <math>(V,\Vert\cdot\Vert)</math> 위의 모든 [[절대 수렴]] 급수가 수렴한다고 가정하자. <math>(v_i)_{i=0}^\infty</math>가 임의의 [[코시 점렬]]이라고 하자. 그렇다면, 다음 조건을 만족시키는 자연수열 <math>i_0<i_1<i_2<\cdots</math>이 존재한다.
:<math>\Vert v_m-v_n\Vert<\frac 1{2^j}\qquad\forall m,n\ge i_j,\;j\in\mathbb N</math>
특히
:<math>\Vert v_{i_{j+1}}-v_{i_j}\Vert<\frac 1{2^j}\qquad\forall k\in\mathbb N</math>
이므로, <math>\textstyle\sum_{j=0}^\infty\Vert v_{i_{j+1}}-v_{i_j}\Vert<\infty</math>이다. 가정에 따라, <math>\textstyle\sum_{j=0}^\infty(v_{i_{j+1}}-v_{i_j})</math>는 수렴한다. <math>(v_i)_{i=0}^\infty</math>은 수렴 부분 점렬 <math>(v_{i_j})_{j=0}^\infty</math>을 갖는 [[코시 점렬]]이므로, 자기 자신 역시 수렴한다.
{{증명 끝}}

[[바나흐 공간]]에 대하여, 다음 세 조건이 서로 [[동치]]이다 ('''드보레츠키-로저스 정리''', {{llang|en|Dvoretzky–Rogers theorem}}).<ref name="Bogachev" />{{rp|138, §2.9, Theorem 2.9.15}}<ref name="Kadets" />{{rp|48, §4.1, Theorem 4.1.1}}<ref name="Schaefer" />{{rp|184, §IV.10, (10.7), Corollary 3}}
* 모든 무조건 수렴 급수는 [[절대 수렴]]한다.
* 유한 차원이다.
이에 따라, 임의의 무한 차원 [[바나흐 공간]]은 절대 수렴하지 않는 무조건 수렴 급수를 가진다.

=== 실수항 또는 복소수항 급수의 무조건 수렴 ===
([[실수체]]와 [[복소수체]]는 유한 차원 [[바나흐 공간]]이므로,) 실수항 또는 복소수항 급수에 대하여, 무조건 수렴은 [[절대 수렴]]과 [[동치]]이다. 이에 따라 실수항 또는 복소수항 조건 수렴 급수는 적절한 [[순열]]을 가하여 발산 급수로 만들 수 있다. '''[[리만 재배열 정리]]'''에 따르면, 모든 실수항 조건 수렴 급수는 적절한 [[순열]]을 가하여 임의의 [[확장된 실수]]로 수렴하도록 만들 수 있다. 이는 복소수항 급수에 대해서는 성립하지 않는다.

임의의 자연수 집합 <math>A\subseteq\mathbb N</math>에 대하여,
:<math>N(A)=\min\left\{|J|\colon
A=\bigcup_{(i,j)\in J}\{i,i+1,\dots,j-1,j\},\;J\subseteq\mathbb N^2\right\}\in\mathbb N\cup\{\infty\}</math>
라고 하자.

임의의 [[순열]] <math>\sigma\in\operatorname{Sym}(\mathbb N)</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다 (이 조건을 ㈀이라고 하자).
* <math>\textstyle\sum_{i=0}^\infty v_i</math>가 수렴하며, <math>\textstyle\sum_{i=0}^\infty v_{\sigma(i)}</math>는 발산하게 되는 실수열 <math>(v_i)_{i=0}^\infty\subseteq\mathbb R</math>이 존재한다.
* <math>\textstyle\sup_{i,j\in\mathbb N}N(\sigma^{-1}(\{i,i+1,\dots,j-1,j\}))=\infty</math>

임의의 [[순열]] <math>\sigma\in\operatorname{Sym}(\mathbb N)</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다 (이 조건을 ㈁이라고 하자).
* <math>\textstyle\sum_{i=0}^\infty v_i</math>와 <math>\textstyle\sum_{i=0}^\infty v_{\sigma(i)}</math>가 수렴하며, <math>\textstyle\sum_{i=0}^\infty v_{\sigma(i)}\ne\sum_{i=0}^\infty v_i</math>이게 되는 실수열 <math>(v_i)_{i=0}^\infty\subseteq\mathbb R</math>이 존재한다.
* <math>\textstyle\lim_{i\to\infty}N(\sigma^{-1}(\{0,1,\dots,i\})=\infty</math>

특히, ㈁ 조건은 ㈀ 조건을 함의한다.

== 예 ==
[[르베그 공간]] <math>V=\ell^2(\mathbb R)</math> 위의 다음과 같은 점렬 <math>(v_i)_{i=1}^\infty</math>을 생각하자.
:<math>v_i=(\underbrace{0,\dots,0,i^{-1}}_i,0,\dots)\in\ell^2(\mathbb K)</math>
그렇다면, 급수 <math>\textstyle\sum_{i=1}^\infty v_i</math>는
:<math>s=(1,2^{-1},3^{-1},\dots)\in\ell^2(\mathbb K)</math>
로 무조건 수렴하지만,
:<math>\sum_{i=1}^\infty\Vert v_i\Vert_2=\sum_{i=1}^\infty i^{-1}=\infty</math>
이므로 [[절대 수렴]]하지 않는다.

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|성=Golubov|이름=B. I.|제목=Unconditional convergence}}

[[분류:함수해석학]]
[[분류:급수]]
[[분류:수렴]]