무작위장 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[확률론]]과 [[통계학]]에서 '''무작위장'''({{llang|en|random field|랜덤 필드}})은 임의의 영역(보통 <math>\mathbb{R}^n</math>과 같은 다차원 공간)에서 정의된 무작위 함수이다. 즉, 각 점 <math>x \in \mathbb{R}^n</math> (또는 다른 정의역)에서 임의의 값을 취하는 함수 <math>f(x)</math>이다. 또한 이는 첨자 집합에 어떤 제한이 있는 [[확률 과정]]의 동의어로 보기도 한다. 즉, 현대 정의에 따르면 무작위장은 기본 매개변수가 더 이상 실수 또는 [[정수]]일 필요가 없고 대신 다차원 [[벡터 공간|벡터]] 또는 [[다양체]]의 점일 수 있다.<ref>{{서적 인용|제목=Random Fields: Analysis and Synthesis|성=Vanmarcke, Erik|연도=2010|출판사=World Scientific Publishing Company|isbn=978-9812563538}}</ref>

가장 기초적으로, 값들이 분산된 경우, 무작위장은 그 지표가 n 차원 공간으로 사상된 무작위 숫자들의 목록이다. 무작위장의 값들은 보통 공간적으로 한가지 또는 그 밖의 방법으로 상호 관련되어 있다. 가장 기초적인 형태에서, 이것은 아마도 밀접한 값들(즉, 밀접한 지표를 갖는 값)이 그들이 그 이상 떨어져 있는 값들만큼 구분되지 않는다는 것을 의미할 것이다. 무작위장에서 모델링된 많은 다양한 유형들인 [[공분산]] 구조의 예이다. 더욱 일반적으로, 그 값들은 연속적인 영역에 대해 정의되어있고, 무작위장은 아마도 함수화된 [[확률변수]]로서 생각될 수 있다.

보다 일반적으로 각 값 <math>X_i</math>은 연속적인 정의역에 대해 정의될 수 있다. 더 큰 격자에서는 위에서 설명한 대로 무작위장를 "함수 값" 확률 변수로 생각하는 것이 유용할 수도 있다. 예를 들어 [[양자장론]]에서 [[함수 공간]]에 걸쳐 임의의 값을 취하는 확률 [[범함수]]를 고려한다([[경로 적분 공식화|파인만 적분]] 참조).

== 정의 ==
[[확률공간]] <math>(\Omega, \mathcal{F}, P)</math>가 주어졌을 때, <math>X</math>에 값을 갖는 '''무작위장''' <math>F</math>는 각 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>T</math>의 점에 대하여 X에 값을 갖는 [[확률변수]] <math>F_t</math>을 대응시키는 함수이다.
: <math> \{ F_t : t \in T \}</math>
즉, 무작위장 F는 다음과 같은 각 <math>F_t</math>이 X-값 [[확률변수]]인 [[집합]]이다.

마르코프 무작위장, 기브스 무작위장, 조건부 무작위장, 가우스 무작위장 등의 여러 종류의 무작위장이 존재한다.

== 응용 ==
[[자연과학|자연 과학]] 현상을 모델링 할 때 응용하는 경우 무작위장의 값은 공간적으로 상관되는 경우가 많다. 예를 들어, 인접한 값(즉, 인접한 인덱스가 있는 값)은 더 멀리 떨어져 있는 값만큼 다르지 않다. 이는 [[공분산]] 구조의 한 예이며, 다양한 유형이 무작위장에서 모델링될 수 있다. 한 가지 예는 때때로 가장 가까운 이웃 상호 작용이 모델을 더 잘 이해하기 위한 단순화로만 포함되는 [[이징 모형|이징 모델]]이다.

무작위 장의 일반적인 용도는 컴퓨터 그래픽, 특히 물과 땅 과 같은 자연적 표면을 모방하는 그래픽 생성에 있다. 무작위장은<ref>{{저널 인용|제목=A two-dimensional approach to quantify stratigraphic uncertainty from borehole data using non-homogeneous random fields|저널=Engineering Geology|성=Cardenas|이름=IC|날짜=2023|doi=10.1016/j.enggeo.2023.107001}}</ref>에서와 같이 지하 모델에도 사용되었다.

[[신경과학]], 특히 [[양전자 방출 단층촬영|PET]] 또는 [[기능자기공명영상법|fMRI]]를 사용한 작업 관련 기능적 뇌 영상 연구에서 무작위장의 통계 분석은 ''실제로'' 중요한 활성화가 있는 영역을 찾기 위한 [[다중 비교|다중 비교 수정]]에 대한 일반적인 대안 중 하나이다.<ref>{{저널 인용|제목=A Three-Dimensional Statistical Analysis for CBF Activation Studies in Human Brain|저널=Journal of Cerebral Blood Flow & Metabolism|성=Worsley|이름=K. J.|성2=Evans|이름2=A. C.|날짜=November 1992|권=12|호=6|쪽=900–918|언어=en-US|doi=10.1038/jcbfm.1992.127|issn=0271-678X|pmid=1400644|성3=Marrett|이름3=S.|성4=Neelin|이름4=P.}}</ref>

이는 [[기계 학습]]에도 사용된다( [[그래프 모형|그래픽 모델]] 참조).

== 텐서 값 무작위장 ==
무작위장은 자연적으로 공간적으로 변하는 특성에 해당하는 [[몬테카를로 방법]]을 통해 자연적 과정을 연구하는 데 유용하다. 이로 인해 텐서 값 무작위장이 발생한다. 여기서 중요한 역할은 속성의 평균을 계산할 수 있는 공간 상자인 '''통계적 부피 원소''' (SVE)에 의해 수행된다. SVE가 충분히 커지면 그 특성은 결정론적이 되고 결정론적 연속체 물리학의 대표 체적 원소 (RVE)를 복구한다. 연속체 이론에 나타나는 두 번째 유형의 무작위장은 종속량(온도, 변위, 속도, 변형, 회전, 물체 및 표면력, 응력 등)의 무작위장이다.<ref>{{서적 인용|제목=Tensor-Valued Random Fields for Continuum Physics|성=Malyarenko, Anatoliy|성2=Ostoja-Starzewski, Martin|저자링크2=Martin Ostoja-Starzewski|연도=2019|출판사=Cambridge University Press|isbn=9781108429856}}</ref>

== 같이 보기 ==
* [[공분산]]
* [[확률 과정]]

== 각주 ==
<references />
== 참고 문헌 ==
* Besag, J. E. "Spatial Interaction and the Statistical Analysis of Lattice Systems", ''Journal of Royal Statistical Society: Series B'' 36, 2 (May 1974), 192-236.
* {{서적 인용| author=Adler, RJ & Taylor, Jonathan | title=Random Fields and Geometry | publisher=Springer | year=2007 | isbn=978-0-387-48112-8}}
* {{서적 인용| author=Khoshnevisan | title=Multiparameter Processes - An Introduction to Random Fields | publisher=Springer | year=2002 | isbn=0-387-95459-7}}

[[분류:확률 과정]]