무연근 문서 원본 보기

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'''무연근'''(無緣根, [[w:Extraneous and missing solutions|Extraneous and missing solutions]])

다항방정식은 [[근 (수학)|해]]를 구하는 유도과정을 거쳐서 [[근 (수학)|근]]을 찾게 되는데,<ref>http://www.tmath.or.kr/kin/qna/detail.asp?qnaNum=125 {{웹아카이브|url=https://web.archive.org/web/20161018232749/http://www.tmath.or.kr/kin/qna/detail.asp?qnaNum=125}} -사단법인 전국수학교사모임</ref> 이때 [[다항식]]이 [[방정식#분수 방정식|유리방정식(분수방정식)]]이나 [[방정식#무리 방정식|무리방정식]]의 경우라면, 해로서 구한 근이 다항방정식의 근이기도 하지만 원래의 유리방정식이나 무리방정식의 근이 아닌 것이 해로 포함되어 나타낼 때가 있다. 이와 같은 근을 무연근이라고 한다.<ref>http://www.mathlove.kr/shop/mathlove/share/share_01_read.php?tm=1&menus=share1&no=990&page=13 -수학사랑</ref>

따라서 유리방정식이나 무리방정식의 근의 경우에는 찾은 근을 원래의 다항식에 대입하여 다항방정식이 성립되지 않는 무연근을 찾아 제외해야 하는 검산을 거쳐야 한다.

== 유리방정식의 경우 ==
유리방정식은 분모에 미지수를 포함하는 분수식으로 이루어지는 방정식이다. 유리방정식을 풀 때에는 각 항의 분모의 최소공배수를 양변에 곱하여 다항방정식으로 고쳐서 푼다. 여기서 나온 해 중에서 유리방정식이 성립하지 않는 근을 [[무연근]]이라고 하며, 무연근은 해집합에서 제외한다.
:<math> {1 \over x} + {2 \over (x+1)} = 0</math>
:<math> {1 \over x} = - {2 \over (x+1)}</math>
:<math> {1 \cdot (x)(x+1) \over x} = - {2\cdot (x)(x+1) \over (x+1)}</math>
:<math> {1 \cdot (x)(x+1) \over x} + {2\cdot (x)(x+1) \over (x+1)}=0</math>
:<math> {(x+1)} + {2 (x)} = 0</math>
:<math> 3x =-1</math>
:<math> x =-{1 \over 3}</math>
:<math> x =-{1 \over 3}</math>을 원래의 식<math>\; {1 \over x} + {2 \over (x+1)} = 0</math>에 대입해 무연근 여부를 검산하면,
:<math> {1 \over x} = - {2 \over (x+1)}</math>
:<math> {1 \over \left( -{1 \over 3} \right)} = - {2 \over \left( -{1 \over 3}+ 1 \right)}</math>
:<math> - 3 = - {2 \over \left( {{-1+3} \over 3} \right)}</math>
:<math> - 3 = - {2 \over \left( {{2} \over 3} \right)}</math>
:<math> - 3 = - {6 \over 2 }</math>
:<math> - 3 = - 3</math>

양변이 같으므로 <math> x =-{1 \over 3}\;</math>은 위의 방정식에 성립하고 따라서 무연근이 아니므로,

그러므로, <math> {1 \over x} + {2 \over (x+1)} = 0</math>의 해는 <math> x =-{1 \over 3}\;</math>이 된다.

== 무리방정식의 경우 ==
방정식의 항에 [[무리수]]를 포함하는 다항식으로 이루어진 방정식을 무리방정식이라 한다.

무리방정식 <math> x+ \sqrt{x+1} - 1 = 0 </math>에 대해서,
:<math>\sqrt{x+1}=k</math>로 '''치환'''하면,
:<math>(\sqrt{x+1})^2=(k)^2</math>
:<math>x+1=k^2</math>
:<math>x=k^2-1</math>
:<math> (k^2 -1)+ k - 1 = 0 </math>
:<math> k^2 + k - 2 = 0 </math>
이것은 이차방정식이므로 근의 공식을 대입하면,
:<math>k= {{-1\pm\sqrt{1^2-(4\cdot-2)}} \over {2}} </math>
:<math>k= {{-1\pm\sqrt{1+8}} \over {2}} </math>
:<math>k= {{-1\pm\sqrt{9}} \over {2}} </math>
:<math>k= {{-1+\sqrt{9}} \over {2}},{{-1-\sqrt{9}} \over {2}} </math>
:<math>k= {{-1+3} \over {2}},{{-1-3} \over {2}} </math>
:<math>k= {2 \over {2}},{-4 \over {2}} </math>
:<math>k= {1},{-2} </math>
'''치환'''을 정리하면,
:<math>x=k^2-1, k= {1},{-2} </math>
:<math>k= {1} </math>일때,
:<math>x=(1)^2-1 </math>
:<math>x=0 </math>
:<math> x+ \sqrt{x+1} - 1 = 0 </math>식에 대입하여 무연근을 확인하면,
:<math> 0+ \sqrt{0+1} - 1 = 0 </math>
:<math> 0 = 0 </math>이므로 무연근이 아니고,
:<math>k= {-2} </math>일때,
:<math>x=(-2)^2-1 </math>
:<math>x=4-1 </math>
:<math>x=3 </math>
:<math> x+ \sqrt{x+1} - 1 = 0 </math>식에 대입하여 무연근을 확인하면,
:<math> 3+ \sqrt{3+1} - 1 = 0 </math>
:<math> 3+ \sqrt{4} - 1 = 0 </math>
:<math> 3+ 2 - 1 = 0 </math>
:<math> 4 = 0 </math>
:<math> 4 \neq 0 </math>이므로 무연근이다.
따라서,<math> x+ \sqrt{x+1} - 1 = 0 </math>의 근은<math>x=0 </math>이다.

== 같이 보기 ==
* [[방정식]]

== 각주 ==
{{각주}}

[[분류:방정식]]
[[분류:초등대수학]]