무어 공간 (대수적 위상수학) 문서 원본 보기

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{{다른 뜻|무어 공간}}

[[대수적 위상수학]]에서 '''무어 공간'''({{lang|en|Moore space}})과 '''피터슨 공간'''({{lang|en|Peterson space}})은 특정 차수를 제외한 [[호몰로지 군]]([[코호몰로지 군]])이 모두 [[자명군]]인 [[위상 공간]]이다. 호몰로지 · 코호몰로지 군에 대한 [[에일렌베르크-매클레인 공간]]과 비슷한 개념이다.

== 정의 ==

[[아벨 군]] <math>G</math>와 양의 정수 <math>n \ge 1</math>에 대하여 무어 공간 <math>M(G, n)</math>은 다음과 같은 [[축소 호몰로지 군]]을 갖는 [[위상 공간]]이다.

:<math>\tilde H_i(M(G,n))=\begin{cases}G&k=n\\0&k\ne n\end{cases}</math>

[[아벨 군]] <math>G</math>와 양의 정수 <math>n \ge 1</math>에 대하여 피터슨 공간 <math>P(G, n)</math>은 다음과 같은 [[축소 코호몰로지 군]]을 갖는 [[위상 공간]]이다.

:<math>\tilde H^i(P(G,n))=\begin{cases}G&k=n\\0&k\ne n\end{cases}</math>

문헌에 따라 양쪽 모두 [[단순 연결 공간]]이라는 조건이 더 붙기도 한다.

== 성질 ==

=== 존재성 ===

<math>G</math>가 [[유한 생성 아벨 군]]일 경우 무어 공간 <math>M(G, n)</math>은 항상 만들 수 있다.<ref name="Hatcher">{{서적 인용| last=Hatcher |first= Allen |title=Algebraic topology |url=http://www.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html |날짜= 2002 |publisher=Cambridge University Press |place=Cambridge |zbl=1044.55001|mr=1867354|isbn=978-0-521-79540-1|언어=en}}</ref>{{rp|Example 2.40}}

피터슨 공간은 모든 <math>(G,n)</math>에 대해서 항상 존재하지는 않는다. 하지만 만약 <math>G</math>가 [[유한 생성 아벨 군]]이며 <math>n\ge2</math>라면 피터슨 공간 <math>P(G, n)</math>은 항상 존재하며, 추가로 <math>n\ge3</math>이라면 그 [[호모토피 유형]]은 <math>(G,n)</math>에 의하여 유일하게 결정된다.<ref name="Neisendorfer">{{저널 인용|url=http://www.math.rochester.edu/people/faculty/jnei/homgrpswithcoeff.pdf|제목=Homotopy groups with coefficients|이름=Joseph A.|성=Neisendorfer|zbl=1205.55001|저널=Journal of Fixed Point Theory and Applications|권=8|호=2|쪽=247–338|doi=10.1007/s11784-010-0020-1|issn=1661-7738|날짜=2010-12|언어=en}}</ref>{{rp|§6}}

== 예 ==

* <math>M(\mathbb{Z}, n) \cong S^n</math>
* <math>M(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}, 1) \cong \mathbb{RP}^2</math>

== 역사 ==

무어 공간은 1954년 [[존 콜먼 무어]]가 언급하였다.<ref>{{저널 인용| url=https://www.jstor.org/stable/1969718 |제목=On Homotopy Groups of Spaces with a Single Non-Vanishing Homology Group |이름=John C.|성=Moore| 저널= Annals of Mathematics | 권=59 | 호=3  | 쪽=549–557 | doi=10.2307/1969718 | 날짜=1953-03-31 | 출판날짜=1954-05 |언어=en}}</ref>{{rp|550}}
1956년 [[프랭클린 폴 피터슨]]은 [[호모토피 군#계수가 있는 호모토피|계수가 있는 코호모토피 군]]을 연구하기 위해 무어 공간을 이용했다.<ref>{{저널 인용|url=https://www.jstor.org/stable/pdf/2372515.pdf|제목=Generalized Cohomotopy Groups|이름=Franklin P.|성=Peterson| 저널=American Journal of Mathematics | 권=78 | 호=2 |쪽=259–281|doi=10.2307/2372515 | 날짜=1956-04 |언어=en}}</ref>{{rp|262}}

== 같이 보기 ==
* [[에일렌베르크-매클레인 공간]]
== 참고 문헌 ==
<references/>

{{전거 통제}}

[[분류:대수적 위상수학]]