무어 공간 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
{{다른 뜻|무어 공간 (대수적 위상수학)}}

[[일반위상수학]]에서 '''무어 공간'''(Moore空間, {{llang|en|Moore space}})은 [[거리화 가능 공간]]과 유사한 성질을 갖는 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]이다. 일부 추가 조건 아래, 무어 공간과 [[거리화 가능 공간]]의 조건은 서로 [[동치]]이다.

== 정의 ==
'''무어 공간'''은 다음 조건을 만족시키는 [[정칙 공간|정칙]] [[하우스도르프 공간]]이다.
* 다음 성질을 만족시키는, [[가산 집합|가산]] 개의  <math>X</math>의 [[열린 덮개]] <math>(\mathcal U_i)_{i\in I}</math>들이 존재한다.
** 임의의 [[닫힌집합]] <math>C\subseteq X</math> 및 점 <math>p\in X\setminus C</math>에 대하여, <math>\{U\cap C\in\mathcal U_i\colon p\in U\}=\{\varnothing\}</math>인 <math>i\in I</math>가 존재한다.

== 성질 ==
모든 [[거리화 가능 공간]]은 무어 공간이다. 이 경우, 덮개족은 <math>\{B_{1/n}(x)\colon x\in X\}_{n\in\mathbb Z^+}\}</math>이다. 여기서 <math>B_r(x)</math>는 (주어진 [[거리 함수]]에 대한) 반지름이 <math>r</math>인 열린 공이다.

'''트레일러 정리'''({{llang|en|Traylor’s theorem}})에 따르면, [[메타콤팩트 공간|메타콤팩트]] [[분해 가능 공간]] <math>X</math>에 대하여 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>X</math>는 [[거리화 가능 공간]]이다.
* <math>X</math>는 무어 공간이다.
'''리드-제너 정리'''({{llang|en|Reed–Zenor theorem}})에 따르면, [[국소 콤팩트]] [[국소 연결]] [[정규 공간]] <math>X</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>X</math>는 [[거리화 가능 공간]]이다.
* <math>X</math>는 무어 공간이다.
'''존스 정리'''({{llang|en|Jones’ theorem}})에 따르면, 만약 <math>2^{\aleph_0}<2^{\aleph_1}</math>이라면, [[분해 가능]] [[정규 공간]] <math>X</math>에 대하여 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.<ref>{{저널 인용|이름=F. B.|성= Jones |제목=Concerning normal and completely normal spaces|저널=Bulletin of the American Mathematical Society|권=43|호=10|날짜=1937|쪽= 671-677|doi=10.1090/S0002-9904-1937-06622-5|issn=0273-0979|언어=en}}</ref>{{rp|Theorem 5}}
* <math>X</math>는 [[거리화 가능 공간]]이다.
* <math>X</math>는 무어 공간이다.

=== 집합론적인 조건 ===
'''정규 무어 공간 추측'''({{llang|en|normal Moore space conjecture}})은 모든 정규 무어 공간이 거리화 가능 공간이라는 추측이다. 이 추측은 [[선택 공리]]를 추가한 [[체르멜로-프렝켈 집합론]]과 독립적이다.

만약 [[마틴 공리]]를 가정한다면 ([[연속체 가설]]의 참·거짓에 관계 없이) 정규 무어 공간 추측은 거짓이다.

[[구성 가능성 공리]]를 가정한다면, 모든 [[국소 콤팩트]] [[정규 공간|정규]] 무어 공간은 [[거리화 가능 공간]]이다.<ref>{{저널 인용|doi=10.1090/S0002-9939-1974-0362240-4 |제목=Normal Moore spaces in the constructible universe|이름=William|성=Fleissner|저널=Proceedings of the American Mathematical Society|권=46|날짜=1974|쪽=294–298|mr=0362240 |issn=0002-9939|언어=en}}</ref>

만약 정규 무어 공간 추측이 참이라면, 특정 [[큰 기수]]의 존재를 증명할 수 있다.

== 역사 ==
[[로버트 리 무어]]가 도입하였다.<ref name="Moore">{{저널 인용|성=Moore|이름=Robert Lee|제목=Foundations of point set theory|판=1|출판사= New York, American mathematical society|날짜=1932|url=https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=uc1.b4286898|언어=en}}</ref> 무어 공간의 조건은 ([[정칙 공간|정칙]] [[하우스도르프 공간]]의 조건을 제외하면) 무어의 책의 “공리 1”({{llang|en|Axiom 1}})에 해당한다.<ref name="Moore"/>{{rp|6, §1}}<ref>{{서적 인용|성=Nyikos|이름=Peter J.|날짜=2001|장=A history of the normal Moore space problem|제목=Handbook of the History of General Topology|총서=History of Topology|권=3|doi=10.1007/978-94-017-0470-0_7|출판사=Kluwer Academic Publishers|쪽=1179–1212|mr=1900271|언어=en}}</ref>{{rp|1181–1182, §1}}

== 참고 문헌 ==
{{각주}}
* {{서적 인용 | last=Steen | first=Lynn Arthur | 공저자=J. Arthur Seebach, Jr. |제목=Counterexamples in topology | 날짜=1978 | publisher=Springer | isbn= 978-0-387-90312-5 | mr=507446 | zbl = 0386.54001 | 판=2판 | doi = 10.1007/978-1-4612-6290-9 | 언어=en}}
* {{저널 인용|제목=Conjectures and counterexamples in metrization theory | url=http://www.maa.org/programs/maa-awards/writing-awards/conjectures-and-counterexamples-in-metrization-theory | 이름=Lynn Arthur |성=Steen | 날짜=1972-02 | jstor=2316532 | 저널 =  The American Mathematical Monthly | 권=79|호=2|쪽=113–132| 언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Refinement}}
* {{웹 인용|url=http://settheory.mathtalks.org/wp-content/uploads/2012/09/MooreSpaces.pdf|제목=The Normal Moore Space Conjecture|날짜=2012|언어=en|확인날짜=2015-01-11|보존url=https://web.archive.org/web/20160507190039/http://settheory.mathtalks.org/wp-content/uploads/2012/09/MooreSpaces.pdf|보존날짜=2016-05-07|url-status=dead}}

{{전거 통제}}

[[분류:위상 공간의 성질]]