무모순적 이론 문서 원본 보기

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[[수리논리학]]에서 '''무모순적 이론'''(無矛盾的理論, {{llang|en|consistent theory}})은 거짓을 추론할 수 없는 이론이다. 이러한 성질을 '''무모순성'''(無矛盾性, {{llang|en|consistency}}) 또는 '''일관성'''(一貫性)이라고 한다. 자명한 이론(즉, 모든 문장을 증명하는 이론)은 항상 모순적 이론이다. 반대로, [[폭발 원리]]가 성립하는 [[형식 체계]](예를 들어, [[고전 논리|고전]]/[[직관 논리|직관]] [[명제 논리|명제]]/[[1차 논리]])에서, 모든 모순적 이론은 자명한 이론이다.

관련된 개념으로 [[만족 가능 이론]]이 있다. 무모순성이 구문론적으로 정의되는 반면, 만족 가능성은 의미론적 개념이다. 어떤 이론이 [[모형 (논리학)|모형]]을 갖는다면 만족 가능하다고 한다. (즉, 모든 공리가 참이 되는 [[해석 (논리학)|해석]]을 갖춘 [[구조 (논리학)|구조]]가 존재하여야 한다.) [[건전성|건전한]] [[형식 체계]]의 모든 [[만족 가능 이론]]은 무모순적 이론이지만, 그 역은 성립하지 않는다. (건전성에 의하여, 이론에서의 추론 과정은 모형 이론적 진리를 보존하며, 이론에서 증명 가능한 모든 문장은 모형에서도 참이다. 특히 이론이 모순을 증명할 수 있다면 모형 속에도 모순이 존재하는데, 이는 불가능하다.) [[1차 논리]] 형식 체계는 건전하며 ([[건전성 정리]]), 또한 1차 이론의 무모순성과 만족 가능성은 [[동치]]이다 ([[괴델의 완전성 정리]]).

== 정의 ==
[[1차 논리]] 언어 <math>\mathcal L</math>이 주어졌다고 하자. 그렇다면, [[1차 논리]] <math>\mathcal L</math>-문장(즉, 자유 변수가 없는 <math>\mathcal L</math>-[[논리식]])들의 집합 <math>\operatorname{Sent}(\mathcal L)</math>의 [[멱집합]] <math>\mathcal P(\operatorname{Sent}(\mathcal L))</math>을 생각하자. <math>\mathcal L</math>-문장들의 집합 <math>T\in\mathcal P(\operatorname{Sent}(\mathcal L))</math>을 <math>\mathcal L</math>-'''이론'''({{llang|en|theory}})이라고 한다.

<math>\mathcal L</math>-이론 <math>T\in\mathcal P(\operatorname{Sent}(\mathcal L))</math>가 다음 조건을 만족시킨다면, <math>T</math>를 '''무모순적 이론'''({{llang|en|consistent theory}})이라고 한다.
:<math>T\not\vdash\bot</math>
여기서 <math>\bot</math>은 거짓(모순)인 1차 논리 문장이며 (예를 들어, <math>\exists x(\lnot x=x)</math>), <math>\vdash</math>는 1차 논리의 추론 관계이다.

[[페아노 공리계]] <math>\mathsf{PA}</math>의 언어 <math>\mathcal L_{\text{Peano}}</math>는 하나의 상수 <math>0</math>과 하나의 1항 연산 <math>(-)^+</math>을 포함한다.

<math>\mathcal L</math>의 기호들이 자연수의 [[재귀 집합]]을 이룬다고 하자 (특히, 오직 가산 개의 기호만이 존재한다). 그렇다면, <math>\mathcal L</math>-이론 <math>T\in\mathcal P(\operatorname{Sent}(\mathcal L))</math>이 무모순적인지 여부는 [[페아노 공리계]]의 언어로 나타낼 수 있다. 이 <math>\mathcal L_{\text{Peano}}</math>-문장을 <math>\operatorname{Con}(T)</math>라고 한다.

=== 상대적 무모순성 ===
<math>\mathcal L_{\text{Peano}}</math>의 이론 <math>S</math>가 참이라고 하자. 즉,
:<math>\mathbb N\models S</math>
라고 하자 (<math>\mathbb N</math>은 자연수의 <math>\mathcal L_{\text{Peano}}</math>-구조).

그렇다면, <math>\mathcal L</math>-이론들의 집합 <math>\mathcal P(\operatorname{Sent}(\mathcal L))</math> 위에 다음과 같은 [[원순서]]를 정의할 수 있다.
:<math>T\lesssim_ST'\iff S\vdash(\operatorname{Con}(T')\implies\operatorname{Con}(T))</math>
이 원순서를 (메타이론 <math>S</math> 아래의) '''상대적 무모순성 원순서'''({{llang|en|relative consistency preorder}})라고 하며, 이것이 성립한다면 (<math>S</math> 아래) <math>T</math>가 <math>T'</math>에 대하여 '''상대적으로 무모순적'''({{llang|en|relatively consistent}})이라고 한다.<ref>{{서적 인용 | last=Jech | first=Thomas | title=Set theory | url=https://archive.org/details/settheory0000jech_f7i4 | publisher= Springer-Verlag | series=Springer Monographs in Mathematics | 날짜=2003 | doi=10.1007/3-540-44761-X | issn= 1439-7382 | 판 = 3 | isbn= 978-3-540-44085-7 | zbl = 1007.03002 | 언어=en | id={{iaid|settheory0000jech_f7i4}}}}</ref>{{rp|163, Chapter 12}}

<math>T\lesssim_ST'\lesssim_ST</math>라면, <math>T</math>와 <math>T'</math>이 (메타이론 <math>S</math> 아래) '''등무모순적'''(等一致, {{llang|en|equiconsistent}})라고 한다.

== 성질 ==
[[원순서 집합]] <math>(\mathcal P(\operatorname{Sent}(\mathcal L)),\lesssim_S)</math>의 [[최대 원소]]는 모순적 이론이다. 반대로, <math>(\mathcal P(\operatorname{Sent}(\mathcal L)),\lesssim_S)</math>의 [[최소 원소]]는 <math>S</math>로 증명할 수 있는 문장만으로 구성된 이론이다.

만약 메타이론 <math>S</math>를 자연수의 완전 이론 <math>\operatorname{Th}(\mathbb N)</math> (즉, <math>\mathbb N</math>에서 참인 모든 <math>\mathcal L</math>-문장의 집합)으로 놓는다면,  <math>(\mathcal P(\operatorname{Sent}(\mathcal L)),\lesssim_S)</math>은 물론 정확히 2개의 동치류를 갖는다 (무모순적 이론의 동치류와 모순적 이론의 동치류).

=== 불완전성 정리 ===
{{본문|괴델의 불완전성 정리}}
<math>\mathcal L_{\text{Peano}}</math>를 <math>\mathcal L</math>로 해석할 수 있다고 하자. 그렇다면, '''[[괴델의 불완전성 정리]]'''에 따르면, 임의의 이론 <math>T\subseteq\operatorname{Sent}(\mathcal L)</math>에 대하여, 다음이 성립한다.
:<math>\left(T\not\vdash\operatorname{Con}(T)\right)\lor \lnot\operatorname{Con}(T)</math>
즉, <math>T</math>는 모순적이거나 아니면 스스로의 무모순성을 증명할 수 없다.

=== 보존적 확장 ===
두 이론 <math>T</math>와 <math>T'</math>이 주어졌다고 하자. 메타이론 <math>S</math> 아래, 만약 <math>T'</math>이 <math>T</math>의 [[보존적 확장]]이라면, <math>T'</math>와 <math>T</math>는 (메타이론 <math>S</math> 아래) 등무모순적이다.

== 같이 보기 ==
* [[인지부조화]]
* [[힐베르트 문제]]
* [[얀 우카시에비치]]
* [[초일관 논리]]
* [[겐첸의 일관성 증명]]
* [[귀류법]]
== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{매스월드|id=Consistency|title=Consistency}}
* {{매스월드|id=ConsistencyStrength|title=Consistency strength}}
* {{매스월드|id=CompleteAxiomaticTheory|title=Complete axiomatic theory}}

{{전거 통제}}

[[분류:수리논리학]]