무리수 문서 원본 보기

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[[파일:Square root of 2 triangle.svg|섬네일|220px|[[제곱근 2]]는 무리수이다.]]
'''무리수'''(無理數, irrational number)는 두 [[정수]]의 비의 형태로 나타낼 수 없는 [[실수]]를 말한다. 즉 [[분수 (수학)|분수]]로 나타낼 수 없는 [[소수점 표기|소수]]이다. 

이에 반해 두 정수의 비에 의해 나타낼 수 있는 수를 [[유리수]]([[분수 (수학)|분수]])라 한다. 이것도 [[소수점 표기|소수]]이다. 

[[유리수]]의 집합은 <math>\mathbb{Q} = \left\{\frac{m}{n} : m, n \in \mathbb{Z}, n \ne 0 \right\}</math>로 정의하고,
무리수의 집합은 <math>\mathbb{I} = \mathbb{R} - \mathbb{Q}</math>로 정의한다.

무리수는 소수점 이하로 같은 수의 배열이 반복적으로 나타나지 않는(순환하지 않는) [[무한소수]]이다.

무리수는 다시 <math>\sqrt{2}</math>와 같은 [[대수적 수]]와 <math>\pi</math> 등의 [[초월수]]로 나뉜다.

== 역사와 어원 ==

무리수가 존재한다는 것을 처음 증명한 것은 고대 그리스 [[피타고라스 학파]]로 전해진다. [[히파소스]]는 [[제곱근 2|이등변 직각삼각형의 밑변과 빗변의 비]]는 정수의 비율로 표현할 수 없다는 것을 증명했다.<ref>[[Morris Kline|Kline, M.]] (1990). ''Mathematical Thought from Ancient to Modern Times'', Vol. 1. New York: Oxford University Press. (Original work published 1972). p.33.</ref> 이는 우주가 완벽하여 모든 것이 정수의 비로 표현될 수 있다고 믿었던 피타고라스 학파에 충격을 주었다. 전설에 따르면 피타고라스 학파의 동료들이 ‘우주의 섭리에 거스르는 요소를 만들어낸’ 히파소스를 살해했다고 하며, 죽이진 않고 추방했다는 이야기도 있다.

[[에우클레이데스의 원론]] 10권을 포함한 고대 그리스 수학책에서는 유리수를 비로 나타낼 수 있는 길이를 ‘말할 수 있는({{lang|grc|ῥητός|레토스}})’ 길이, 그렇지 못한 것을 ‘말할 수 없는({{lang|grc|ἄλογος|알로고스}})’ 길이라고 불렀다. 알로고스는 글자 그대로 [[로고스]]가 없다는 뜻의 단어로, 말 없음·이성 없음 등을 뜻한다. 이것이 라틴어 {{lang|la|numerus irrationalis}}로 번역되어 지금에 이른다.

== 몇 가지 무리수의 증명 ==
=== 특수한 로그 꼴의 수 ===
가장 간단히 무리수임이 증명되는 수는 <math>\log_2 3</math>과 같은 꼴의 수일 것이다. 증명은 [[귀류법]]을 사용하며, 다음과 같다:
* <math>\log_2 3</math>을 유리수라 하자. 그러면 어떤 자연수 <math>m, n</math>에 대해, <math>\log_2 3 = \frac m n</math>을 만족한다.
* 따라서 <math>2^{\frac m n} = 3</math>이 되고.
* 변형하면 <math>2^m = 3^n</math>이다.
* 그런데 <math>2^m</math>은 짝수이고, <math>3^n</math>은 홀수이므로 위 등식은 성립할 수 없다.
* 따라서 가정이 틀렸다. 즉 <math>\log_2 3</math>은 무리수이다.

=== 2의 제곱근 ===
{{본문|2의 제곱근}}
무리수를 최초로 발견한 것은 일반적으로, 2의 제곱근이 유리수가 아님을 발견한 [[피타고라스]]와 그 제자들로 알려져 있다.

이에 대한 증명의 한 가지 방법은 다음처럼 [[귀류법]]을 사용하는 것이다.
# <math>\sqrt{2}</math>가 유리수라 하자.
# 그러면, <math>\sqrt{2}</math>는 [[기약분수]] <math>\frac a b</math>로 쓸 수 있다. 다시 말해, [[서로소 정수|서로소]]인 정수 <math>a, b</math>에 대해, <math>\left(\frac a b \right)^2 = 2</math>.
# 위 식을 풀면
#: <math>\frac {a^2} {b^2} = 2</math>
#: <math>a^2 = 2 b^2</math>이다.
# 따라서, <math>a^2</math>은 짝수이다.
# 짝수가 아닌 수, 즉 홀수의 제곱은 홀수이므로, <math>a</math>는 짝수여야 한다.
# 따라서, <math>a^2</math>는 4의 배수이다.(이것은 <math>a</math>가 <math>k</math>값에 상관없이 항상 <math>(2k)^2=4k^2</math>가 되기 때문이다.)
# 즉, <math>\frac {a^2} 2</math>는 짝수이다.
# (3)에서, <math>\frac {a^2} 2 = b^2</math>이다.
# (7)과 (8)로부터, <math>b^2</math>가 짝수임을 알 수 있다.
# (4), (5)과 같은 방법으로, <math>b</math>는 짝수이다.
# (5)와 (10)에 의해, <math>a</math>와 <math>b</math>는 모두 짝수. 이는 <math>\frac a b</math>가 [[기약분수]]라는 (2)의 가정에 위배된다. 모순에 의해 (1)의 <math>\sqrt{2}</math>가 유리수라는 가정이 틀렸다는 걸 알 수 있다.

이 방법을 일반화하여, 제곱수가 아닌 자연수의 제곱근은 무리수임을 증명할 수 있다.

=== [[원주율]] ===


[[1761년]] [[요한 하인리히 람베르트|요한 람베르트]]는 탄젠트 함수를 다음과 같은 [[연분수]]로 나타낼 수 있음을 증명했다.<ref>{{서적 인용|성 = 람베르트|이름 = 요한 H.|저자링크=요한 람베르트|연도 = 1768|제목 = Pi, a source book|place = New York|출판사 = Springer-Verlag |판 = 3판(2004년)|쪽 = 129&ndash;140|isbn = 0-387-20571-3|언어=en}}</ref>
:<math>\tan(x) = \cfrac{x}{1 - \cfrac{x^2}{3 - \cfrac{x^2}{5 - \cfrac{x^2}{7 - {}\ddots}}}}.</math>

또한 <math>x</math>가 0이 아닌 [[유리수]]일 때, 위 연분수는 무리수가 된다는 것도 증명했다. 그런데 tan(&pi;/4)&nbsp;=&nbsp;1 이므로, &pi;/4는 무리수가 된다. 따라서 &pi;는 무리수라는 것이 증명된다.<br />
다른 수학자들의 증명은 [[원주율의 무리성 증명|이 문서]]에 나와 있다.

=== 무리수+유리수 ===
# <math>\sqrt {2}+3</math>을 유리수라 가정하자.
# 위의 식이 유리수라면 <math>\sqrt{2}+3=c</math>를 만족하는 유리수 <math>c</math>가 있을 것이다.
# 두 번째 식에서 3을 이항시키면 <math>\sqrt {2}=c-3</math>이 된다.
# 그런데 유리수는 뺄셈에 대하여 닫혀 있으므로 유리수 <math>c</math>에서 3을 뺀 값은 유리수이다.
# 위의 소제목에서 <math>\sqrt{2}</math>가 유리수가 아니라는 것이 증명되었다. 이는 <math>\sqrt {2}+3</math>이 유리수라는 가정과 위배된다.
# 모순에 의해 <math>\sqrt {2}+3</math>이 유리수가 아니라는 것이 증명되었다.
# 따라서, 무리수와 유리수의 합은 무리수이다.

== 각주 ==
<references />

== 같이 보기 ==
* [[소수점 표기]]
* [[분수 (수학)]]
* [[유리수]]
* [[실수]]

{{수 체계}}
{{무리수}}

{{전거 통제}}

[[분류:무리수]]
[[분류:수 체계]]