무게 중심 (기하학) 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[기하학]]에서 '''무게 중심'''(-中心, {{llang|en|centroid, barycenter}})은 주어진 도형 속 모든 점의 [[산술 평균]]이 되는 점이다. 이는 도형을 밀도가 균일한 물체로 보았을 때 .[[물리학]]에서의 [[질량 중심|무게 중심]]과 일치한다.<ref name="Berger" />{{rp|61, Remark 2.7.5.3}}

== 정의 ==
=== 유한 개의 점의 무게 중심 ===
[[체 (수학)|체]] <math>F</math> 위의 [[아핀 공간]] <math>A</math>가 주어졌고, 양의 정수 <math>n</math>이 <math>F</math>의 [[환의 표수|표수]]의 [[배수]]가 아니라고 하자. (예를 들어 <math>A</math>가 [[유클리드 공간]]이며 <math>n</math>은 임의의 양의 정수라고 가정할 수 있다.) 그렇다면 <math>n</math>개의 점 <math>a_1,\dots,a_n\in A</math>의 '''무게 중심'''은 다음을 만족시키는 유일한 점 <math>g\in A</math>로 정의된다.
:<math>\frac 1n\sum_{k=1}^n\overrightarrow{ga_k}=\vec 0</math>
즉, 임의의 <math>a\in A</math>에 대하여, 다음이 성립한다.
:<math>g=a+\frac 1n\sum_{k=1}^n\overrightarrow{aa_k}</math>
특히, <math>A</math>가 [[벡터 공간]]일 경우 다음이 성립한다.<ref name="Berger" />{{rp|75-77, Examples 3.4.2}}
:<math>g=\frac 1n\sum_{k=1}^na_k</math>

=== 유한 개의 질점의 무게 중심 ===
보다 일반적으로, 체 <math>F</math> 위의 아핀 공간 <math>A</math> 및 양의 정수 <math>n</math>이 주어졌고, <math>n</math>개의 점 <math>a_1,\dots,a_n\in A</math>의 질량 <math>w_1,\dots,w_n\in F</math>의 합이 <math>F</math>의 표수의 배수가 아니라고 하자. (예를 들어 <math>A</math>가 유클리드 공간일 경우 질량의 합이 0이 아니라고 하자.) 그렇다면 질점 <math>(a_1,w_1),\dots,(a_n,w_n)</math>의 '''무게 중심'''은 다음을 만족시키는 유일한 점 <math>g\in A</math>이다.<ref name="Audin" />{{rp|26, §I.4, Proposition 4.1}}
:<math>\sum_{k=1}^nw_k\overrightarrow{ga_k}=\vec 0</math>
즉, 임의의 <math>a\in A</math>에 대하여, 다음이 성립한다.<ref name="Audin" />{{rp|26, §I.4, Proposition 4.1}}
:<math>g=a+\frac{\sum_{k=1}^nw_k\overrightarrow{aa_k}}{\sum_{k=1}^nw_k}</math>
특히, <math>A</math>가 벡터 공간일 경우 다음이 성립한다.
:<math>g=\frac{\sum_{k=1}^nw_ka_k}{\sum_{k=1}^nw_k}</math>
유한 개의 점의 무게 중심은
:<math>w_1=\cdots=w_n</math>
인 특수한 경우이다. 이를 질점들의 무게 중심과 구별하기 위해 '''등무게 중심'''(等-中心, {{llang|en|equibarycenter}})이라고 부르기도 한다.

=== 영역의 무게 중심 ===
[[유클리드 공간]] <math>\mathbb R^d</math>의 [[콤팩트 공간|콤팩트 부분 집합]] <math>K\subseteq\mathbb R^d</math>가 <math>\operatorname{int}K\ne\varnothing</math>을 만족시킨다고 하자. 그렇다면 <math>K</math>는 르베그 [[가측 집합]]이며, <math>0<\mu(K)<\infty</math>가 성립한다. 여기서 <math>\mu</math>는 <math>\mathbb R^d</math> 위의 [[르베그 측도]]이다. 이 경우 <math>K</math>의 '''무게 중심'''은 다음과 같이 정의된다.<ref name="Berger">{{서적 인용
|성=Berger
|이름=Marcel
|저자링크=마르셀 베르제
|제목=Geometry I
|언어=en
|번역자-성1=Cole
|번역자-이름1=Michael
|번역자-성2=Levy
|번역자-이름2=Silvio
|총서=Universitext
|출판사=Springer
|위치=Berlin, Heidelberg
|날짜=1987
|isbn=978-3-540-11658-5
|issn=0172-5939
|doi=10.1007/978-3-540-93815-6
}}</ref>{{rp|60, Proposition 2.7.5.1}}
:<math>g=\frac 1{\mu(K)}\int_Kx\mathrm d\mu</math>

보다 일반적으로, 밀도 함수 <math>w\colon K\to\mathbb R</math> (<math>\textstyle\int_Kw(x)\mathrm d\mu\ne 0</math>)가 부여되었을 때의 '''무게 중심'''은 다음과 같다.
:<math>g=\frac{\int_Kw(x)x\mathrm d\mu}{\int_Kw(x)\mathrm d\mu}</math>
영역의 무게 중심은 <math>w</math>가 [[상수 함수]]인 특수한 경우이다.

== 성질 ==
=== 결합 법칙 ===
질점
:<math>(a_1,w_1),\dots,(a_n,w_n)\in A\times K</math>
의 무게 중심은
:<math>(a_1,w_1),\dots,(a_k,w_k)</math>
의 무게 중심과
:<math>(a_{k+1},w_{k+1}),\dots,(a_n,w_n)</math>
의 무게 중심의 질량 <math>\textstyle\sum_{j=1}^kw_j</math> 및 <math>\textstyle\sum_{j=k+1}^nw_j</math>에 대한 무게 중심과 같다.<ref name="Audin" />{{rp|27, Proposition 4.2}} 물론 이는 유한 번 반복할 수 있다. 특히, 체 <math>K</math>의 표수가 2나 3이 아닐 경우, 유한 개의 점의 무게 중심은 [[선분]]과 [[삼각형]]의 무게 중심으로 귀결된다.

=== 아핀기하학적 성질 ===
아핀 공간의 한 점을 원점으로 삼아 벡터 공간으로 만들었을 때, 질점의 무게 중심은 계수의 합이 1인 [[선형 결합]]이므로, 아핀기하학의 몇몇 개념은 무게 중심을 통해 서술할 수 있다.

아핀 공간 <math>A</math>의 부분 집합 <math>B\subseteq A</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.<ref name="Berger" />{{rp|79, Proposition 3.5.1}}
* 질점의 무게 중심에 대하여 닫혀있다.
* [[부분 아핀 공간]]이다.

아핀 공간 <math>A</math>의 부분 집합 <math>B\subseteq A</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.<ref name="Audin">{{서적 인용
|성=Audin
|이름=Michèle
|제목=Geometry
|언어=en
|총서=Universitext
|출판사=Springer
|위치=Berlin, Heidelberg
|날짜=2003
|isbn=978-3-540-43498-6
|issn=0172-5939
|doi=10.1007/978-3-642-56127-6
}}</ref>{{rp|29, §I.5, Proposition 5.6}}
* 음이 아닌 질량의 질점의 무게 중심에 대하여 닫혀있다.
* [[볼록 집합]]이다.

아핀 공간 <math>A</math>와 <math>B</math> 사이의 함수 <math>T\colon A\to B</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.<ref name="Berger" />{{rp|79, Proposition 3.5.2}}
* 질점의 무게 중심을 보존한다. 즉, 만약 <math>g</math>가 <math>(a_k,w_k)</math> (<math>1\le k\le n</math>)의 무게 중심이라면, <math>T(g)</math>는 <math>(T(a_k),w_k)</math> (<math>1\le k\le n</math>)의 무게 중심이다.
* [[아핀 변환]]이다.

== 예 ==
=== 선분 ===
{{본문|중점 (기하학)}}
체의 표수가 2가 아닐 경우, [[선분]] <math>AB</math>의 두 끝점의 무게 중심 <math>M</math>을 선분 <math>AB</math>의 [[중점 (기하학)|중점]]이라고 한다.<ref name="Berger" />{{rp|75-77, Examples 3.4.2}} 이 경우
:<math>MA=MB</math>
가 성립한다.

3차원 유클리드 공간 <math>\mathbb R^3</math> 속 선분의 두 끝점이 각각 <math>(x_k,y_k,z_k)</math> (<math>k=1,2</math>)이라고 할 때, 중점은
:<math>\left(\frac{x_1+x_2}2,\frac{y_1+y_2}2,\frac{z_1+z_2}2\right)</math>
이다.

=== 삼각형 ===
{{참고|삼각형의 오심}}
[[파일:Triangle.Centroid.svg|섬네일|대체글=삼각형 그리고 한 점에서 만나는 세 중선|삼각형의 무게 중심의 도해]]
체의 표수가 3이 아닐 경우 [[삼각형]]의 세 꼭짓점의 무게 중심을 정의할 수 있다. 체의 표수가 2나 3이 아닐 경우, [[삼각형]] <math>ABC</math>의 세 꼭짓점의 무게 중심 <math>G</math>는 세 [[중선]] <math>AD,BE,CF</math>의 교점이며, 각 중선의 중점에 더 가까운 삼등분점이다. 즉,
:<math>AG/GD=BG/GE=CG/GF=2</math>
가 성립한다.<ref name="Isaacs">{{서적 인용
|성=Isaacs
|이름=I. Martin
|제목=Geometry for College Students
|언어=en
|총서=The Brooks/Cole Series in Advanced Mathematics
|출판사=Brooks/Cole
|날짜=2001
|isbn=0-534-35179-4
}}</ref>{{rp|56, §2B, Theorem 2.7}}

[[정삼각형]]이 아닌 삼각형의 무게 중심은 [[외심]], [[구점원]]의 중심, [[수심 (기하학)|수심]]과 함께 [[오일러 직선]] 위의 점이다. 정삼각형의 무게 중심은 내심, 외심, 구점원의 중심, 수심과 일치한다.

유클리드 공간 속 삼각형의 세 꼭짓점의 무게 중심은 세 꼭짓점의 [[볼록 폐포]]의 무게 중심과 일치한다. 특히, <math>\mathbb R^3</math> 속 삼각형의 무게 중심은 [[역학]]에서의 [[질량 중심|무게 중심]]과 일치한다.<ref name="Isaacs" />{{rp|57-58}} 즉, 뾰족한 물체이 꼭지 위에 밀도가 균일한 삼각형판을 세우되 꼭지 위에 무게 중심이 오게 하면, 삼각형판은 기울어지지 않고 평형을 유지한다. 그러나 삼각형의 [[경계 (위상수학)|경계]]의 무게 중심은 삼각형의 [[슈피커 중심]]이며, 이는 일반적으로 삼각형의 무게 중심과 일치하지 않는다.<ref name="Isaacs" />{{rp|58-59}}

3차원 유클리드 공간 <math>\mathbb R^3</math> 속 삼각형의 세 꼭짓점이 각각 <math>(x_k,y_k,z_k)</math> (<math>k=1,2,3</math>)이라고 할 때, 세 꼭짓점의 무게 중심은
:<math>\left(\frac{x_1+x_2+x_3}3,\frac{y_1+y_2+y_3}3,\frac{z_1+z_2+z_3}3\right)</math>
이다.

=== 사각형 ===
사각형 <math>ABCD</math>의 네 꼭짓점 <math>A,B,C,D</math>의 무게 중심은 각 쌍의 대변의 중점을 잇는 2개의 선분과 두 대각선의 중점을 잇는 1개의 선분의 중점이자, 한 꼭짓점과 남은 세 꼭짓점의 무게 중심을 잇는 3개의 선분의 사등분점이다. [[볼록 집합|볼록]] 사각형의 네 꼭짓점의 무게 중심과 네 꼭짓점의 볼록 폐포의 무게 중심은 일반적으로 일치하지 않는다.<ref name="Berger" />{{rp|75-77, Examples 3.4.2}}

=== 다포체 ===
[[볼록 집합|볼록]] [[다포체]]의 모든 꼭짓점의 무게 중심과 모든 꼭짓점의 [[볼록 폐포]]의 무게 중심은 일반적으로 일치하지 않는다.

== 같이 보기 ==
* [[무게 중심 좌표]]
* [[단면 일차 모멘트]]

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Centroid}}
* {{매스월드|id=GeometricCentroid|title=Geometric centroid}}

{{오심}}

{{전거 통제}}

[[분류:아핀기하학]]
[[분류:기하학적 중심]]
[[분류:평균]]