뫼비우스의 띠 문서 원본 보기

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[[파일:Möbius strip.jpg|섬네일|250px|right|종이 끝을 테이프로 이어붙여 만든 뫼비우스의 띠. 만약 개미가 뫼비우스의 띠를 따라 표면을 이동한다면 경계를 넘지 않고도 원래 위치의 반대면에 도달하게 된다.]]
'''뫼비우스의 띠'''({{lang|en|Möbius strip}})는 [[위상수학]]적인 곡면으로, 경계가 하나밖에 없는 2차원 도형이다. 안과 밖의 구별이 없는 대표적인 도형으로서 [[향 (다양체)|비가향적]](non-orientable)이다. [[1858년]]에 [[아우구스트 페르디난트 뫼비우스]]와 [[요한 베네딕트 리스팅]]이 서로 독립적으로 발견했다.

모형은 종이 띠를 절반 만큼 비틀어 끝을 붙이는 것으로 간단하게 만들 수 있다. 사실 [[유클리드 공간]]에서는 어느 쪽으로 비트느냐에 따라 두 종류의 뫼비우스 띠가 존재한다. 따라서 뫼비우스의 띠는 키랄성(Chirality; 실제상과 거울상이 겹치지 않은 구조의 성질, 즉 회전반사대칭이 없는 구조의 입체적 성질)을 띤다.

뫼비우스 띠의 [[오일러 지표]]는 0이다.

== 성질 ==
뫼비우스 띠는 몇 가지 흥미로운 성질을 가진다. 어느 지점에서 띠의 중심을 따라 이동하면 출발한 곳과 반대면에 도달할 수 있다. 이 상황에서 계속 나아가면 두 바퀴를 돌아 처음 위치로 돌아오게 된다. 이러한 연속성에 의해 뫼비우스 띠는 단일 [[경계 (위상수학)|경계]]를 가지게 된다.

띠의 중심을 따라 뫼비우스 띠를 자르면 두 개의 띠로 분리되는 것이 아니라, 단일한 두 번 꼬인 띠가 된다. 이것은 뫼비우스의 띠가 단일한 경계를 가지기 때문인데, 자르기를 하면 두 번째 경계가 생겨나는 것이다.

띠의 중심을 따라 1/3씩 평행한 두 줄로 자르면 두 개의 띠로 분리된다.
하나는 동일한 길이의 뫼비우스의 띠가 되고, 다른 하나는 두 배로 긴, 두 번 꼬인 띠가 된다.

짝수번 비튼 띠는 뫼비우스의 띠는 아니다.

1번 비튼 띠 (1번 비튼 띠=180°회전시킨 띠)

-2등분시 = 4번 비튼 띠 (1개)

-3등분시 = 4번 비튼 큰 띠(=두번 꼬인 띠) 1개, 1번 비튼 띠(1개)가 연결되어 있다.

2번 비튼 띠

-2등분시 = 2번 비튼 띠 (2개)

-3등분시 = 2번 비튼 띠 (3개)

3번 비튼 띠

-2등분시 = 8번 비튼 띠 (1개)

-3등분시 = 8번 비튼 큰 띠(1개), 3번 꼬인 띠 (1개)

4번 비튼 띠

-2등분시 = 4번 비튼 띠(2개)

-3등분시 = 4번 비튼 띠(3개)

== 기하학과 위상수학 ==
[[파일:MöbiusStripAsSquare.svg|섬네일|right|[[정사각형]]을 비틀어 뫼비우스 띠로 만들면 모서리 A의 화살표 방향이 같게 되도록 만나게 된다.]]
<math>\mathbb{R}^3</math> 상에서 뫼비우스의 띠를 매개변수로 표현하는(parametrization) 한 가지 방법을 예시하면 다음과 같다.
:<math>x(u,v)= \textstyle \left(1+\frac{1}{2}v \cos \frac{1}{2}u\right)\cos u</math>
:<math>y(u,v)= \textstyle \left(1+\frac{1}{2}v\cos\frac{1}{2}u\right)\sin u</math>
:<math>z(u,v)= \textstyle \frac{1}{2}v\sin \frac{1}{2}u</math>
이 때, <math>0 \le u < 2\pi, -1 \le v \le 1</math>이다. 이것은 ''xy''평면 위에 있는 반지름이 1인 중심원 위에 놓인 너비가 1인 뫼비우스 띠를 만든다. 변수 ''u''는 뫼비우스의 띠를 돌고, ''v''는 모서리 사이를 움직인다.

위상수학에서 뫼비우스의 띠는 우측 다이어그램과 같이, [[정사각형]] [0,1] × [0,1]에서 위쪽 모서리와 아래쪽 모서리가 0 ≤ x ≤ 1에서 (x, 0) ~ (1 − x, 1)로 [[동치 관계]](Equivalence relation)를 주어서 정의한다.

뫼비우스의 띠는 경계를 가지는 2차원 [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[다양체]](compact manifold with boundary)이다. 또한 비가향적(non-oriantable)인 곡면으로 가장 유명한 예가 된다.

== 관련 대상 ==
기하학적 대상으로서 [[클라인 병]]과 매우 연관이 깊다. 클라인 병은 두 개의 뫼비우스 띠의 경계를 붙여서 만든다. 물론 보통의 3차원 유클리드 공간에서는 불가능한 작업이다.

다른 기하학적인 대상으로는 [[실수 사영 평면]]이 있다. 원판(disk)의 경계를 따라 뫼비우스의 띠의 경계를 붙이면 실수 사영 평면을 얻는다.

== 대중 문화 속 인용 ==
[[파일:Recycling symbol.svg|섬네일|200px|right|미국의 [[:en:Recycling symbol|재활용 마크]].]]
* 네덜란드의 화가 [[에셔]]의 작품 중에는 뫼비우스의 띠에 영감을 받은 작품이 많다.<ref>그의 [http://www.worldofescher.com/gallery/jpgs/P3L.jpg 작품] {{웹아카이브|url=https://web.archive.org/web/20080916210514/http://www.worldofescher.com/gallery/jpgs/P3L.jpg}} 중에는 뫼비우스 띠 위에 개미가 기어가는 그림이 있다</ref>
* 미국의 재활용 마크는 뫼비우스의 띠 모양이다.
* 대한민국의 소설가 [[조세희]]의 단편 소설 모음집 《[[난장이가 쏘아올린 작은 공]]》에 수록된 첫 번째 단편의 제목이 〈뫼비우스의 띠〉다.
* 대한민국의 보이 밴드 [[젝스 키스]]의 4집 앨범 《''Com'Back''》에 "뫼비우스의 띠"라는 제목의 수록곡이 있다.

== 각주 ==
<references />

== 같이 보기 ==
* [[교차모]]
* [[리본 이론]] (Ribbon theory)
* [[클라인 병]]
* Umbilic torus

{{전거 통제}}
{{토막글|수학}}

[[분류:곡면]]
[[분류:위상수학]]
[[분류:유희 수학]]