몰입 (수학) 문서 원본 보기

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[[파일:Klein bottle.svg|섬네일|right|[[클라인 병]]의 3차원 [[유클리드 공간]]에서의 몰입. 하지만 이는 [[매장 (수학)|매장]]이 아니다.]]
[[미분기하학]]에서,  '''몰입'''(沒入, {{llang|en|immersion}}) 또는 '''넣기'''는 두 [[매끄러운 다양체]] 사이, [[정의역]]의 [[접공간]]으로부터 [[공역]]의 접공간에 대한 사상이 [[단사 함수|단사]]인 [[매끄러운 함수|매끄러운]] 사상이다.

== 정의 ==
다음이 주어졌다고 하자.
* 두 [[매끄러운 다양체]] <math>M</math>, <math>N</math>
* [[매끄러운 함수]] <math>f \colon M \to N</math>
그렇다면, 각 점 <math>x\in M</math>에서, [[실수 선형 변환]]
:<math>\mathrm T_xf\colon\mathrm T_xM \to \mathrm T_{f(x)}N</math>
을 정의할 수 있다. 여기서 <math>\mathrm T_xM</math>은 <math>M</math>의 <math>x</math>에서의 [[접공간]]이다.

만약 <math>\mathrm T_xf</math>가 [[단사 함수]]라면, <math>f</math>를 <math>x</math>에서의 '''몰입'''이라고 한다. 만약 <math>f</math>가 모든 <math>x\in M</math>에서 몰입이라면, <math>f</math>를 단순히 '''몰입'''이라고 한다.

(반대로, 만약 <math>\mathrm T_xf</math>가 [[전사 함수]]라면 <math>f</math>를 '''[[침몰 (수학)|침몰]]'''이라고 한다.)

== 성질 ==
=== 함의 관계 ===
몰입은 [[매장 (수학)|매끄러운 매장]]보다 더 약한 개념이다. 즉, 모든 매끄러운 매장은 몰입이지만 그 역은 성립하지 않는다.

즉, 두 매끄러운 다양체 사이의 [[매끄러운 함수]]에 대하여 다음이 성립한다.
:매끄러운 매장 ⊆ [[단사 함수|단사]] 몰입 ⊆ 몰입 ⊆ 매끄러운 함수

=== 존재 ===
<math>m</math>차원 [[매끄러운 다양체]] <math>M\ne\varnothing</math>과 <math>n</math>차원 [[매끄러운 다양체]] <math>N\ne\varnothing</math>이 주어졌다고 하자. 그렇다면,
* 몰입 <math>M\to N</math>이 존재할 [[필요 조건]]은 <math>m\le n</math>이다.
* 몰입 <math>M\to N</math>이 존재할 [[충분 조건]]은 <math>2m \le n+\min\{2,n\}</math>이다.

특히, '''휘트니 몰입 정리'''(Whitney沒入定理, {{llang|en|Whitney immersion theorem}})에 따르면, 만약 <math>2m\le n+2</math>이라면, 임의의 [[매끄러운 함수]] <math>f\colon M\to N</math>은 몰입과 [[호모토픽]]하다. 만약 가정을 <math>2m\le n+1</math>로 강화시킨다면, 결론을 몰입 대신 [[매끄러운 매장]]으로 강화시킬 수 있으며, 이를 '''휘트니 매장 정리'''(Whitney埋藏定理, {{llang|en|Whitney embedding theorem}})라고 한다.

=== 단사성 ===
두 매끄러운 다양체 <math>M</math>, <math>N</math> 사이의 몰입 <math>f\colon M\to N</math>이 주어졌다고 하자. 만약 <math>M</math>이 [[연결 공간]]이자 [[콤팩트 공간]]이라면, <math>f</math>는 [[단사 함수]]이다.

== 예 ==
[[클라인 병]]은 3차원 [[유클리드 공간]] <math>\mathbb R^3</math>에 몰입될 수 있지만, 매끄럽게 매장될 수는 없다. 이는 3차원에 넣은 클라인 병은 항상 겹치는 부분이 있어, 원래 클라인 병과 [[위상 동형]]이 아니기 때문이다.

=== 매장이 아닌 단사 몰입 ===
[[파일:Injectively immersed submanifold not embedding.svg|섬네일|right|[[매장 (수학)|매장]]이 아닌 단사 몰입]]
심지어, [[매끄러운 매장]]이 아닌 [[단사 함수|단사]] 몰입도 존재한다. 예를 들어, 오른쪽 그림과 같은 <math>(0,1)\to\mathbb R^2</math> 몰입을 생각해 보자. 이는 명백히 [[단사 함수]]지만, [[상 (수학)|상]]이 정의역과 위상 동형이 아니므로 [[매장 (수학)|매끄러운 매장]]이 아니다.

=== 단사 함수가 아닌 몰입 ===
임의의 [[매끄러운 다양체]] <math>M</math>이 주어졌다고 하자. 그렇다면, [[쌍대 대각 사상]]
:<math>M^{\sqcup n}\to M</math>
은 몰입이지만, <math>n\ge2</math>일 경우 [[단사 함수]]가 아니다.

1차원 [[유클리드 공간]]([[실수선]])의 몫
:<math>\mathbb R\twoheadrightarrow \mathbb R/\mathbb Z \cong \mathbb S^1</math>
은 몰입이지만, 단사 함수가 아니다. 보다 일반적으로, [[매끄러운 다양체]]의 [[피복 공간]]인 매끄러운 다양체
:<math>M\twoheadrightarrow N</math>
은 [[전사 함수]]인 몰입이며, 2겹 이상의 피복 공간일 경우 단사 함수가 아니다.

== 같이 보기 ==
* [[침몰 (수학)]]

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Immersion}}
* {{eom|title=Immersion of a manifold}}
* {{매스월드|id=Immersion|title=Immersion}}
* {{nlab|id=immersion of smooth manifolds|title=Immersion of smooth manifolds}}

[[분류:일반위상수학]]
[[분류:미분기하학]]
[[분류:매끄러운 함수]]