몰바이데 공식 문서 원본 보기

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'''몰바이데의 공식'''({{llang|de|Mollweidesche Formeln}}, Mollweide's formula, -公式)은 [[삼각법]]과 [[유클리드 공간|유클리드]] 평면 기하학의 [[정리]]로, 임의의 [[삼각형]]에서 두 변의 길이 합 또는 차와 다른 변의 길이를 연관시키는 공식이다. [[독일]] 수학자 [[카를 몰바이데]](Karl Mollweide)의 이름이 붙어 있다.

각 변의 길이를 A, B, C, 그리고 그 변과 마주보는 각의 크기를 a, b, c라 하면 몰바이데의 공식은 다음과 같이 두 식으로 쓸 수 있다.

* <math> \frac{A + B}{C} = \frac{\cos\left(\frac{a - b}{2}\right)}{\sin\left(\frac{c}{2}\right)} </math>
* <math> \frac{A - B}{C} = \frac{\sin\left(\frac{a - b}{2}\right)}{\cos\left(\frac{c}{2}\right)} </math>

여기서 A, B, C의 선택은 임의의 변에 대해 가능하므로, 실제 한 삼각형에 대해 적용되는 몰바이데의 공식은 <math>_3C_2\times2=6</math>개가 된다.

== 증명 ==

첫 번째 식만 증명한다. [[사인 법칙]]과 [[삼각 함수 항등식|삼각함수의 합을 곱으로 바꾸는 공식, 배각 공식]]을 이용하면

<math> \frac{A+B}{C}=\frac{\sin a + \sin b}{\sin c}=\frac{\sin\frac{a+b}{2}\cos\frac{a-b}{2}}{\sin \frac{c}{2}\cos\frac{c}{2}}=\frac{\sin\frac{\pi-c}{2}\cos\frac{a-b}{2}}{\sin \frac{c}{2}\cos\frac{c}{2}}=\frac{\cos\left(\frac{a - b}{2}\right)}{\sin\left(\frac{c}{2}\right)}</math>

으로 원하는 결론을 얻는다.

== 삼각형의 결정 조건 ==
몰바이데의 공식은 삼각형의 결정 조건을 검증할 때 자주 이용된다. 먼저 A + B > C를 몰바이데의 공식에 의해 풀어 쓰면,

* <math>\cos{\frac{a - b}{2}} > \sin{\frac{c}{2}} = \cos{\frac{a + b}{2}}</math>

이고, 양 변을 전개하면,

* <math>2\sin{\frac{a}{2}}\sin{\frac{b}{2}} > 0</math>

이 되는데, 이는 삼각형에서 사인의 성질에 의해 항상 성립하는 식이다. 또 A - B < C를 몰바이데의 공식에 의해 풀어 쓰면,

* <math>\sin{\frac{a - b}{2}} < \cos{\frac{c}{2}} = \sin{\frac{a + b}{2}}</math>

인데 양 변을 전개하면,

* <math>2\cos{\frac{a}{2}}\sin{\frac{b}{2}} > 0</math>

이고, 이는 삼각형에서 사인과 코사인의 성질에 의해 항상 성립하는 식이다.

== 같이 보기 ==
* [[사인 법칙]]
* [[코사인 법칙]]
* [[탄젠트 법칙]]
* [[코탄젠트 법칙]]

== 참고 문헌 ==
* Michael Sullivan, ''Trigonometry'', Dellen Publishing Company, 1988, p.&nbsp;243.

[[분류:삼각법]]
[[분류:삼각형에 대한 정리]]