몫군 문서 원본 보기

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'''몫군'''(-群, {{llang|en|quotient group}}) 또는 '''상군'''(商群)은 [[수학]]의 [[군론]]에서 어떤 [[군 (수학)|군]]의 [[정규 부분군]]의 [[잉여류]]들이 이루는 [[군 (수학)|군]]이다. [[몫공간]]이나 [[몫환]]과 같이 군에 [[동치관계]]를 줘서 몫을 취하는 [[연산 (수학)|연산]]이다. 예를 들어 ''n''의 배수로 다른 요소를 식별하고 그러한 각 등급(합동류로 알려져 있음)에서 작동하는 그룹 구조를 단일 개체로 정의함으로써 추가되는 [[정수]]의 그룹에서 [[모듈러 산술]]로 ''n''의 [[순환군]]을 얻을 수 있다.

몫군에서 [[항등원]]의 [[동치관계]]는 항상 원래 집단의 [[정규 부분군]]이며 다른 동치관계는 정확히 그 정규 부분군의 [[잉여류]]이다. 결과 몫은 <math>G/N</math>으로 표기되는데 여기서 ''<math>G</math>''는 원래 군이고 ''<math>N</math>''은 정규 부분군이다. 이러한 표기 방식은 1889년에 [[오토 횔더]]에 의해 제안되어 처음 등장했다.<ref>{{저널 인용|이름=Hölder|성=Otto|제목=Zurückführung einer beliebigen algebraischen Gleichung auf eine Kette von Gleichungen (Zur Reduction der algebraischen Gleichungen)|url=http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PPN=PPN235181684_0034&DMDID=DMDLOG_0008|저널=Mathematische Annalen|출판사=Georg-August-Universität Göttingen|연도=1889년|쪽=31}}</ref> 이러한 결과 몫은 "''G mod N''"으로 표기하는데 여기서 "mod"는 modulo(모듈러 산술)의 줄임말이다.

몫군의 중요성은 군 준동형사상과의 관계에서 비롯된다. 1번째 [[동형 정리]]에서는 동형인 특정한 군 ''<math>G</math>''의 [[상 (수학)|상]]은 항상 ''<math>G</math>''의 몫에 이형성이 있다고 기술하고 있다. 구체적으로는 동형인 특정한 군 ''<math>G</math>''의 상은 <math>\ker \varphi</math> 아래에 있는 [[핵 (수학)|핵]]을 나타내는 <math>G/\ker \varphi</math>에 이형성이 있다.

몫군의 [[쌍대성|쌍대]] 개념은 [[부분군]]이며 이것은 더 큰 군에서 더 작은 군을 형성하는 2가지 주요한 방법이다. 모든 정규 부분군에는 그에 대응하는 몫군이 존재하는데, 이 몫군은 더 큰 군에서 부분군 요소 간의 구분을 제거함으로써 만들어진다. [[범주론]]에서 몫군은 [[부분 대상]]의 쌍대인 [[몫 대상]]의 한 예이다.

== 정의 ==
[[군 (수학)|군]] <math>G</math>와 부분군 <math>H</math>, 원소 <math>a \in G</math>가 주어지면 대응되는 왼쪽 [[잉여류]] <math>aH := \{ ah : h \in H \}</math>를 고려할 수 있다. 잉여류는 군의 자연스러운 부분집합이다. 예를 들어 일반적인 덧셈으로 정의된 [[정수]]의 [[아벨 군]] <math>G</math>와 짝수 정수의 부분군 <math>H</math>를 생각하자. 그러면 정확히 2개의 잉여류가 있는데 짝수의 집합인 <math>0 + H</math>와 홀수의 집합인 <math>1 + H</math>이다. (여기서 우리는 군의 [[이항 연산]]을 위해 곱셈 대신 덧셈 표기법을 사용하고 있다.)

일반 부분군 <math>H</math>의 경우, 가능한 모든 잉여류의 집합인 <math>\{aH : a \in G\}</math>에서 호환되는 군 연산을 정의하는 것이 바람직하다. 이는 <math>H</math>가 정규 부분군일 때 가능하다. 아래를 참조하라. 군 <math>G</math>의 부분군 <math>N</math>이 있을 때, 모든 <math>a \in G</math>에 대해 <math>aN = Na</math>라면 ''N''을 정규 부분군이라고 한다.의 정규 부분군은 <math>N \triangleleft G</math>로 표시된다.

=== 정의 ===
이 군 ''G''의 정규 부분군이라고 하자. 집합 ''G''/''N''을 ''G''속의 ''N''의 모든 왼쪽 잉여류의 집합으로 정의한다. 즉, {{개행 금지|1=''G''/''N'' = {''aN'' : ''a'' ∈ ''G''}<nowiki/>}}이다. ''e'' ∈ ''N''이므로 ''a'' ∈ ''aN''이다. 잉여류의 집합 ''G''/''N''에서 이항 연산을 다음과 같이 정의한다. ''g''/''N''의 각 ''aN''과 ''bN''에 대해 ''aN''과 ''bN'', (''aN'')(''bN'')의 곱은 (''ab'')''N''이다. 이것이 잘 정의되는 이유는 (''ab'')''N''이 각 왼쪽 잉여류의 대표원인 ''a''와 ''b''의 선택에 의존하지 않기 때문이다. 이를 증명하기 위해 어떤 ''x'', ''y'', ''a'', ''b'' ∈ ''G''에 대해 ''xN'' = ''aN'', ''yN'' = ''bN''이라고 가정하자. 그러면 (''ab'')''N'' = ''a''(''bN'') = ''a''(''yN'') = ''a''(''Ny'') = (''aN'')''y'' = (''xN'')''y'' = ''x''(''Ny'') = ''x''(''yN'') = (''xy'')''N''이 된다.

이는 ''N''이 정규 부분군이라는 사실에 의존한다. 이 조건이 충분할 뿐만 아니라 ''G''/''N''의 연산을 정의하는데도 여전히 필요하다는 것을 보여야 한다. 그것이 필요하다는 것을 보여주기 위해 우리는 ''G''의 부분군 ''N''에 대해 연산이 제대로 정의되었다고 간주한다. 즉 모든 ''x'', ''y'', ''a'', ''b'' ∈ ''G''에 대해 ''xN'' = ''aN'', ''yN'' = ''bN''이면 , (''ab'')''N'' = (''xy'')''N''이다. ''n'' ∈ ''N'', ''g'' ∈ ''G''라 하자. ''eN'' = ''nN''이므로 ''gN'' = (''eg'')''N'' = (''ng'')''N''이다. 여기서 ''gN'' = (''ng'')''N'' ⇔ ''N'' = ''g''<sup>−1</sup>(''ng'')''N'' ⇔ ''g''<sup>−1</sup>''ng'' ∈ ''N'' ∀ ''n'' ∈ ''N'', ''g'' ∈ ''G''이라는 등식이 나온다. 따라서 ''N''은 ''G''의 정규 부분군이 된다.

또한 ''G''/''N''에 대한 연산이 항상 결합성이 있는지 확인할 수 있다. ''G''/''N''은 식별 요소 ''N''을 가지며 요소 ''aN''의 역행은 항상 ''a''<sup>−1</sup>''N''으로 나타낼 수 있다. 따라서, 집합 ''G''/''N''과 (''aN'')(''bN'') = (''ab'')''N''에 의해 정의된 연산을 함께 사용하여 ''G''의 몫군을 형성한다. ''N''의 정규성 때문에 ''G''에서 ''N''의 왼쪽 잉여류와 오른쪽 잉여류는 동일하므로 ''G''/''N''은 ''G''에서 ''N''의 오른쪽 잉여류의 집합으로 정의될 수 있었다.

=== 예: 6을 법으로 하는 덧셈 ===
예를 들어 6을 법으로 하는 덧셈이 주어진 군''G'' = {0, 1, 2, 3, 4, 5}를 생각해 보자. 여기서 부분군 ''N'' = {0, 3}을 생각하자. ''G''가 [[아벨 군]]이므로 이는 정규 부분군이다. 그러면 (왼쪽) 잉여류의 크기는 3이다.
: ''G''/''N'' = { ''a''+''N'' : ''a'' &isin; ''G'' } = { {0, 3}, {1, 4}, {2, 5} } = { 0+''N'', 1+''N'', 2+''N'' }.

위에서 정의한 이항 연산은 이 집합을 몫군으로 알려진 그룹으로 만들고 이 경우 순서 3의 [[순환군]]과 동형이다.

== "몫"이라는 이름에 대한 동기 부여 ==
<math>G/N</math>이 몫군이라고 불리는 이유는 [[정수]]의 [[나눗셈]]에서 비롯된다. 12를 3으로 나누면 12개의 대상을 3개의 대상으로 구성된 4개의 부분 모임으로 다시 묶을 수(regroup) 있기 때문에 4라는 답이 나온다. 비록 우리가 숫자 대신에 최종적으로 군을 얻지만, 군은 임의적인 대상의 모임보다 더 많은 구조를 갖고 있기 때문에 몫군을 같은 관점으로 볼 수 있다.

상술하자면, <math>G/N</math>을 <math>G</math>의 정규 부분군 <math>N</math>과 함께 볼 때 <math>N</math>의 구조는 <math>G</math>를 자연스럽게 "다시 묶는데(regroup)" 이것이 <math>G</math> 속의 <math>N</math>의 잉여류들이다. 우리가 숫자 대신 군과 정규 부분군을 갖고 시작했으므로 최종적으로 얻는 몫군은 단지 잉여류의 개수보다 더 많은 정보, 다시 말해 군 구조 자체를 가진다.

== 예 ==
=== 짝수와 홀수인 정수 ===
[[정수]] 군 '''Z''' (아래에 추가 설명이 나와 있음) 모든 짝수인 정수로 부분군 2'''Z'''를 고려한다. '''Z'''는 [[아벨 군]]이기 때문에 정규 부분군이 된다. 짝수인 정수와 홀수인 정수의 집합, 2개의 잉여류만 존재하기 때문에 소수군 '''Z'''/2'''Z'''는 2개의 요소를 가진 [[순환군]]이다. 이러한 몫군은 추가 모듈 2가 있는 {{개행 금지|{0,1}<nowiki/>}}과 동형이다. 비공식적으로 '''Z'''/2'''Z'''는 추가 모듈 2가 있는 집합 {{개행 금지|{0,1}<nowiki/>}}과 "동일하다"고 말할 수 있다.

'''추가 설명 예제...'''
:<math>2</math>로 나눌 때 <math>m \in \Z</math>의 나머지를 <math>\gamma(m)=</math>로 하자.
:그렇다면 <math>m</math>이 짝수일 때는 <math>\gamma(m)=0</math>이고 <math>m</math>이 홀수일 때는 <math>\gamma(m)=1</math>이다.
:<math>\gamma</math>의 핵인 <math>\gamma</math>의 정의에 의해,
:ker(<math>\gamma</math>) <math>=\{ m \in \Z : \gamma(m)=0 \}</math>는 모든 짝수의 집합이다.
:<math>H=</math> ker(<math>\gamma</math>)로 하자.
:그렇다면 <math>H</math>는 부분군이 된다. 왜냐하면 <math>\Z</math>의 항등식, 즉 <math>0</math>는 <math>H</math>에 있기 때문이다.
:짝수인 정수 간의 합은 짝수이므로 <math>m</math>과 <math>n</math>이 <math>H</math>에 있으면 <math>m+n</math>이 <math>H</math>에 있다(닫힘).
:그리고 <math>m</math>이 짝수이면 <math>-m</math>도 짝수이므로 <math>H</math>는 그 역수를 포함한다.
:<math>a\in\Z</math>에 대해 <math>\mu:</math>{{수학|1=<math>\mathbb{Z}</math> / H}}<math>\to \Z_2</math>를 <math>\mu(aH)=\gamma(a)</math>로 정의한다.
:또한 {{수학|1=<math>\mathbb{Z}</math> / H}}은 왼쪽 잉여류의 몫군({{수학|1=<math>\mathbb{Z}</math> / H}}<math>=\{H,1+H\}</math>이다.
:우리가 정의해 온 방법으로 <math>\mu</math>, <math>\mu(aH)</math>는 <math>a</math>가 홀수이면 <math>1</math>이고 <math>a</math>가 짝수이면 <math>0</math>이다.
:따라서 <math>\mu</math>는 {{수학|1=<math>\mathbb{Z}</math> / H}}에서 <math>\Z_2</math>로 동형이다.

=== 정수 분할의 나머지 ===
마지막 예제를 약간 일반화한다. 다시 한번 더 추가하는 정수인 군 '''Z'''을 고려한다. 그런 다음에 ''n''이 임의의 양의 정수가 되도록 한다. 우리는 모든 ''n''의 배수로 구성된 '''Z'''의 부분군인 ''n'''''Z'''를 고려할 것이다. '''Z'''는 아벨 군이기 때문에 '''Z'''에서는 다시 한번 '''Z'''가 정상이다. 잉여류는 {''n'''''Z''', 1+''n'''''Z''', ..., (''n''&minus;2)+''n'''''Z''', (''n''&minus;1)+''n'''''Z'''} 집합입니다. 정수 ''k''는 잉여류 ''r''+''n'''''Z'''에 속하며 여기서 ''r''은 ''k''를 ''n''으로 나눌 때의 나머지이다. 몫 '''Z'''/''n'''''Z'''는 "나머지" 모듈 그룹으로 간주할 수 있다. 이것은 ''n''의 [[순환군]]이다.

=== 복소수 상에서의 1의 거듭제곱근 ===
[[파일:Normal subgroup illustration.svg|섬네일|[[1의 거듭제곱근|1의 12 제곱근]]의 군 ''G'' 위에 1의 4제곱근의 군 ''N''으로 잡은 잉여류의 모음.]]
[[복소수]] [[단위원]]의 점인 [[1의 거듭제곱근|1의 12 제곱근]]은 곱셈 아벨 군 ''G''를 형성하며 오른쪽 그림에는 각 점의 숫자가 복소수 편각을 표시한 색을 띤 공으로 표시했다. 빨간색 공으로 표시된 1의 4제곱근으로 구성된 부분군 ''N''을 고려하자. 이 정규 부분군은 전체 군을 빨간색, 녹색 및 파란색으로 표시된 세 개의 잉여류로 분할한다. 잉여류가 3종류의 원소(파란색 원소와 빨간색 원소의 곱은 파란색, 파란색 원소의 역원은 녹색 등)로 이루어진 것을 확인할 수 있다. 따라서 몫군 ''G''/''N''은 3가지 색상으로 이루어진 군이며 원소 셋을 가진 순환군임을 보였다.

=== 정수에 대한 실수 모듈 ===
덧셈 연산 하에서의 [[실수]] '''R'''의 군과 정수 부분군 '''Z'''를 고려하자. '''R'''에서 '''Z'''의 각 잉여류는 ''a''+'''Z''' 형식의 집합인데 여기서 ''a''는 실수이다. ''a<sub>1</sub>'' and ''a<sub>2</sub>''의 비정수 부분이 같을 때 ''a<sub>1</sub>''+'''Z'''와 ''a<sub>2</sub>''+'''Z'''는 동일한 집합이기 때문에 의미 변환 없이 제한된 {{개행 금지|0 ≤ ''a'' < 1}}을 부과할 수 있다. 그러한 잉여류를 추가하는 것은 해당하는 실제 숫자를 더하고 결과가 1보다 크거나 같으면 1을 빼는 것으로 이루어진다. 몫군 '''R'''/'''Z'''는 곱셈에서 [[절댓값]] 1의 [[복소수]] 군인 [[원군]]과 동형이며 그에 따라 원점에 대한 2D [[회전]]군인 특수 [[직교군]] SO(2)와 동형이다. 동형성은 {{개행 금지|1=''f''(''a''+'''Z''') = exp(2''πia'')}}에 의해 주어진다([[오일러 항등식]] 참고).

=== 실수의 행렬 ===
만약 ''G''가 가역 가능한 3 × 3 실수 [[행렬]]의 군이고 ''N''이 [[행렬식]] 1을 가진 3 × 3 실수 행렬의 부분군이라면 ''N''은 ''G''에서 정규적이다. 이는 행렬식 동형의 [[핵 (수학)|핵]]이기 때문이다. ''N''의 잉여류는 주어진 행렬식을 가진 행렬의 집합이다. 따라서 ''G''/''N''은 영점이 아닌 실수의 곱셈 군과 동형이다. '군 'N''은 [[특수 선형군]] SL(3)로 알려져 있다.

=== 정수 모듈식 산술 ===
아벨 군 {{개행 금지|1='''Z'''<sub>4</sub> = '''Z'''/4'''Z'''}}(즉 추가 모듈 4가 있는 집합 {{개행 금지|{ 0, 1, 2, 3 }<nowiki/>}}과 해당 부분군 {{개행 금지|{ 0, 2 }<nowiki/>}}를 고려한다. 몫 군 {{개행 금지|'''Z'''<sub>4</sub>/{ 0, 2 }<nowiki/>}}은 {{개행 금지|{ { 0, 2 }, { 1, 3 } }<nowiki/>}}인데 이는 항등식 요소가 {{개행 금지|{ 0, 2 }<nowiki/>}}이고 군 작업이 {{개행 금지|1={ 0, 2 } + { 1, 3 } = { 1, 3 } }}인 군이다. 하위 그룹 {{개행 금지|{ 0, 2 }<nowiki/>}} 및 할당 그룹 {{개행 금지|{ { 0, 2 }, { 1, 3 } }<nowiki/>}}은 '''Z'''<sub>2</sub>와 동형이다.

=== 정수 곱셈 ===
곱셈 군 <math>G=\mathbf{Z}^*_{n^2}</math>을 고려한다. 설정된 ''N''의 ''n''번째 잔여물 집합은 <math>\mathbf{Z}^*_{n}</math>과 동형화된 곱셈 부분군이다. ''N''은 ''G''에서 정규이고 인수 군 ''G''/''N''은 잉여류 ''N'', (1+''n'')''N'', (1+''n'')<sup>2</sup>N, ..., (1+''n'')<sup>''n''&minus;1</sup>N이다. 페일리어 암호 체계는 ''n''의 인수 분해법을 알지 못하면 ''G''의 무작위 원소의 잉여류를 결정하기 어렵다는 추측에 기초한다.

== 특성 ==
몫군 {{개행 금지|''G''/''G''}}는 [[자명성]]을 갖는 군과 동형이고 {{개행 금지|''G''/{''e''}<nowiki/>}}는 ''G''와 동형이다.

{{개행 금지|''G''/''N''}}의 위수와 정의상 원소들 간의 수는 ''N''의 ''G''의 지표인 {{개행 금지|{{!}}''G'' : ''N''{{!}}}}과 같다. ''G''가 유한하면 해당 지표 또한 ''G''의 위수를 ''N''의 위수로 나눈 것과 같다. 집합 {{개행 금지|''G''/''N''}}은 유한할 수 있지만 ''G''과 ''N''은 모두 무한(예: {{개행 금지|'''Z'''/2'''Z'''}})이다.

"자연적"인 전사 함수인 {{개행 금지|''π'' : ''G'' → ''G''/''N''}}에는 ''G''의 각 원소 ''g''를 ''g''가 속한 ''N''의 잉여류로 보내는 {{개행 금지|1=''π''(''g'') = ''gN''}}의 집단 동형이 있다. [[함수]] ''π''은 ''G''와 {{개행 금지|''G''/''N''}}의 표준 투영이라고도 한다. 그것의 [[핵 (수학)|핵]]은 ''N''이다.

''N''을 포함하는 ''G''의 부분군과 {{개행 금지|''G''/''N''}}의 부분군은 객관적으로 대응한다. ''H''가 ''N''을 포함하는 ''G''의 부분군이라면 {{개행 금지|''G''/''N''}}의 해당 부분군은 ''π''(''H'')이다. 이러한 대응은 ''G''와 {{개행 금지|''G''/''N''}}의 정규 부분군에 대해서도 유효하며 격자 정리에 공식화된다.

몫군의 몇 가지 중요한 특성은 동형 및 동형 이론에 대한 기본 정리에 기록된다. ''G''가 [[아벨 군]], [[멱영군]], [[가해군]], [[순환군]]이거나 최종 생성된다면 {{개행 금지|''G''/''N''}}도 마찬가지이다.

''H''가 유한군 ''G''의 부분군이고 ''H''의 위수가 ''G''의 차수의 1/2이면 ''H''는 정규 부분군이므로 {{개행 금지|''G''/''H''}}가 존재하며 ''C''<sub>2</sub>와 동형이다. 이 결과는 또한 "지표 2의 모든 부분군은 정상"으로 언급될 수 있으며 이러한 형식에서는 무한군에도 적용된다. 또한 ''p''가 유한군 ''G''의 위수를 나누는 가장 작은 소수이고 {{개행 금지|''G''/''H''}}가 순서 ''p''를 갖는다면 ''H''는 ''G''의 정규 부분군이 되어야 한다.<ref>{{인용|성1=Dummit|이름1=David S.|last2=Foote |first2=Richard M. |연도=2003년|제목=Abstract Algebra|판=3|출판사=John Wiley and Sons|위치=New York|isbn=978-0-471-43334-7|oclc=248917264}}</ref>{{rp|120}}

''G''와 정규 부분군 ''N''이 주어지면 ''G''는 ''N''에 의한 {{개행 금지|''G''/''N''}}의 [[군의 확대]]이다. 이러한 확대가 사소한 것인지 분할된 것인지 물어볼 수 있으며 다시 말해서 ''G''가 ''N''과 {{개행 금지|''G''/''N''}}의 군의 [[직접곱]]인지 [[반직접곱]]인지를 물을 수 있다. 이것은 확대 문제의 특별한 경우이다. 확대를 분할하지 않는 예는 다음과 같다. ''G'' = '''Z'''<sub>4</sub> = {0, 1, 2, 3}이고 '''Z'''<sub>2</sub>와 동형인 ''N'' = {0, 2}로 하자. 그렇다면 {{개행 금지|''G''/''N''}}은 '''Z'''<sub>2</sub>와 동형이다. 그러나 '''Z'''<sub>2</sub>는 사소한 [[자기 동형 사상]]만 갖고 있기 때문에 ''N''과 {{개행 금지|''G''/''N''}}의 반직접곱만이 직접곱이다. '''Z'''<sub>4</sub>는 {{개행 금지|'''Z'''<sub>2</sub> × '''Z'''<sub>2</sub>}}와 다르기 때문에 우리는 ''G''가 ''N''과 {{개행 금지|''G''/''N''}}의 반직접곱이 아니라고 결론짓는다.

== 리 군의 몫 ==
''<math>G</math>''가 [[리 군]]이고 ''<math>N</math>''이 정규적이고 폐쇄적인 경우(단어의 대수적 의미보다는 위상적인 경우) ''<math>G</math>''의 리 부분군이면, {{개행 금지|''<math>G</math>'' / ''<math>N</math>''}}도 리 군이다. 이 경우 원래 군 ''<math>G</math>''은 기본 공간 {{개행 금지|''<math>G</math>'' / ''<math>N</math>''}}와 올 ''<math>N</math>''을 가진 [[올다발]](특히 [[주다발|주''<math>N</math>''다발]]) 구조를 갖는다. {{개행 금지|''<math>G</math>'' / ''<math>N</math>''}}의 치수는 <math> \mathrm{dim}\ G - \mathrm{dim}\ N</math>과 같다.<ref>John M. Lee, Introduction to Smooth Manifolds, Second Edition, theorem 21.17</ref>

''<math>N</math>''이 닫히는 조건은 필수이다. 실제로 ''<math>N</math>''이 닫히지 않는다면 몫 공간은 [[T1 공간]]이 아닌데 이는 열린 집합에 의해 항등원으로부터 분리될 수 없는 몫에는 잉여류가 있기 때문이다. 따라서 [[하우스도르프 공간]]이 아니다.

비정규 리 부분군 ''<math>N</math>''의 경우, 왼쪽 잉여류 공간 {{개행 금지|''<math>G</math>'' / ''<math>N</math>''}}은 군이 아니라 G가 작용하는 [[매끄러운 다양체]]이다. 그러한 결과를 [[동차 공간]]이라고 한다.

== 같이 보기 ==
* [[군의 확대]]
* [[완전열]]

== 참고 문헌 ==
{{각주}}
* {{인용|성1=Herstein|이름1=I. N.|연도=1975년|제목=Topics in Algebra|판=2|출판사=John Wiley and Sons|위치=New York|isbn=0-471-02371-X}}

== 외부 링크 ==
* {{SpringerEOM|title=Quotient group}}
* {{매스월드|id=QuotientGroup|title=Quotient group}}

[[분류:군론]]