몫공간 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
{{다른 뜻|몫 벡터 공간||벡터 공간의 몫공간}}
[[일반위상수학]]에서 '''몫공간'''(-空間, {{llang|en|quotient space}})은 어떤 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]의 [[몫집합]] 위에 표준적으로 존재하는 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]이다.

== 정의 ==
=== 몫위상 ===
[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math> 및 그 위의 [[동치 관계]] <math>{\sim}\subseteq X^2</math>가 주어졌을 때, [[몫집합]] <math>X/\mathord\sim</math> 위의 '''몫위상'''(-位相, {{llang|en|quotient topology}})은 다음 두 가지 방법을 통해 정의할 수 있으며, 이렇게 정의한 두 위상은 서로 같다.<ref name="Munkres" />{{rp|139}}
* (열린집합을 통한 정의) [[부분 집합]] <math>U\subseteq X/\mathord\sim</math>이 [[열린집합]]일 [[필요충분조건]]은 <math>[-]_\sim^{-1}(U)\subseteq X</math>가 <math>X</math>의 [[열린집합]]인 것이다. (여기서 <math>\textstyle[-]_\sim^{-1}(U)=\{x\in X\colon[x]_\sim\in U\}</math>는 <math>U</math>의 표준 사영 <math>X\to X/\mathord\sim</math>에 대한 [[상 (수학)|원상]]이다.)
* (닫힌집합을 통한 정의) [[부분 집합]] <math>F\subseteq X/\mathord\sim</math>이 [[닫힌집합]]일 [[필요충분조건]]은 <math>[-]_\sim^{-1}(F)\subseteq X</math>가 <math>X</math>의 [[닫힌집합]]인 것이다.
이 위상은 표준 사영
:<math>X\to X/\mathord\sim</math>
을 [[연속 함수]]로 만드는 가장 [[섬세한 위상]]이다. 또한, 이는 임의의 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>Y</math> 및 함수 <math>f\colon X/\mathord\sim\to Y</math>에 대하여 다음 두 조건을 동치로 만드는, 유일한 <math>X/\mathord\sim</math> 위의 위상이다.
*  <math>f</math>는 [[연속 함수]]이다.
* <math>f\circ[-]_\sim\colon X\to Y</math>는 [[연속 함수]]이다.

=== 몫사상 ===
두 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>, <math>Y</math> 사이의 [[전사 함수]] <math>q\colon X\to Y</math>에 대하여, 다음 세 조건이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 <math>q</math>를 '''몫사상'''(-寫像, {{llang|en|quotient map}})이라고 한다.<ref name="Munkres">{{서적 인용
|url=http://www.pearsonhighered.com/bookseller/product/Topology/9780131816299.page
|이름=James R.
|성=Munkres
|저자링크=제임스 멍크레스
|제목=Topology
|언어=en
|판=2
|출판사=Prentice Hall
|연도=2000
|isbn=978-0-13-181629-9
|zbl=0951.54001
|mr=0464128
}}</ref>{{rp|137}}
* <math>f</math>는 [[연속 함수]]이며, 만약 <math>U\subseteq Y</math>가 [[부분 집합]]이며 <math>q^{-1}(U)\subseteq X</math>가 [[열린집합]]이라면, <math>U\subseteq Y</math> 역시 [[열린집합]]이다.
* <math>f</math>는 [[연속 함수]]이며, 만약 <math>F\subseteq Y</math>가 [[부분 집합]]이며 <math>q^{-1}(F)\subseteq X</math>가 [[닫힌집합]]이라면, <math>F\subseteq Y</math> 역시 [[닫힌집합]]이다.
* 임의의 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>Z</math> 및 함수 <math>f\colon Y\to Z</math>에 대하여, <math>f</math>가 [[연속 함수]]인 것과 <math>f\circ q\colon X\to Z</math>가 연속 함수인 것은 [[동치]]이다.

몫위상과 몫사상의 개념은 서로 동치이다. 구체적으로, 몫공간 <math>X/\mathord\sim</math>에 대하여, 표준 사영 <math>X\to X/\mathord\sim</math>은 몫사상이다. 반대로, 몫사상 <math>q\colon X\to Y</math>가 주어졌을 때, <math>X</math> 위에 다음과 같은 [[동치 관계]] <math>\stackrel q\sim</math>을 정의하자.
:<math>x\stackrel q\sim x'\iff q(x)=q(x')\qquad\forall x,x'\in X</math>
그렇다면 <math>Y</math>는 몫공간 <math>X/\mathord{\stackrel q\sim}</math>과 [[위상 동형]]이다.

== 성질 ==
=== 함의 관계 ===
모든 몫사상은 [[전사 함수|전사]] [[연속 함수]]이며, 모든 [[열린 함수|열린]] 전사 연속 함수와 [[닫힌 함수|닫힌]] 전사 연속 함수는 몫사상이다. 몫사상이 [[단사 함수]]일 필요충분조건은 [[위상 동형 사상]]이다. [[콤팩트 공간]] <math>X</math>에서 [[하우스도르프 공간]] <math>Y</math>로 가는 함수 <math>X\to Y</math>의 경우, 전사 연속 함수, 몫사상, [[닫힌 함수|닫힌]] 전사 연속 함수의 개념이 서로 [[동치]]이다. (이는 모든 [[연속 함수]] <math>X\to Y</math>가 [[닫힌 함수]]이기 때문이다.)

=== 연산에 대한 닫힘 ===
두 몫사상 <math>f\colon X\to Y</math>와 <math>g\colon Y\to Z</math>의 [[함수의 합성|합성]] <math>g\circ f\colon X\to Z</math>는 몫사상이다. 반대로, 만약 <math>f\colon X\to Y</math>와 <math>g\colon Y\to Z</math>가 [[연속 함수]]이며 <math>g\circ f</math>가 몫사상이라면, <math>f</math> 역시 몫사상이다.

몫사상 <math>f\colon X\to Y</math> 및 [[연속 함수]] <math>h\colon X\to Z</math>에 대하여, 만약 <math>x,x'\in X</math>, <math>f(x)=f(x')</math>가 항상 <math>h(x)=h(x')</math>을 함의한다면, <math>f</math>와 <math>h</math>를 통해 유일하게 정의되는 함수
:<math>\widetilde h\colon Y\to Z</math>
:<math>\widetilde h\circ f=h</math>
는 연속 함수이다.<ref name="Munkres"/>{{rp|142}}

몫사상 <math>q\colon X\to Y</math> 및 부분 집합 <math>A\subseteq Y</math>에 대하여, 만약 다음 네 조건 가운데 하나가 성립한다면, 제한
:<math>q\restriction(q^{-1}(A),A)\colon q^{-1}(A)\to A</math>
는 몫사상이다.<ref name="Munkres" />{{rp|140}}
* <math>A\subseteq Y</math>는 [[열린집합]]이다.
* <math>A\subseteq Y</math>는 [[닫힌집합]]이다.
* <math>q</math>는 [[열린 함수]]이다.
* <math>q</math>는 [[닫힌 함수]]이다.
반대로, 만약 <math>q\colon X\to Y</math>가 전사 연속 함수이며, 임의의 <math>y\in Y</math>가 <math>q\restriction(q^{-1}(N),N)</math>을 몫사상으로 만드는 [[근방]] <math>N\ni y</math>를 갖는다면, <math>q</math>는 몫사상이다.

몫사상 <math>f\colon X\to Y</math>, <math>f'\colon X'\to Y'</math>에 대하여, 자연스럽게 정의되는 함수
:<math>f\times f'\colon X\times X'\to Y\times Y'</math>
:<math>f\times f'\colon(x,x')\mapsto(f(x),f'(x'))</math>
를 생각하자. 이는 전사 연속 함수이지만, (정의역과 공역의 [[곱위상]]에 대하여) 몫사상이 아닐 수 있다. 그러나 임의의 몫사상 <math>f\colon X\to Y</math> 및 [[국소 콤팩트 공간]] <math>Z</math>에 대하여,
:<math>f\times\operatorname{id}_Z\colon X\times Z\to Y\times Z</math>
는 ([[곱위상]]에 대하여) 몫사상이다. 또한, 임의의 [[콤팩트 생성 공간]] <math>X</math>, <math>Z</math> 및 몫사상 <math>f\colon X\to Y</math>에 대하여,
:<math>k(f\times\operatorname{id}_Z)\colon k(X\times Z)\to k(Y\times Z)</math>
는 ([[콤팩트 생성 곱위상]]에 대하여) 몫사상이다.<ref name="Brown">{{서적 인용
|이름1=Ronald
|성1=Brown
|제목=Topology and groupoids. A geometric account of general topology, homotopy types and the fundamental groupoid
|언어=en
|판=3
|날짜=2006
|isbn=1-4196-2722-8
|zbl=1093.55001
}}</ref>{{rp|192, Corollary 5.9.10}}

=== 끝 위상과의 관계 ===
몫위상은 표준 사영에 대한 [[끝 위상]]이다. 반대로, [[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>Y</math>가 위상 공간들의 집합 <math>(X_i)_{i\in I}</math> 및 함수들의 집합 <math>(f_i\colon X_i\to Y)_{i\in I}</math>에 대한 [[끝 위상]]을 갖는다고 하자. 이는 [[위상합]]
:<math>X=\bigsqcup_{i\in I}X_i</math>
위에 자연스럽게 유도되는 하나의 함수
:<math>f\colon X\to Y</math>
에 대한 [[끝 위상]]과 같다. 이 경우, <math>f\restriction(X,f(X))\colon X\to f(X)</math>는 몫사상이다. 따라서 <math>f(X)</math>는 [[열린닫힌집합]]이며, <math>X</math>의 몫공간과 위상 동형이다. 또한 <math>Y\setminus f(X)</math>은 [[이산 공간]]이다. 즉, <math>Y</math>는 <math>(X_i)_{i\in I}</math>의 [[위상합]]의 몫공간과 [[이산 공간]]의 위상합이다.

== 예 ==
=== 다각형의 몫공간 ===
[[직사각형]]의 한 쌍의 대변을 직사각형의 둘레를 따라 회전하는 방향을 기준으로 반대 방향을 따라 붙여 몫공간을 취하면 [[원기둥]]을 얻으며, 같은 방향을 따라 붙이면 [[뫼비우스의 띠]]를 얻는다.
{| class="wikitable"
! 그림1 !! 그림2 !! 몫공간
|-
| [[파일:CylinderAsSquare.svg|150픽셀]] || [[파일:Circular Cylinder Quadric.png|150픽셀]] || [[원기둥]] <math>\bar{\mathbb D}^2\times[0,1]</math>
|-
| [[파일:MöbiusStripAsSquare.svg|150픽셀]] || [[파일:MobiusStrip-01.png|150픽셀]] || [[뫼비우스의 띠]] <math>\operatorname M</math>
|}
만약 어떤 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]이 변의 수가 짝수인 다각형의 변을 둘씩 짝을 지어 붙여 만든 몫공간과 [[위상 동형]]이라면, 이 다각형과 [[동치 관계]]의 순서쌍을 위상 공간의 '''다각형 표시'''(多角形表示, {{llang|en|polygonal presentation}})이라고 한다. 변의 수가 <math>2n</math>인 다각형 표현은 길이 <math>2n</math>의 문자열 <math>\alpha\in\{a_1,a_2,\dotsc,a_n,a_1^{-1},a_2^{-2},\dotsc,a_n^{-1}\}^{2n}</math>로 나타낼 수 있다. 각 <math>i=1,2,\dotsc,n</math>에 대하여, <math>\alpha</math> 속에는 <math>a_i</math>가 정확히 두 번 등장하거나 <math>a_i</math>와 <math>a_i^{-1}</math>가 정확히 한 번씩 등장해야 한다. 만약 <math>\alpha_i=\alpha_j</math>라면, 다각형의 <math>i</math>번째 변과 <math>j</math>번째 변을 같은 방향으로 붙인다. 만약 <math>\alpha_j=\alpha_i^{-1}</math>라면, <math>i</math>번째 변과 <math>j</math>번째 변을 반대 방향으로 붙인다.
{| class="wikitable"
! 다각형 표시 그림 !! 다각형 표시 !! 몫공간 그림 !! 몫공간
|-
| [[파일:SphereAsSquare.svg|150픽셀]] || <math>abb^{-1}a^{-1}</math> || [[파일:Sphere-wireframe.png|150픽셀]] || [[구 (기하학)|구]] <math>\mathbb S^2</math>
|-
| [[파일:ProjectivePlaneAsSquare.svg|150픽셀]] || <math>abab</math> || [[파일:Steiners_Roman.png|150픽셀]] || [[실수 사영 평면]] <math>\mathbb{RP}^2</math>
|-
| [[파일:KleinBottleAsSquare.svg|150픽셀]] || <math>abab^{-1}</math> || [[파일:KleinBottle-01.png|150픽셀]] || [[클라인 병]] <math>\mathbb{RP}^2\#\mathbb{RP}^2</math>
|-
| [[파일:TorusAsSquare.svg|150픽셀]] || <math>aba^{-1}b^{-1}</math> || [[파일:Torus_illustration.png|150픽셀]] || [[원환면]] <math>\mathbb T^2=\mathbb S^1\times\mathbb S^1</math>
|}

=== 부분 집합을 한 점으로 합친 공간 ===
[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>의 [[부분 집합]] <math>A</math>을 한 점으로 합쳐 만든 몫공간은
:<math>X/A</math>
로 표기한다.

[[하우스도르프 공간]] <math>X</math> 및 [[콤팩트 집합]] <math>A\subseteq X</math>에 대하여, <math>X/A</math>는 항상 하우스도르프 공간이다.

예를 들어,
:<math>[0,1]/\{0,1\}\cong\mathbb S^1</math>
:<math>\bar{\mathbb D}^2/\mathbb S^1\cong\mathbb S^2</math>
이다. 여기서 <math>\bar{\mathbb D}^n</math>은 <math>n</math>차원 [[유클리드 공간]]의 [[닫힌 공]]이며, <math>\mathbb S^n</math>은 <math>n</math>차원 [[초구]]이다.

=== 뿔 ===
{{본문|붙임 공간}}
[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math> 위의 '''[[붙임 공간|뿔]]'''은 다음과 같다.
:<math>\operatorname{cone}(X)=(X\times[0,1])/(X\times\{0\})</math>

[[하우스도르프 공간]] 위의 뿔은 하우스도르프 공간이다.

[[유클리드 공간]] <math>\mathbb R^n</math>의 [[콤팩트 집합]] <math>X</math> 위의 뿔은 다음과 같은 공간과 [[위상 동형]]이다.
:<math>\operatorname{cone}(X)\cong\{(1-t)a+tx\colon x\in X,\;t\in[0,1]\}</math>
:<math>a\in\mathbb R^{n+1}\setminus\mathbb R^n</math>

임의의 [[연속 함수]] <math>f\colon X\to Y</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>f</math>는 [[널호모토픽]]하다.
* <math>f</math>의 연속 확장 <math>\operatorname{cone}(X)\to Y</math>이 존재한다.

=== 붙임 공간 ===
{{본문|붙임 공간}}
두 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>, <math>Y</math> 및 부분 집합 <math>A\subseteq X</math> 및 [[연속 함수]] <math>f\colon A\to Y</math>가 주어졌다고 하자. [[위상합]] <math>X\sqcup Y</math> 위에 다음과 같은 [[동치 관계]]를 정의하자.
:<math>x\sim f(x)\qquad\forall x\in A</math>
그렇다면, <math>f</math>의 '''[[붙임 공간]]'''은 다음과 같은 몫공간이다.
:<math>Y\cup_fX=(X\sqcup Y)/\sim</math>
예를 들어,
:<math>\bar{\mathbb D}^2\cup_{\iota_{\mathbb S^1}}\bar{\mathbb D}^2\cong\mathbb S^2</math>
:<math>\operatorname M\cup_{\iota_{\partial{\operatorname M}}}\operatorname M\cong\mathbb{RP}^2\#\mathbb{RP}^2</math>
:<math>M\cup_f\bar{\mathbb D}^2\cong\mathbb{RP}^2</math>
이다. 여기서 <math>\iota_{\mathbb S^1}\colon\mathbb S^1\to\bar{\mathbb D}^2</math>와 <math>\iota_{\partial{\operatorname M}}\colon\partial{\operatorname M}\to\operatorname M</math>은 포함 함수이며, <math>f\colon\partial\bar{\mathbb D}^2\to\partial{\operatorname M}</math>는 두 경계 사이의 [[위상동형사상]]이다.

=== 열린 함수나 닫힌 함수가 아닌 몫사상 ===
몫공간 <math>\mathbb R/(0,1]</math>으로의 표준 사영 <math>p\colon\mathbb R\to\mathbb R/(0,1]</math>은 몫사상이지만, [[열린 함수]]가 아니며 [[닫힌 함수]]도 아니다. 예를 들어, <math>(-\infty,1)\subseteq\mathbb R</math>는 [[열린집합]]이지만, <math>p((-\infty,1))\subseteq\mathbb R/(0,1]</math>은 열린집합이 아니다. 이는
:<math>p^{-1}(p((-\infty,1)))=(-\infty,1]\subseteq\mathbb R</math>
가 열린집합이 아니기 때문이다. 또한 <math>[1,\infty)\subseteq\mathbb R</math>는 [[닫힌집합]]이지만, <math>p([1,\infty))\subseteq\mathbb R/(0,1]</math>은 닫힌집합이 아니다. 이는
:<math>p^{-1}(p([1,\infty)))=(0,\infty)\subseteq\mathbb R</math>
가 닫힌집합이 아니기 때문이다.

=== 곱이 몫사상이 아닌 두 몫사상 ===
몫공간 <math>\mathbb Q/\mathbb Z</math>로의 표준 사영 <math>\mathbb Q\to\mathbb Q/\mathbb Z</math>과 항등 함수 <math>\mathbb Q\to\mathbb Q</math>의 곱
:<math>f\colon\mathbb Q\times\mathbb Q\to\mathbb Q/\mathbb Z\times\mathbb Q</math>
는 ([[곱위상]]에 대하여) 몫사상이 아니다. 예를 들어, 임의의 <math>n\in\mathbb Z</math>에 대하여 <math>r_n=\sqrt 2/(|n|+1)</math>이라고 하자. 또한 <math>A_n\subseteq[n,n+1]\times\mathbb R</math>가 <math>(n,r_n)</math>, <math>(n+1/2,r_n)</math>, <math>(n+1,r_{n+1})</math>을 꼭짓점으로 하는 열린 삼각형 영역이라고 하고,
:<math>B=(\mathbb Q\times\mathbb Q)\cap\operatorname{cl}_{\mathbb R^2}\bigcup_{n\in\mathbb Z}A_n</math>
라고 하자. 그렇다면,
:<math>f^{-1}(f(B))=B\subseteq\mathbb Q\times\mathbb Q</math>
는 닫힌집합이지만, <math>f(B)\subseteq\mathbb Q/\mathbb Z\times\mathbb Q</math>는 닫힌집합이 아니다. 이는
:<math>f((0,0))\in\operatorname{cl}_{\mathbb Q/\mathbb Z\times\mathbb Q}f(B)\setminus f(B)</math>
이기 때문이다.

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Quotient space}}
* {{eom|title=Quotient mapping}}
* {{매스월드|id=QuotientSpace|title=Quotient space}}
* {{nlab|id=quotient space|title=Quotient space}}
* {{웹 인용|url=http://topospaces.subwiki.org/wiki/Quotient_topology|제목=Quotient topology|웹사이트=Topospaces|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://topospaces.subwiki.org/wiki/Quotient_map|제목=Quotient map|웹사이트=Topospaces|언어=en}}
* {{플래닛매스|urlname=quotientspace|title=Quotient space}}
* {{proofwiki|id=Definition:Quotient Topology|제목=Definition:Quotient topology}}

[[분류:일반위상수학]]
[[분류:위상 공간]]