모형 이론 문서 원본 보기

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[[수리 논리학]]에서 '''모형 이론'''(模型理論, {{llang|en|model theory}})은 [[추상대수학]]이나 [[집합론]] 등의 모형을 이루는 [[구조 (논리학)|구조]]를 연구하는 분야이다. '''모델 이론''', '''모형론''', '''모델론'''이라고도 한다.

== 개요 ==
[[수리 논리학]]에서 [[증명 이론]]과 모형 이론은 각각 논리적 언어에 대한 [[통사론]]과 [[의미론]]과 같다고 할 수 있다. 모형이론은 특정 이론 속의 모든 논리적 문장을 만족시키는 구조를 다루는 분야로, 보통 [[1차 논리]] 등 논리체계에 대하여 진위 여부를 판단하는 의미론을 부여할 때 가장 일반적으로 모형 이론이 사용된다. 한편 모형 이론의 권위자 C. C. Chang 및 Keisler (1990)는 [[보편 대수학]]에 일반적인 [[구조 (논리학)|구조]]의 개념을 추가한 것이 바로 모형 이론이라고 표현하였으며, 역시 권위자인 Wilfrid Hodges는 [[체 (수학)|체]]를 다루지 않는 [[대수 기하학]]과 같다고 표현하였다. 이렇듯 모형 이론은 구조를 다루는 분야이기 때문에 그 연구 대상을 대수구조에 한정할 시 [[추상 대수학]]을 더욱 일반화하여 다룰 수 있게 된다.

20세기 초반부터 발표된 [[괴델의 완전성 정리]], [[뢰벤하임-스콜렘 정리]], [[콤팩트성 정리]] 등이 현대적 형태의 모델 이론의 출발을 알렸다. 이외에 모델 이론의 초기 선구자는 [[알프레트 타르스키]]로 그가 논리학의 [[의미론]]에서 논리체계에 진리 여부를 일괄적으로 부여하는 존재를 연구하면서 구조의 개념을 사용하였고 이에 모델 이론이 대두되었다고 볼 수 있다. 초기 모델 이론 연구자들은 대부분 그의 학생들이었다.

이후 모델 이론은 [[대수학]]을 추상화시키는 도구가 되었으며, 이외에도 수학의 다양한 분야에 영향을 주었다. 비표준 해석학은 모델론을 사용하여 [[실수]]의 [[1차 논리]] 이론의 비표준적인 모형인 [[초실수]]를 연구하는데, 이를 통해 실수에 대한 일부 정리를 간단하게 증명할 수 있다. 특히 현대에 이르러서는 고전 모델론으로부터 [[안정성 이론]](stability theory)이 등장하여 수학의 다양한 분야에 접목되고 있다.

== 1차 논리 ==
{{참고|1차 논리|구조 (논리학)}}

자유변수가 없는 [[논리식]]을 문장(sentence)이라 하고, 그것들의 어떠한 집합을 이론(theory)라 정의할 때, 어떠한 이론 내의 모든 문장을 만족시키는 [[구조 (논리학)|논리적 구조]](structure)를 이론의 모형(model)이라 한다. 곧 어떠한 이론 T는 모형 M을 가진다면 만족가능하다(satisfiable)고 표현하고 기호로는 <math>M \models T</math>와 같이 쓴다. 이렇게 모형 이론은 [[1차 논리]]의 의미론을 이룬다.

== 보편 대수학 ==
{{본문|보편 대수학}}

[[보편 대수학]](universal algebra)은 모형 이론의 특수한 경우로 볼 수 있는데, 그 언어가 (등식 이외의) 관계를 포함하지 않고, 모든 공리가 방정식적인 이론의 모형들을 다룬다. 모델론은 어떠한 논리적 구조를 다루는 분야이기 때문에, 그 연구대상이 대수 구조에 한정될 시 [[추상 대수학]]을 효과적이며 보편적으로 다룰 수 있게 되며, 그것이 '''보편 대수학'''(universal algebra)이다.

보편 대수학의 주요 개념은 부호수(signature) σ와 그것에 의해 규정되는 구조인 σ-대수(σ-algebra)이다. 예시는 다음과 같다:
:[[환 (수학)|환]]의 표준적인 부호수는 σ<sub>ring</sub> = {×,+,−,0,1}이며, 여기서 × 와 +는 이항 연산, −는 단항 연산, 0 과 1는 무항(無項) 연산이다. [[반환 (수학)|반환]](semiring)의 경우 여기서 - 연산을 제외한 것으로 볼 수 있다.
:[[군 (수학)|군]]의 표준적인 부호수는 σ<sub>grp</sub> = {×,<sup>−1</sup>,1}이며, 여기서 <sup>−1</sup>는 단항 연산이다.
:예컨대 환이란 다음의 특성들을 '만족'시키는 σ<sub>ring</sub>-구조라 할 수 있다. u + (v + w) = (u + v) + w, u + v = v + u, u + 0 = u, u + (−u) = 0, u × (v × w) = (u × v) × w, u × 1 = u, 1 × u = u, u × (v + w) = (u × v) + (u × w), (v + w) × u = (v × u) + (w × u).
:이런 식으로, 군 또한 u × (v × w) = (u × v) × w, u × 1 = u, 1 × u = u, u × u−1 = 1, u−1 × u = 1를 만족시키는 σ-대수구조이다.
:[[반군 (수학)|반군]]은 특성 u × (v × w) = (u × v) × w를 만족시키는 {×}-구조이고, [[마그마 (수학)|마그마]]는 그냥 {×}-구조이다.

이는 대수 구조들의 클래스를 정의하기에 아주 적합한 방식으로, [[준동형 사상]]을 일반화시킨 σ-준동형(σ-homomorphism)이라는 것도 정의될 수 있기 때문이다.

보편대수학에 있어서 중요한 도구로는 [[초곱]](ultraproduct)이라는 개념이 있다. 초곱 <math>\Pi_{i\in I}A_i/U</math>라 표현할 때, I는 σ-구조 ''A<sub>i</sub>''의 체계에 일종의 색인을 붙이는 무한 집합이고, U는 I의 [[초필터]](ultrafilter)이다.

== 유한 모형 이론 ==
유한 모형 이론(finite model theory)은 1차 논리 등 논리적 언어를 '유한한' 구조에 적용하는 것에 관하여 연구하는 이론으로, [[형식 언어]](구문론)와 그 해석(의미론) 간의 관계를 다룬다. [[1차 논리]]가 무한한 구조에 관한 모형론의 표준적인 논리체계인 것과는 대비된다. 유한한 구조로는 유한군, 그래프, 컴퓨터적 모형 따위가 있을 수 있다.

== 집합론 ==
모델론적 관점은 [[집합론]]에서 특히 상대적 무모순성을 증명할 때 유용하게 사용된다. [[쿠르트 괴델]]은 [[선택 공리]]와 [[연속체 가설]]이 다른 [[체르멜로-프렝켈 집합론]] 내의 공리들과 모순되지 않음을 증명하기 위해 모델론적 방법을 이용하였는데, 그는 ZF에서 구성가능한 집합들을 모은 [[구성 가능 전체]] <math>V</math>를 구성하여, 이를 전체(universe)로 하는 모형 속에서 선택 공리와 일반화 연속체 가설이 성립함을 보였다.

[[뢰벤하임-스콜렘 정리]]로부터 도출되는 [[스콜렘 역설]](Skolem's paradox)에 따르면, 무모순적인 공리적 집합론은 가산 모형을 갖는다. 이는 집합론 내에는 비가산 집합의 존재를 상정하는 진술들도 있는데 이들까지 가산 모형 내에서 참이 된다는 점에서 다소 비직관적으로 다가올 수 있다. 특히 [[폴 코언]]이 [[연속체 가설]]을 증명하는 과정에서는, 모델 내에서는 비가산으로 보이고 모델 바깥에서는 가산으로 보이는 집합의 개념이 사용되었다.

ZFC 및 관련 집합론의 상대적 무모순성에 관한 문제에 따른 현대 집합론의 가장 큰 의논은 [[구성 가능성 공리]], [[큰 기수]] 공리 등 새로운 공리들로 대표되며, 이러한 연구에 있어서 모형 이론은 핵심적이다.

== 같이 보기 ==
{{위키공용분류}}
* [[구조 (논리학)]]
* [[뢰벤하임-스콜렘 정리]]
* [[콤팩트성 정리]]
* [[기본 매장]]
* [[증명 이론]]

== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용 | last=Marker | first=David | title=Model theory: an introduction | publisher=Springer | isbn=978-0-387-98760-6 | 날짜=2002 | doi = 10.1007/b98860 | 총서=Graduate Texts in Mathematics|권=217|issn=0072-5285|zbl=1003.03034|언어=en}}
* {{서적 인용 | last=Poizat | first=Bruno | title=A course in model theory: an introduction to contemporary mathematical logic | url=https://archive.org/details/courseinmodelthe0000poiz | publisher=Springer | 날짜=2000 | 총서=Universitext|기타=Moses Klein 역|isbn= 978-1-4612-6446-0|doi=10.1007/978-1-4419-8622-1|issn=0172-5939|zbl=0951.03002|언어=en}}
* {{서적 인용|last=Marker|first=David|장=An introduction to model theory|장url=http://library.msri.org/books/Book39/files/marker.pdf|제목=Model theory, algebra, and geometry|url=http://library.msri.org/books/Book39/contents.html|총서=Mathematical Sciences Research Institute Publications|권=39|날짜=2000|쪽=15–35|zbl=0961.03027|편집자=Deirdre Haskell, Anand Pillay, Charles Steinhorn|출판사=Cambridge University Press|언어=en|access-date=2014-11-23|archive-date=2014-11-21|archive-url=https://web.archive.org/web/20141121235342/http://library.msri.org/books/Book39/contents.html|url-status=}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Model theory}}
* {{매스월드|id=ModelTheory|title=Model theory}}
* {{웹 인용|url=http://plato.stanford.edu/entries/model-theory/|제목=Model theory|웹사이트=Stanford Encyclopedia of Philosophy|성=Hodges|이름=Wilfrid|날짜=2013-07-17|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://plato.stanford.edu/entries/modeltheory-fo/|제목=First-order model theory|웹사이트=Stanford Encyclopedia of Philosophy|성1=Hodges|이름1=Wilfrid|성2=Scanlon|이름2=Thomas|날짜=2013-07-02|언어=en}}

{{수학 분야}}
{{논리학}}
{{전거 통제}}

[[분류:모형 이론| ]]
[[분류:수리논리학]]