모함수 (물리학) 문서 원본 보기

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{{다른 뜻|생성함수 (수학)|[[해밀턴 역학]]에서 좌표 변환에 쓰이는 함수|[[조합론]]에서 쓰이는 생성함수({{lang|en|generating function}})}}
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[[해밀턴 역학]]에서 '''모함수'''(母函數, {{lang|en|generating function}})는 두 개의 [[일반화 좌표]]간의 [[정준변환]]을 연결해주는 함수이다.

== 도입 ==
기존의 [[일반화 좌표]] <math>\{ p_i , q_i , t \}</math>로부터 [[정준변환]]에 의한 새로운 [[일반화 좌표|좌표]] <math>\{ P_i , Q_i , t \}</math>가 [[해밀턴 방정식]]의 형태를 유지하려면 다음과 같은 형태의 [[해밀턴의 원리]]를 만족하면 된다.
:<math>\delta \int_{t_1}^{t_2} \left[ \sum_i P_i \dot{Q}_i - \hat{H}(P_i,Q_i,t) + {dF \over dt} \right] dt=0</math>
여기서 <math>\hat{H}</math>는 새로운 좌표로 기술된 [[해밀토니언]]이고 <math>F</math>는 임의의 함수이다. 여기서 <math>F</math>에 관계된 항은, 적분하면 [[경로]]의 양 끝에만 관계된 값이 되고, 이는 [[변분법|변분]]하면 없어지게 된다. 따라서, 최종적으로 얻는 [[해밀턴 방정식]]은 <math>F</math>에 관계없는 식이 된다. 따라서 <math>F</math>를 자유롭게 선택할 수 있는데, 이 함수를 '''모함수'''라 한다.

그런데 [[좌표변환]] 관계식
:<math>Q_i = Q_i (p_i, q_i, t)</math>
:<math>P_i = P_i (p_i, q_i, t)</math>
에 의해 위의 식이 제약이 되기 때문에 <math>F</math>를 완전 자유롭게 선택할 수는 없게 된다. 위 제약에서 자유롭게 되기 위해서는 서로 독립적인 변수를 사용하여야 한다. 두 종류의 식에 의해 제약이 되므로 모함수가 선택할 수 있는 좌표는 <math>\{ q_i, Q_i, t \} </math> , <math>\{ q_i, P_i, t \} </math> , <math>\{ p_i, Q_i, t \} </math> 또는 <math>\{ p_i, P_i, t \} </math> 중 하나이다.

== 목록 ==
기본적으로 다음과 같은 네 종류의 모함수가 있다.
:{| class=wikitable
!종
!모함수의 꼴
!모함수의 미분
|-
| 1종
|<math>F= F_1(q_i, Q_i, t) \,\!</math>
|<math>p_i = \frac{\partial F_1}{\partial q_i}</math> , <math>P_i = - \frac{\partial F_1}{\partial Q_i}</math>
|-
| 2종
|<math>F= F_2(q_i, P_i, t) - QP \,\!</math>
|<math>p_i = \frac{\partial F_2}{\partial q_i}</math> , <math>Q_i = \frac{\partial F_2}{\partial P_i}</math>
|-
| 3종
|<math>F= F_3(p_i, Q_i, t) + qp \,\!</math>
|<math>q_i = - \frac{\partial F_3}{\partial p_i}</math> , <math> P_i = - \frac{\partial F_3}{\partial Q_i}</math>
|-
| 4종
|<math>F= F_4(p_i, P_i, t) + qp - QP \,\!</math>
|<math>q_i = - \frac{\partial F_4}{\partial p_i}</math> , <math> Q_i = \frac{\partial F_4}{\partial P_i}</math>
|}
== 같이 보기 ==
* [[해밀턴-야코비 방정식]]
* [[푸아송 괄호]]

[[분류:물리학 개념]]
[[분류:고전역학]]
[[분류:해밀턴 역학]]