모티브 코호몰로지 문서 원본 보기

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[[대수기하학]]에서 '''모티브 코호몰로지'''({{llang|en|motivic cohomology}})는 [[호몰로지]] 이론 중의 하나로서, [[대수기하학]]의 연구 대상인 [[대수다양체]] 위에 정의할 수 있는 일종의 '범용 코호몰로지 이론'(universal cohomology theory)이다. 이 이론은 1960년대에, [[수학자]] [[알렉산더 그로텐디크]]에 의해서 처음으로 그 존재성이 예측되었다.

1960년대에 그로텐디크가 이 이론의 존재성을 예측할 당시에는, 이 이론은 아마도 대수기하학의 [[대수 순환에 관한 표준 가설들]](the standard conjectures on algebraic cycles)이 증명되면 이론이 확립될 것이라고 생각하였다. 이러한 가설이 맞다는 가정하에서 적절한 [[범주론]]을 사용하여 그로텐디크와 [[엔리코 봄비에리]]는 [[베유 가설]](Weil conjecture)에 대한 색다른 증명을 얻어낼 수도 있었다. (베유 가설은, [[피에르 들리뉴]]에 의해서 다른 방식으로 증명되었다.) 하지만, 불행하게도 현재까지도 이 '대수 사이클에 관한 표준 가설들'은 증명되지 않고 있다.

이러한 이유로 인해, [[모티브 (수학)|모티브]] 이론은 단지 직관적이고 모호한 상태로 남아있다. 이 때문에, 예를 들어 [[장피에르 세르]]의 경우, 모티브를 가지고 일하기보다는, 복수계의 호환되는 <math>l</math>-진 표현({{llang|en|system of compatible l-adic representations}}) 같은 구체적인 수학적 대상을 가지고 연구하는 것을 선호하였다. 이것은 모티브에 관한 가설들이 맞다면 아마도 모티브만큼 좋은 성질들을 만족할 것이라고 사람들은 생각하고 있다. 어쨌건, 세르는 모티브 대신 이러한 표현들을 이용해서, [[ℓ진 코호몰로지]] 안에서의 모티브의 구현에서 등장하는 데이터를 가지고 일하였다.

그로텐디크의 관점에서 보자면, 모티브는, 이러한 [[ℓ진 코호몰로지]]에서의 정보들뿐만이 아니라 대수적 [[드람 코호몰로지]]나 [[결정 코호몰로지]]({{llang|en|crystalline cohomology}})에서 나오는 정보들도 모두 가지고 있을 가설 속의 대상이다. 즉, 어떤 의미로 보자면, 모티브 코호몰로지는, 대수기하에서 등장하는 모든 코호몰로지 이론의 어머니 쯤으로 생각할 수 있다는 것이다. 다시 말하자면, 모티브 코호몰로지를 알면, 다른 모든 코호몰로지 이론들은 모티브 코호몰로지의 어떤 일부만을 봄으로써 얻을 수 있다는 것이다. 불행하게도 이러한 가설 속의 이론 개발은 생각보다 많은 발달을 이루지는 못하였으나, 그래도 제법 꾸준한 결과들이 있었다. 예를 들자면 [[피에르 들리뉴]]의 절대 호지 순환(absolute Hodge cycle) 이론은 이러한 기술 발달에 기여를 하였다.

== 최근 기술 동향 ==
최근에는 [[호모토피 이론]]과 [[K이론]]을 대수기하학에 적용함으로써, [[블라디미르 보예보츠키]]는 대수다양체에 쓰일 수 있는 새로운 모티브 식의 호모토피 이론을, [[모형 범주]]({{llang|en|model category}})의 형태로 만들어 내었다. 이것을 이용하여, 대수다양체를 위한 모티브 코호몰로지 이론의 한 가지 모델을 만들어 낼 수 있었다.

== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용 | 성=Serre | 이름=Jean-Pierre | 저자링크=장피에르 세르|공저자=Uwe Jannsen, Steven L. Kleiman | title=Motives | publisher=[[American Mathematical Society]] | location=Providence, R.I. | isbn=978-0-8218-1637-0 | 날짜=1994 | 언어=en}}
* {{서적 인용| 이름=Carlo| 성=Mazza| 공저자=[[블라디미르 보예보츠키|Vladimir Voevodsky]], Charles Weibel| title=Lectures in Motivic Cohomology| url=http://math.rutgers.edu/~weibel/motiviclectures.html| 총서=Clay Mathematics Monographs| 권=2| publisher=American Mathematical Society| isbn=978-0-8218-3847-1| 날짜=2006| 언어=en| 확인날짜=2014-08-19| 보존url=https://web.archive.org/web/20150118204339/http://www.math.rutgers.edu/~weibel/motiviclectures.html| 보존날짜=2015-01-18| url-status=dead}}

[[분류:대수기하학]]