모티브 (수학) 문서 원본 보기

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'''모티브'''({{llang|en|motive}}, {{llang|fr|motif|모티프}})는 [[대수기하학]]의 연구대상 중 한가지로, 직관적으로 말하자면, '[[대수다양체]]의 궁극적인 성질들을 가지고 있는 대상'을 뜻한다. 좀 더 수학적으로 엄밀하게 말하자면, '모티브 이론'이란 '[[대수다양체]]에 관한 범용 코호몰로지 이론(universal cohomology theory)'이다.

[[범주론]]의 관점에서 보자면, 모티브들은 어떤 [[대수적 대응]](algebraic correspondences)들의 [[범주 (수학)|범주]] 안에서 사영자(projector)라고 불리는 멱등원(idempotent)들을 통해서 정의하려고 시도하던 것이 전통적인 방식이었다. 그러나, 이 방법은 수십 년간 큰 진전을 보지 못했는데, 그것은 [[알렉산더 그로텐디크]]의 [[대수 사이클에 대한 표준가설]]들의 증명에 큰 진척이 없었기 때문이었다. 이 증명이 진척되지 않아서, 위에서 말한 [[대수적 대응]]들의 [[범주 (수학)|범주]]에서는 '충분히' 많은 사상(morphism)들을 만드는 것이 힘들었다. [[알렉산더 그로텐디크]]가 활발하게 활동을 하던 1960년대에서 1970년대에는, [[모티브의 범주]]는 [[범용 베유 코호몰로지]](universal Weil cohomology)이론이 될 것이라고 생각했으나, 이러한 기대는 아직까지 이루어지지는 못했다. 그러나, 많은 다른 수학자들에 의해서 지금은 [[모티브 코호몰로지]]는 기술적으로 적합한 다른 방식으로 정의되었다.

따라서, 엄격하게 말하자면, 아직은 '모티브 이론'은 완전하게 완성되지는 못했으나, 그런 가설속의 대상들인 모티브들 사이의 관계에 대해서는 제법 많은 것들을 알게 되었고, 이러한 사실들은 [[대수다양체]]들에 대한 일반적인 바탕 인프라스트럭처를 만드는 것으로 믿어지고 있다.

== 모티브란 무엇인가? ==

=== 예제 ===
모든 [[대수다양체]] ''X''는, 그에 대응하는 '''모티브''' [''X'']를 가지고 있다. 따라서, 가장 간단한 모티브들의 예를은 다음과 같다:

* [점]
* [<math>\mathbb{P}^1</math>] = [점] + [<math>\mathbb{A}^1</math>]
* [<math>\mathbb{P}^2</math>] = [점] + [<math>\mathbb{A}^1</math>] + [<math>\mathbb{A}^2</math>]

이러한 '등식'들은 많은 상황에서 성립한다. 예를 들자면:

* [[복소수]]위에서의 [[드람 코호몰로지]]와 [[특이 코호몰로지]]에 대해서 성립한다.
* [[환의 표수|표수]]가 ''l'' 이 아닌 [[체 (수학)|체]]위에서의 ''l''-에딕(adic) [[에탈 코호몰로지]](étale cohomology)에 대해서 성립한다.
* [[유한체 (수학)|유한체]]위에서, [[대수다양체]]의 닫힌 점들의 개수가 이를 만족한다.
* [[컨덕터 (수학)|컨덕터]](conductor)에 대해서 성립한다.

각각의 모티브는 차수(degree)로 위계가 매겨져있다(graded). 구체적으로 말하자면, [[대수다양체]] ''X''에 대해서 대응되는 모티브 [''X'']는 차수 0부터 차수 2 '''dim''' ''X''까지로 위계가 매겨져있다. 대수다양체는 이러한 성질을 가지고 있지만, 모티브는 항상 모티브 전체에서 특정 차수의 모티브의 부분으로 가는 사영(projection)이 존재한다. 예를 들자면,

*''E''가 [[타원곡선]]일 때에, ''h'':= [''E''] - [선] - [점]은 차수가 순수히 1인 모티브이다.

=== 아이디어 ===

기본적인 철학은 다음과 같다. 즉, '''모티브'''는 충분히 좋고 잘 정의되는 [[코호몰로지]] 이론들 안에서는 항상 같은 구조를 가져야 한다는 것이다. 예를 들어, 임의의 [[베유 코호몰로지]](Weil cohomology)이론은 이런 '충분히 좋은' 코호몰로지이다.

== 같이 보기 ==
* [[모티브 코호몰로지]]
== 각주 ==

모티브 이론은, [[알렉산더 그로텐디크]]에 의해서 시작된 아주 큰 규모의 [[대수기하학]]의 프로그램의 일부이다. 이 이론의 일관성을 보장하기 위해서는, 몇가지 [[대수 사이클에 대한 표준가설]]들을 증명해야만 하고, 현재는 여러가지의 다른 모티브에 대한 정의들이 존재하고 있다. [[모티브 갈루아군]](motivic Galois group)같은 표현에서와 같이 다른 단어를 수식할 때의 '모티브'라는 말은, 어떤 개념적이고 직관적인 연관성이 있음을 암시하고 있기는 하지만, 아직은 이 모티브 이론은 완벽하게 만들어진 형태가 아니다. [[모티브 폴리로그]]와 같은 곳에서도 이런 현상이 나타난다.

순수 [[호지 구조]](pure Hodge structore)에 연관되어 [[혼합 호지 구조]](mixed Hodge structure)가 있는 것처럼, 순수 '''모티브'''에도 [[혼합 모티브]]라는 개념이 존재한다.

=== 참고 문헌 ===
* {{저널 인용|url=http://www.ams.org/notices/200410/what-is.pdf|저널=Notices of the American Mathematical Society|권=51|호=10|이름=Barry|성=Mazur|제목=What is a motive?}}
* {{저널 인용|arxiv=math/9904055|이름=Maxim|성=Kontsevich|저자링크=막심 콘체비치|제목=Operads and motives in deformation quantization|doi=10.1023/A:1007555725247}}
* {{저널 인용|arxiv=math/9911179|이름=A.|성=Craw|제목=An introduction to motivic integration}}
* (preprint, 1992): [[알렉산드르 베일린손]], [[피에르 들리뉴]]
**''[[Motivic polylogarithm]] and [[Zagier conjecture]]''
* [[블라디미르 보예보츠키]]의 논문: [http://www.math.uiuc.edu/K-theory/0368/ Cycles, Transfers and Motivic Homology Theories].

[[분류:대수기하학]]
[[분류:호몰로지 대수학]]