모임 (집합론) 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[집합론]]에서 '''모임''' 또는 '''클래스'''({{llang|en|class}})는 특정한 성질을 만족하는 [[집합]](혹은 그 외의 수학적 대상)을 모은 것이다. 모임은 지나치게 커서 집합이 아닐 수 있으며, 이렇게 집합이 아닌 모임을 '''고유 모임'''(固有모임, {{llang|en|proper class}})이라고 한다.

== 정의 ==
=== 체르멜로-프렝켈 집합론에서의 정의 ===
모임의 정의는 표준적인 [[집합론]]([[체르멜로-프렝켈 집합론]]의 확장)에서는 형식적으로 다룰 수 없고, 비형식적으로만 다루어진다. 이 경우, "모임"은 어떤 1변수 술어 <math>\phi(x)</math>와 동의이다. 술어 <math>\phi</math>에 대응하는 모임은 보통
:<math>\{x\colon\phi(x)\}</math>
로 쓰며,
:<math>\phi(x)\stackrel{\text{def}}\iff x\in\{y\colon\phi(y)\}</math>
이다. 술어 <math>\phi(x)</math>에 대하여, 만약
:<math>\phi(x)\iff x\in S</math>
인 집합 <math>S</math>가 존재한다면, 모임 <math>\{x\colon\phi(x)\}</math>를 집합 <math>S</math>로 간주한다. 그러나 집합으로 간주할 수 없는 모임은 '''고유 모임'''이라고 한다.

두 술어 <math>\phi,\chi</math>에 대하여, 만약 <math>\phi(x)</math>가 <math>\chi(x)</math>를 함의한다면, <math>\{x\colon\phi(x)\}</math>가 <math>\{x\colon\chi(x)\}</math>의 '''부분 모임'''({{llang|en|subclass}})이라고 한다.
:<math>\left(\forall x\colon\phi(x)\implies\chi(x)\right)\stackrel{\text{def}}\iff\{x\colon\phi(x)\}\subset\{x\colon\chi(x)\}</math>
마찬가지로, 두 모임의 합모임·교모임·차모임 등을 정의할 수 있다.

=== 모임 이론에서의 정의 ===
[[폰 노이만-베르나이스-괴델 집합론]]이나 [[모스-켈리 이론]] 등에서는 다루는 대상이 기본적으로 집합이 아니라 모임이다. 이 경우, 이론에서 다루는 모든 대상은 모임이며, 모임 <math>X</math> 가운데 이를 원소로 포함하는 다른 모임이 있을 경우 '''집합'''이라고 한다.
:<math>\operatorname{Set}(X)\iff\exists Y\colon X\in Y</math>
집합이 아닌 모임, 즉 다른 모임의 원소가 될 수 없는 모임은 '''고유 모임'''이라고 한다.

=== 기타 집합론에서의 정의 ===
[[새 기초]]({{llang|en|New Foundations}})와 같은 이론의 경우에도 집합이 아닌 모임이 존재하나, 이 경우 집합은 고유 모임인 부분 모임을 가질 수 있다.

== 성질 ==
[[체르멜로-프렝켈 집합론]]이나 [[폰 노이만-베르나이스-괴델 집합론]], [[모스-켈리 이론]] 등에서는 다음이 성립한다. (이들 가운데 일부는 [[새 기초]] 등에서 성립하지 않는다.) 모임 <math>X</math>에 대하여, 다음 조건들이 [[동치]]이다.
* <math>X</math>는 [[집합]]이다.
* <math>X</math>의 모든 부분 모임은 집합이다.
* <math>X</math>를 원소로 하는 모임이 존재한다.
* <math>X</math>를 원소로 하는 집합이 존재한다.
* <math>X</math>를 원소로 하는 고유 모임이 존재한다.
[[폰 노이만-베르나이스-괴델 집합론]], [[모스-켈리 이론]] 등, 대역적 선택 공리({{llang|en|axiom of global choice}})를 포함하는 이론에서는 다음 조건들이 위 조건들과 추가로 동치이다.
* <math>X</math>는 모든 [[순서수]]의 모임 <math>\operatorname{Ord}</math>와 [[일대일 대응]]을 갖지 않는다.
* <math>X</math>와 일대일 대응을 갖지 않는 [[고유 모임]]이 존재한다.
* 임의의 고유 모임 <math>Y</math>에 대하여, <math>X</math>는 <math>Y</math>와 일대일 대응을 갖지 않는다.

== 예 ==
모든 [[집합]]은 모임이다. 고유 모임의 예로는 다음을 들 수 있다. 이들 가운데 여럿의 경우, 이들이 집합이 아니라는 정리는 [[역설]]로 불린다. 이는 [[집합론]]의 초기에는 집합과 고유 모임의 차이가 명확하지 않았기 때문에 이들이 모순적으로 여겨졌기 때문이다.
* 모든 집합의 모임 <math>V=\{x\colon x=x\}</math>. ([[폰 노이만 전체]])
* 모든 기수의 모임 <math>\operatorname{Card}</math>. 이는 [[칸토어 역설]]에 따라 고유 모임이다.
* 모든 [[순서수]]의 모임 <math>\operatorname{Ord}</math>. 이는 [[부랄리포르티 역설]]에 따라 고유 모임이다.
* 스스로를 원소로 갖지 않는 집합의 모임 <math>\{x\colon x\notin x\}</math>. 이는 [[러셀의 역설]]에 따라 고유 모임이다. 사실, [[정칙성 공리]]에 따라 이는 전체 모임 <math>V</math>와 같다.
* 모든 [[군 (수학)|군]]들의 모임, 모든 [[환 (수학)|환]]들의 모임, 모든 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]들의 모임 따위 역시 고유 모임이다. 이러한 고유 모임들은 [[범주론]]에서 자주 다루게 된다.

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Class}}
* {{매스월드|id=SetClass|title=Set class}}
* {{매스월드|id=ProperClass|title=Proper class}}
* {{웹 인용|url=http://ncatlab.org/nlab/show/proper+class|제목=Proper class|웹사이트=nLab|언어=en}}

{{수리 논리학}}
{{집합론}}

[[분류:집합론]]