모멘트 분배법 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
'''모멘트분배법'''(-分配法, Moment distribution method)은 [[1930년]] 5월에 [[미국]] [[일리노이 주립 대학교 어바나-샴페인]]의 [[하디 크로스]] 교수가 [[미국토목학회]]지의 논문 "''Analysis of Continuous Frames by Distributing Fixed-End Moments''"(<small>〈고정단 모멘트의 분배에 의한 연속 뼈대 구조의 해석〉</small>)을 통해 발표한 [[부정정]] [[구조해석]]방법으로, 반복적인 계산을 통해 연속보와 [[뼈대 구조]]의 절점 모멘트를 구할 수 있는 근사해법이다. '''고정모멘트법'''(固定-法)으로도 불린다.

== 특징 ==
모멘트 분배법은 부재의 고정단 모멘트로부터 시작하여 순차적으로 구조물 전체의 평형이 만족될 때까지 반복적으로 불균형 모멘트를 분배하고 인접 부재로 배분하는 방법이다. 이는 구조해석에서 자주 등장하는 [[선형성|선형]] [[연립방정식|연립]][[방정식]]의 해를 해석적으로 직접 구하지 않고 [[가우스-조던 방법]](Gauss-Jordan method) 또는 [[가우스-사이델 방법]](Gauss-Seidel method)등을 도입하여 반복 계산을 통해 근사해를 구하는 방법으로, 수(手)계산에 매우 편리하다. 모멘트 분배법은 기본적으로 [[처짐각법]](slope deflection method)에서 발전된 것이나, 처짐각법에서 미지수를 각 절점의 처짐각으로 하는 것에 비해, 모멘트 분배법에서는 처짐각과 부재의 상대적 강도로부터 유도한 부재단 모멘트를 미지수로 하여 해석한다.

== 구현 ==
[[자유도 (통계학)|자유도]]를 갖는 모든 절점을 구속시킨 뒤 재하되는 고정단 모멘트를 절점의 구속을 순차적으로 풀며 전체 구조물로 분배시키는 과정을 원하는 [[정확도와 정밀도|정밀도]]의 결과에 이를 때까지 반복한다. 모멘트 분배법을 적용하기 위해서는 다음과 같은 사항에 대한 고려가 필요하다.

=== 고정단 모멘트 ===
절점을 구속할 때 각 부재단에 발생하는 모멘트이다.
{{참고|고정단 모멘트}}

=== 부재의 상대적 휨강성 ===
전달률(carry-over factor)과 분배율(distribution factor)를 계산하기 위해서는 각 부재의 길이와 더불어, [[탄성 계수]](''E'')와 [[단면 이차 모멘트]](''I'')의 곱으로 주어지는 휨 강성의 상대적인 비를 알아야 한다.

=== 분배율 ===
하나 이상의 부재가 모이는 절점에서, 절점을 구속할 때에 재하되는 불균형 모멘트에 대해, 구속을 제거할 때에 발생하는 회전 변위에 저항하기 위해(즉 정역학적 [[평형]]을 만족하기 위해) 각 부재단에 발생하는 모멘트(분배모멘트, distributed moment)들의 상대적인 비를 나타낸다.

=== 전달률 ===
부재의 한쪽단에 연결된 절점의 구속을 제거하며 분배된 모멘트는 그 부재의 다른쪽 단(고정되어 있음)으로도 전달되는데, 이렇게 전달된 모멘트를 전달모멘트(carryover moment)라고 하며, 그 비율을 전달률이라고 한다.

=== 부호 규약 ===
계산 과정에서의 편의를 위해 시계방향 또는 반시계방향의 모멘트를 임의로 양(+)으로 정한다. 보통 처짐각법의 부호 규약을 따른다.

=== 뼈대 구조에의 적용 ===
뼈대 구조물에도 연속보와 같은 방식으로 모멘트 분배법을 적용할 수 있다. 다만, 절점의 횡변위(가로흔들이, sidesway)가 있는 경우는, 모든 횡변위를 구속하고 해석한 결과와 각각의 횡변위를 임의의 값으로 하여 해석한 결과들을 중첩(평형 조건을 적용)하면 전체 구조물을 해석할 수 있다.

== 예제 ==
[[파일:MomentDistributionMethod.jpg|섬네일|434px|right|예제 연속보]]
오른쪽 그림과 같은 [[들보|연속보]] 구조물을 해석해 보자.
*부재 AB, BC, CD의 길이는 모두 <math> L = 10 \ m </math>로 같고,
*휨 강성은 각각 EI, 2EI, EI이다.
*부재 AB는 지점 A로부터 <math> a = 3 \ m </math>의 위치에 크기 <math> P = 10 \ kN </math>인 집중 하중이,
*부재 BC는 부재 전체에 걸쳐 <math> q = 1 \ kN/m</math>의 등분포 하중이,
*부재 CD는 중앙에 크기 <math> P = 10 \ kN </math>인 집중 하중이 재하되어 있다.
계산 과정에서, 반시계 방향의 모멘트를 양(+)으로 한다.

=== 고정단 모멘트 ===
고정단 모멘트는 각 절점을 고정시켰을 때 부재단에 발생하는 모멘트이다.
:<math>M _{AB} ^f = \frac{P a b^2 }{L ^2} = \frac{10 \times 3 \times 7^2}{10^2} = 14.7 \ kN\cdot m</math>
:<math>M _{DC} ^f = - \frac{PL}{8} = - \frac{10 \times 10}{8} = - 12.5 \ kN\cdot m</math>

=== 분배율 ===
각 절점에서의 분배율은 부재의 상대적 강성의 비율이므로 다음과 같이 구할 수 있다.
:<math>D_{BA} = \frac{\frac{3EI}{L}}{\frac{3EI}{L}+\frac{4\times 2EI}{L}} = \frac{\frac{3}{10}}{\frac{3}{10}+\frac{8}{10}} = 0.27</math>
:<math>D_{BC} = \frac{\frac{4\times 2EI}{L}}{\frac{3EI}{L}+\frac{4\times 2EI}{L}} = \frac{\frac{8}{10}}{\frac{3}{10}+\frac{8}{10}} = 0.73</math>
:<math>D_{CB} = \frac{\frac{4\times 2EI}{L}}{\frac{4\times 2EI}{L}+\frac{4EI}{L}} = \frac{\frac{8}{10}}{\frac{8}{10}+\frac{4}{10}} = 0.67</math>
:<math>D_{CD} = \frac{\frac{4EI}{L}}{\frac{4\times 2EI}{L}+\frac{4EI}{L}} = \frac{\frac{4}{10}}{\frac{8}{10}+\frac{4}{10}} = 0.33</math>
이 때 절점 A, D에서의 분배율은 <math>D_{AB} = D_{DC} = 1 </math>이다.

=== 전달률 ===
각 부재단에서 발생한 불균형모멘트가 분배되면서 그 <math> \frac{1}{2} </math>이 다른쪽 부재단으로 전달된다. 단, 절점 B에서 롤러단인 절점 A로는 모멘트가 전달되지 않으며, 고정단인 절점 D에서 절점 C로도 모멘트가 전달되지 않는다.

=== 모멘트 분배 ===
{| class="wikitable" style="background-color:white"
|- style="background=color:#EEEEEE;"
!
!colspan="11"|[[파일:MomentDistributionMethod2.jpg|700px]]
|- style="background-color:#EEEEEE;"
|style="text-align:center; font-weight:normal;"|
|style="text-align:right; width:50px; padding:1px;"|절점
|style="text-align:left; width:82px; padding:1px;"|A
|style="text-align:center; width:31px; padding:1px;"|
|style="text-align:right; width:82px; padding:1px;"|절점
|style="text-align:left; width:82px; padding:1px;"|B
|style="text-align:center; width:31px; padding:1px;"|
|style="text-align:right; width:82px; padding:1px;"|절점
|style="text-align:left; width:82px; padding:1px;"|C
|style="text-align:center; width:31px; padding:1px;"|
|style="text-align:right; width:82px; padding:1px;"|절점
|style="text-align:left; width:44px; padding:1px;"|D
|- style="background-color:#EEEEEE; font-weight:bold;"
|style="text-align:center; font-weight:normal;"|분배율
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|- style="background-color:#EEEEEE; font-weight:bold;"
|style="text-align:center; font-weight:normal;"|고정단 모멘트
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|style="text-align:right; width:82px; padding:1px;"|-6.3
|style="text-align:left; width:82px; padding:1px;"|8.33
|style="text-align:center; width:31px; padding:1px;"|
|style="text-align:right; width:82px; padding:1px;"|-8.33
|style="text-align:left; width:82px; padding:1px;"|12.5
|style="text-align:center; width:31px; padding:1px;"|
|style="text-align:right; width:82px; padding:1px;"|-12.5
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|-
|style="text-align:center;"|절점A 분배·전달
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|style="text-align:left; width:82px; background-color:#F8F8F8; padding:1px;"|-14.7
|style="text-align:center; width:31px; padding:1px;"|→
|style="text-align:right; width:82px; padding:1px;"|-7.35
|style="text-align:left; width:82px; padding:1px;"|
|style="text-align:center; width:31px; padding:1px;"|
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|style="text-align:right; width:82px; padding:1px;"|
|style="text-align:left; width:44px; padding:1px;"|
|-
|style="text-align:center;"|절점B 분배·전달
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|style="text-align:left; width:82px; padding:1px;"|
|style="text-align:center; width:31px; padding:1px;"|
|style="text-align:right; width:82px; background-color:#F8F8F8; padding:1px;"|1.44
|style="text-align:left; width:82px; background-color:#F8F8F8; padding:1px;"|3.88
|style="text-align:center; width:31px; padding:1px;"|→
|style="text-align:right; width:82px; padding:1px;"|1.94
|style="text-align:left; width:82px; padding:1px;"|
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|style="text-align:right; width:82px; padding:1px;"|
|style="text-align:left; width:44px; padding:1px;"|
|-
|style="text-align:center;"|절점C 분배·전달
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|style="text-align:left; width:82px; padding:1px;"|
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|style="text-align:center; width:31px; padding:1px;"|←
|style="text-align:right; width:82px; background-color:#F8F8F8; padding:1px;"|-4.09
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|style="text-align:center; width:31px; padding:1px;"|→
|style="text-align:right; width:82px; background-color:#F8F8F8; padding:1px;"|-1.01
|style="text-align:left; width:44px; padding:1px;"|
|-
|style="text-align:center;"|절점B 분배·전달
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|style="text-align:left; width:82px; padding:1px;"|
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|-
|style="text-align:center;"|절점C 분배·전달
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|style="text-align:center; width:31px; padding:1px;"|←
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|-
|style="text-align:center;"|절점B 분배·전달
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|-
|style="text-align:center;"|절점C 분배·전달
|style="text-align:right; width:50px; padding:1px;"|
|style="text-align:left; width:82px; padding:1px;"|
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|style="text-align:center; width:31px; padding:1px;"|←
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|style="text-align:left; width:82px; background-color:#F8F8F8; padding:1px;"|-0.03
|style="text-align:center; width:31px; padding:1px;"|→
|style="text-align:right; width:82px; background-color:#F8F8F8; padding:1px;"|-0.02
|style="text-align:left; width:44px; padding:1px;"|
|-
|style="text-align:center;"|절점B 분배
|style="text-align:right; width:50px; padding:1px;"|
|style="text-align:left; width:82px; padding:1px;"|
|style="text-align:center; width:31px; padding:1px;"|
|style="text-align:right; width:82px; background-color:#F8F8F8; padding:1px;"|0.01
|style="text-align:left; width:82px; background-color:#F8F8F8; padding:1px;"|0.02
|style="text-align:center; width:31px; padding:1px;"|
|style="text-align:right; width:82px; padding:1px;"|
|style="text-align:left; width:82px; padding:1px;"|
|style="text-align:center; width:31px; padding:1px;"|
|style="text-align:right; width:82px; padding:1px;"|
|style="text-align:left; width:44px; padding:1px;"|
|- style="background-color:#EEEEEE; font-weight:bold;"
|style="text-align:center;"|모멘트의 합
|style="text-align:right; width:50px; padding:1px;"|
|style="text-align:left; width:82px; padding:1px;"|0
|style="text-align:center; width:31px; padding:1px;"|
|style="text-align:right; width:82px; padding:1px;"|-11.58
|style="text-align:left; width:82px; padding:1px;"|11.58
|style="text-align:center; width:31px; padding:1px;"|
|style="text-align:right; width:82px; padding:1px;"|-10.20
|style="text-align:left; width:82px; padding:1px;"|10.20
|style="text-align:center; width:31px; padding:1px;"|
|style="text-align:right; width:82px; padding:1px;"|-13.66
|style="text-align:left; width:44px; padding:1px;"|
|}
여기서 <span style="background-color:#F8F8F8; border-style:solid; border-width:1px; border-color:#AAAAAA;">회색 음영</span>은 각 절점의 불균형 모멘트로부터 분배가 완료된 분배 모멘트를 의미하며 화살표(<span style="border-style:solid; border-width:1px; border-color:#AAAAAA;">&nbsp;→&nbsp;/&nbsp;←&nbsp;</span>)는 부재의 다른쪽 단으로의 전달을 의미한다. 모멘트의 합은 해당 열의 모든 모멘트의 대수 합으로 구한다.

=== 결과 ===
*절점 모멘트
:<math>M_A = 0 \ kN \cdot m </math>
:<math>M_B = -11.58 \ kN \cdot m </math>
:<math>M_C = -10.20 \ kN \cdot m </math>
:<math>M_D = -13.66 \ kN \cdot m </math>
:여기서 음(-)의 부호는 부재의 상단에 인장이 발생하도록 하는 휨 모멘트를 의미한다.

*전단력도
[[파일:MomentDistributionMethodSFD.jpg|섬네일|680px|center|예제 구조물의 전단력도(shear diagram).]]

*휨 모멘트도
[[파일:MomentDistributionMethodBMD.jpg|섬네일|680px|center|예제 구조물의 휨 모멘트도(bending moment diagram).]]

== 참고 문헌 ==
*McCormac, Jack C.; James K. Nelson, Jr. (1997). ''Structural Analysis: A Classical and Matrix Approach'', 2nd, Addison-Wesley, 488-538.  {{ISBN|0-673-99753-7}}.
*양창현 (2001-01-10). 《[https://web.archive.org/web/20071008135424/http://www.cmgbook.co.kr/category/sub_detail.html?no=1017 구조역학]》, 4판, 청문각, 391-422. {{ISBN|89-7088-709-1}}.

== 같이 보기 ==
* [[처짐각법]]
* [[고정단 모멘트]]
* [[하디 크로스]]

== 외부 링크 ==
* {{언어링크|en}} [https://web.archive.org/web/20060827012717/http://structsource.com/analysis/types/momentdistributionexample.htm Strucsource®의 모멘트 분배법 예제]

[[분류:구조역학]]