모래알을 세는 사람 문서 원본 보기

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'''모래알을 세는 사람'''({{llang|el|Αρχιμήδης Ψαµµίτης}}, 아르키메데스 모래알)은 [[아르키메데스]]의 논문이다. 아르키메데스는 《모래알을 세는 사람》에서 [[우주]]를 모두 모래로 채울 때 모래알의 개수는 몇 개가 될 것인지를 다루고 있다. 아르키메데스는 생각할 수 있는 매우 큰 수의 예를 들기 위해 [[고대 그리스]]에서 생각되던 우주 전체를 모래로 채우는 것을 가정하였다. [[라틴어]]로 번역되어 《'''Archimedis Syracusani Arenarius & Dimensio Circuli'''》(시라쿠사의 아르키메데스가 셈하고 측정한 우주)라는 이름으로 널리 알려졌다. 8쪽 분량의 라틴어 문서에서는 아르키메데스가 [[시라쿠사]]의 군주 [[겔로 2세]]([[히에론 2세]]의 아들)에게 보여주기 위해 이 글을 썼다고 밝히고 있다. 이 때문에 이 글은 일반인을 위해 연구 결과를 설명한 최초의 설명적 논문으로 여겨지고 있다.<ref>Archimedes, [http://www.lix.polytechnique.fr/Labo/Ilan.Vardi/sand_reckoner.ps The Sand Reckoner] {{웹아카이브|url=https://web.archive.org/web/20110514130837/http://www.lix.polytechnique.fr/Labo/Ilan.Vardi/sand_reckoner.ps}}, by Ilan Vardi, accessed 28-II-2007.</ref>

== 큰 수의 이름 ==
아르키메데스가 다루고자 한 [[수 (수학)|수]]는 매우 컸기 때문에, 그는 우선 매우 [[큰 수]]를 어떻게 불러야 할 지를 정해야 하였다. 고대 그리스 당시 수를 읽는 방법은 [[10000|만]] 단위로 끊어 미리아드({{llang|el|μυρίος}})로 읽는 것이었다. 예를 들어 [[100000000|1 억]]은 “미리아드 미리아드”로 읽었다. 아르키메데스는 1부터 1 억에 해당하는 미리아드 미리아드, 즉 10<sup>8</sup>까지를 “1차수”로 하고 <math>10^8</math>을 2차수들의 단위로 하여 이 단위부터 다시 이를 곱한 10<sup>8</sup>&bull; 10<sup>8</sup> = 10<sup>16</sup> 까지를 “2차수”, 10<sup>16</sup>을 단위로 다시 반복한 10<sup>16</sup>&bull; 10<sup>8</sup> = 10<sup>24</sup>까지를 “3차수”와 같이 하여  10<sup>8</sup> 차수, 즉 10<sup>8 &bull; 10<sup>8</sup></sup> 까지를 명명하였다.

아르키메데스는 위의 10<sup>8</sup>차수, 즉 10<sup>8 &bull; 10<sup>8</sup></sup>까지를 "첫 번째 주기의 수"로 부르기로 한 다음 다시 첫 번째 주기의 마지막 수 10<sup>8 &bull; 10<sup>8</sup></sup>를 단위로 위와 같은 곱셈을 하여 10<sup>8</sup> 번째 주기의 수를 제시하였다. 10<sup>8</sup> 번째 주기의 마지막 수는

:<math id="mingshey">\left((10^8)^{(10^8)}\right)^{(10^8)}=10^{8\cdot 10^{16}}</math>
이 된다.<ref>{{웹 인용|url=https://archive.org/details/archimedisopera06eutogoog/page/n279|제목=Archimedis Opera Omnia|성=Archimedes of Syracuse|이름=|날짜=|웹사이트=|출판사=|확인날짜=}}</ref>

아르키메데스의 큰 수는 결국 10<sup>8</sup>를 밑으로 하는 [[지수 함수]]의 결과이다. 아르키메데스는 이 계산에서 [[지수]]의 법칙 가운데 하나인 10<sup>a</sup>&bull; 10<sup>b</sup> = 10<sup>a+b</sup>를 사용하였다.

== 우주의 크기 ==
아르키메데스는 당시에 알려져 있던 [[사모스의 아리스타르코스]]의 [[태양중심설]]을 기준으로 우주의 크기를 정하였다. 아리스타르코스의 태양중심설 자체는 소실되어 전해지지 않고 있으며 아르키메데스의 《모래알을 세는 사람》이 그의 태양중심설을 설명하는 글 가운데 오늘날까지 전해오는 유일한 것이다.<ref>[http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Aristarchus.html Aristarchus biography at MacTutor], accessed 26-II-2007.</ref> 태양중심설을 증명하기 위해서는 [[연주 시차]]를 입증하여야 하는데 이를 확인할 수 있는 기술이 당시에는 없었기 때문에 결국 후대에서는 받아들여지지 않았다.<ref group="주해">1727년이 되어서야 [[제임스 브래들리]]가 최초로 연주 시차를 확인하였다.</ref>

아리스타르코스가 지구와 별들 사이의 거리를 따로 밝히지 않았기 때문에 아르키메데스는 이를 추정할 수 밖에 없었다. 아르키메데스는 다음과 같이 대략적인 우주의 크기를 추정하였다.<ref>Smith, William — A Dictionary of Greek and Roman Biography and Mythology (1880) - p.272</ref>
* [[지구]]의 반지름은 아무리 커도 300 미리아드 스타디아(myriad stadia, 고대 그리스의 측량단위)(약 5 &bull; 10<sup>5</sup> km)를 넘지 않을 것이다.<ref group="주해">지구의 실제 반지름은 약 6400km 이다</ref>
* 달은 지구보다 크지 않을 것이고, 태양은 달의 30배 이상 크지는 않을 것이다.
* 따라서 지구와 태양 사이의 거리는 달과 태양사이의 거리에 200배 정도 일 것이다.
* 또한 별의 연주 시차가 없으므로 별들은 지구와 같은 속도로 태양 주위를 돈다고 생각할 수 있고, 별들 사이의 거리는 태양과 지구 사이의 거리에 두 배 정도일 것이다.
이상과 같이 하여 아르키메데스는 우주의 반지름이 약 10<sup>14</sup> 스타디아 정도라고 추정하였다. 이는 약 2 [[광년]] 정도의 거리이다.

이와 같이 우주의 크기를 추정한 아르키메데스는 모래알로 우주 전체를 채울 경우 모래알의 개수는 8×10<sup>63</sup>를 넘지 않을 것이라고 추정하였다.

== 인용 ==
{{인용문|겔론 국왕께, 많은 사람들은 모래알이 너무나 많기 때문에 무한한 것이라고 생각한다. 그러나, 시라쿠사나 시실리아 뿐만 아니라 지구 전체, 더 나아가 우주 전체를 모래알로 채운다고 하더라도 셀 수 있다. 수가 많다고 무한이라고 하는 것은 큰 수에 대해 아직 이름을 붙일 방법을 생각해내지 못했기 때문이다. 그러나 적당히 수를 부를 방법만 안다면 땅 전체의 무게나 제 아무리 깊은 바다의 깊이, 또는 가장 높은 산의 높이도 측정할 수 있다. 뿐만아니라 적당한 단위로 묶어서 센다면 그의 곱셈을 통해 제아무리 많은 모래알의 개수도 신속하게 셈할 수 있다.

나는 이것을 독자 여러분이 인정할 수 있도록 기하학으로 증명하려 한다. 큰 수를 부르는 방법은 일전에 내가 제우시푸스에게 제시하였던 방법을 따를 것이다. 이 방법에 의하면 지구 전체를 채울 모래알의 수 뿐만 아니라 우주 전체를 채울 모래알의 수도 계산할 수 있다.<ref>Newman, James R. — The World of Mathematics (2000) - p.420</ref>|Archimedis Syracusani Arenarius & Dimensio Circuli }}

== 주해 ==
<references group="주해"/>

== 각주 ==
{{각주}}

{{전거 통제}}

[[분류:고대 그리스의 천문학]]
[[분류:수학 사본]]
[[분류:천문학 책]]
[[분류:수론]]
[[분류:아르키메데스의 작품]]