모듈러 격자 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
{{대수 구조|expanded=격자}}
[[순서론]]에서 '''모듈러 격자'''({{llang|en|modular lattice}})는 일종의 약한 [[결합 법칙]]을 만족시키는 [[격자 (순서론)|격자]]이다.

== 정의 ==
'''오각형 격자'''({{llang|en|pentagon lattice}})는 다음과 같은 [[유계 격자]]이다.
:[[파일:Smallest nonmodular lattice 1.svg]]

[[격자 (순서론)|격자]] <math>L</math>에 대하여, 다음 세 조건이 서로 [[동치]]이며, 이 조건을 만족시키는 격자를 '''모듈러 격자'''라고 한다.
* (A) 모든 <math>a,b,c\in L</math>에 대하여, 만약 <math>a\le c</math>라면 <math>a\vee(b\wedge c)=(a\vee b)\wedge c</math>이다.
* (B) 모든 <math>a,b,c\in L</math>에 대하여, <math>(a\wedge c)\vee(b\wedge c)=((a\wedge c)\vee b)\wedge c</math>이다.
* (C) 오각형 격자를 부분 격자로 하지 않는다.<ref name="Burris">{{서적 인용
|이름1=Stanley N.
|성1=Burris
|이름2=Hanamantagouda P.
|성2=Sankappanavar
|제목=A course in universal algebra
|언어=en
|총서=Graduate Texts in Mathematics
|권=78
|출판사=Springer
|날짜=1981
|isbn=978-1-4613-8132-7
|issn=0072-5285
|mr=0648287
|zbl=0478.08001
|url=https://www.math.uwaterloo.ca/~snburris/htdocs/ualg.html
|url-status=live
|확인날짜=2022-08-08
|보존url=https://web.archive.org/web/20220724132440/https://www.math.uwaterloo.ca/~snburris/htdocs/ualg.html
|보존날짜=2022-07-24
}}</ref>{{rp|11, Theorem 3.5}}<ref name="DaveyPriestley">{{서적 인용
|이름1=Brian A.
|성1=Davey
|이름2=Hilary A.
|성2=Priestley
|제목=Introduction to lattices and order
|언어=en
|판=2
|출판사=Cambridge University Press
|위치=Cambridge
|날짜=2002
|isbn=978-0-521-78451-1
|mr=1902334
|zbl=1002.06001
}}</ref>{{rp|89, Theorem 4.10(i)}}
두 번째 조건은 항등식으로 서술되므로, 모듈러 격자의 [[모임 (집합론)|모임]]은 [[대수 구조 다양체]]를 이룬다. 즉, 모듈러 격자의 경우 격자 준동형사상에 대한 [[상 (수학)|상]] · 부분 격자 · 곱 격자 연산에 대하여 닫혀 있다.
{{증명}}
조건 (A) ⇔ 조건 (B). <math>a\le c</math>는 <math>a\wedge c=a</math>와 [[동치]]이므로 자명하다.

조건 (A) ⇒ 조건 (C). 오각형 격자
:<math>N_5=\{\bot,a,b,c,\top\}</math>
:<math>\bot\le a\le c\le\top</math>
:<math>\bot\le b\le\top</math>
에서,
:<math>a\le c</math>
:<math>(a\vee b)\wedge c=\top\wedge c=c</math>
:<math>a\vee(b\wedge c)=a\vee\bot=a</math>
이다. 따라서, <math>L</math>은 오각형 격자를 부분 격자로 할 수 없다.

조건 (C) ⇒ 조건 (A). 임의의 격자 위에서, 만약 <math>a\le c</math>라면, <math>a\vee(b\wedge c)\le(a\vee b)\wedge c</math>이다. <math>a\le c</math>이며 <math>a\vee(b\wedge c)<(a\vee b)\wedge c</math>인 <math>a,b,c\in L</math>이 존재한다고 가정하자.
:<math>a'=a\vee(b\wedge c)</math>
:<math>c'=(a\vee b)\wedge c</math>
라고 하자. 그렇다면,
:<math>a\vee b=a'\vee b\le c'\vee b\le(a\vee b)\vee b=a\vee b</math>
:<math>b\wedge c=c'\wedge b\ge a'\wedge b\ge(b\wedge c)\wedge b=b\wedge c</math>
이다. 즉,
:<math>a'\vee b=c'\vee b=a\vee b</math>
:<math>a'\wedge b=c'\wedge b=b\wedge c</math>
이다. 따라서,
:<math>\{b\wedge c,a',b,c',a\vee b\}</math>
는 <math>L</math>의 오각형 부분 격자를 이룬다.
{{증명 끝}}

== 성질 ==
모든 [[분배 격자]]는 모듈러 격자이나, 그 역은 성립하지 않는다. 모든 데자르그 격자({{llang|en|Arguesian lattice}})는 모듈러 격자이나, 그 역은 성립하지 않는다.

== 예 ==
환의 아이디얼들의 (포함 관계에 대한) 격자는 [[분배 격자]]이며, 따라서 모듈러 격자이다. 환의 [[가군]]의 부분가군들의 (포함 관계에 대한) 격자는 모듈러 격자이다. 보다 일반적으로, [[아벨 범주]]의 대상의 [[부분 대상]]들의 격자는 모듈러 격자이다.

오각형 격자는 모듈러 격자가 아닌 가장 작은 격자이다.

== 역사와 어원 ==
모듈러 항등식은 [[리하르트 데데킨트]]가 [[아이디얼]]의 격자 및 부분가군의 격자를 연구하면서 최초로 발견하였다.<ref>{{저널 인용 | last=Dedekind | first=Richard | authorlink=리하르트 데데킨트 | title=Über Zerlegungen von Zahlen Durch Ihre Grössten Gemeinsamen Theiler | 날짜=1897 | journal=Fest-Schrift der Herzoglichen Technischen Hochschule Carolo-Wilhelmina | 출판사=Vieweg | pages=1–40|doi=10.1007/978-3-663-07224-9_1|jfm=28.0186.04|isbn= 978-3-663-06311-7|언어=de}}</ref><ref>{{저널 인용 | doi=10.1007/BF01448979 | last=Dedekind | first=Richard | 저자링크=리하르트 데데킨트 | title=Ueber die von drei Moduln erzeugte Dualgruppe | year=1900 | journal=Mathematische Annalen | volume=53 | issue=3 | pages=371–403 | url=http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN002257947|jfm=31.0211.01|언어=de}}</ref> 데데킨트는 격자를 "이중군"({{llang|de|Dualgruppe}})라고 불렀으며, 모듈러 격자를 "가군형 이중군"({{llang|de|Dualgruppe vom Modultypus|두알그루페 폼 모둘튀푸스}})이라고 불렀고, [[분배 격자]]를 "아이디얼형 이중군"({{llang|de|Dualgruppe vom Idealtypus|두알그루페 폼 이데알튀푸스}})이라고 불렀다. 오늘날 쓰이는 용어 "모듈러 격자"({{llang|en|modular lattice}})은 "가군"({{llang|en|module|모듈}})에서 왔다.

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Modular lattice}}

{{전거 통제}}

[[분류:격자 이론]]