모듈러스 (수론) 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[유체론]]에서 '''모듈러스'''({{llang|en|modulus}})는 [[아벨 확대]]에 대한 [[분기화]] 현상을 나타내는 대상이다. [[효과적 베유 인자]]의 개념의 [[대수적 수체]]에 대한 일반화이다.

== 정의 ==
=== 대역체의 아라켈로프 인자 ===
[[대역체]] <math>K</math>의 '''아라켈로프 인자'''(Аракелов因子, {{llang|en|Arakelov divisor}}) 또는 '''충만 아이디얼'''(充滿ideal, {{llang|en|replete ideal}}) <math>\mathfrak A</math>은 다음과 같은 데이터로 구성된다.<ref>{{서적 인용|성=Neukirch|이름=Jürgen|저자링크=위르겐 노이키르히|기타=Norbert Schappacher 역|날짜=1999|제목=Algebraic number theory|총서=Grundlehren der mathematischen Wissenschaften|issn=0072-7830|권=322|출판사=Springer-Verlag|isbn=978-3-540-65399-8|zbl=0956.11021|mr=1697859|doi=10.1007/978-3-662-03983-0|언어=en}}</ref>{{rp|34, §I.6}}
* 각 아르키메데스 [[자리 (수론)|자리]] <math>\mathfrak p</math>에 대하여, [[정수]] <math>\operatorname{ord}_{\mathfrak m}(\mathfrak p)\in\mathbb Z</math>
* 각 비아르키메데스 [[자리 (수론)|자리]] (즉, [[대수적 수체]]의 실수 또는 복소수 자리) <math>\mathfrak p</math>에 대하여, [[실수]] <math>\operatorname{ord}_{\mathfrak m}(\mathfrak p)\in\mathbb R</math>
이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.
* 중복수가 0이 아닌 [[자리 (수론)|자리]]의 수는 유한하다.
*: <math>\left|\{\mathfrak p\in\operatorname{Places}(\mathcal O_K)\colon\operatorname{ord}_{\mathfrak m}(\mathfrak p)>0\}\right|<\aleph_0</math>
이를 자리의 '''중복수'''({{llang|en|multiplicity}})라고 한다. 아라켈로프 인자는 중복수의 성분별 합에 대하여 [[아벨 군]]을 이룬다. 아라켈로프 인자는 다음과 같은 형식적 곱으로 표기한다.
:<math>\mathfrak A=\prod_{\mathfrak p\in\operatorname{Places}(\mathcal O_K)}\mathfrak p^{\operatorname{ord}_{\mathfrak m}(\mathfrak p)}</math>
이는 [[대수적 정수환]]의 [[분수 아이디얼]]의 일반화이다. 즉, 비아르키메데스 성분이 없는 아라켈로프 인자는 분수 아이디얼과 같다.

=== 모듈러스 ===
[[대역체]] <math>K</math>의 '''모듈러스''' <math>\mathfrak m</math>은 다음 조건들을 모두 만족시키는 아라켈로프 인자이다.
* 모든 자리의 중복수는 음이 아니다.
*: <math>\forall\mathfrak p\in\operatorname{Places}(\mathcal O_K)\colon\operatorname{ord}_{\mathfrak m}(\mathfrak p)\ge0</math>
* 만약 <math>K</math>가 [[대수적 수체]]라면, [[실수 자리]]의 중복수는 0 또는 1이며, 복소수 자리의 중복수는 0이다.

만약 <math>K</math>가 [[유한체]] <math>\mathbb F_q</math> 위의 [[고유 스킴|고유]] [[대수 곡선]] <math>X/\operatorname{Spec}\mathbb F_q</math>의 [[유리 함수층|유리 함수체]]라면, <math>K</math> 위의 모듈러스는 <math>X</math>의 [[효과적 베유 인자]] (즉, <math>X</math> 위의 유한 개의 점들의 양의 정수 계수 [[선형 결합]])와 같은 개념이다.

[[대역체]]의 모듈러스 <math>\mathfrak m=\mathfrak m_0\mathfrak m_\infty</math>는 '''유한 부분''' (유한 위치들의 부분 중복집합) <math>\mathfrak m_0</math>와 무한 부분 (무한 위치들의 집합) <math>\mathfrak m_\infty</math>로 분해할 수 있다. [[대수적 수체]]가 아닌 [[대역체]]의 모듈러스의 경우 무한 부분은 1이다. 대수적 수체 <math>K</math>의 모듈러스 <math>\mathfrak m</math>의 유한 부분 <math>\mathfrak m_0</math>는 [[소 아이디얼]]들의 중복집합의 곱이므로, [[대수적 정수환]] <math>\mathcal O_K</math>의 [[아이디얼]]과 같다.

=== 합동 ===
[[대역체]] <math>K</math>의 0이 아닌 두 원소 <math>a,b\in K^\times</math> 및 <math>K</math>의 모듈러스 <math>\mathfrak m</math>에 대하여, 만약 <math>\operatorname{ord}_{\mathfrak m}(\mathfrak p)>0</math>인 모든 [[자리 (수론)|자리]] <math>\mathfrak p</math>에 대하여 다음 조건이 성립한다면, <math>a</math>와 <math>b</math>가 <math>m</math>에 대하여 '''합동'''({{llang|en|congruent}})이라고 하고, <math>a\equiv b\pmod m</math>으로 적는다.
* <math>\mathfrak p</math>가 [[유한 자리]]이라면, <math>\operatorname{ord}_{\mathfrak p}(a/b-1)\ge\operatorname{ord}_{\mathfrak m}(\mathfrak p)</math>
* <math>\mathfrak p</math>가 실수 매장 <math>\sigma\colon K\hookrightarrow\mathbb R</math>에 대한 [[실수 자리]]라면, <math>\sigma(a/b)>0</math>
여기서 <math>\operatorname{ord}_{\mathfrak p}</math>는 <math>\mathfrak p</math>에 대응되는 [[절댓값 (대수학)|절댓값]]이
:<math>|a|_{\mathfrak p}=\exp(-\operatorname{ord}(a))</math>
와 동치가 되는 [[전사 함수]] <math>\operatorname{ord}_{\mathfrak p}\colon K\to\mathbb Z\sqcup\{\infty\}</math>이다.

=== 대수 곡면의 아라켈로프 인자 ===
[[대수적 수체]] 위의 [[대수 곡면]]의 아라켈로프 인자는 [[수렌 아라켈로프]]가 최초로 정의하였으며, 다음과 같다.<ref name="Lang">{{서적 인용|제목=Introduction to Arakelov theory|이름=Serge|성=Lang|저자링크=서지 랭|출판사=Springer-Verlag|isbn=0-387-96793-1|mr=0969124|zbl=0667.14001|날짜=1988|언어=en}}</ref>{{rp|71–76}}

[[대수적 수체]] <math>K</math>가 주어졌다고 하자. <math>\mathcal O_K</math>-[[스킴 (수학)|스킴]] <math>p\colon X/\operatorname{Spec}(\mathcal O_K)</math>이 2차원 [[정역 스킴|정역]] [[정칙 스킴]]이며, <math>p</math>가 [[고유 사상]]이자 [[평탄 사상]]이라고 하자. 또한, <math>\mathcal O_X</math>의 [[일반점]]이 <math>\eta</math>라고 하자.

<math>K</math>의 아르키메데스 [[자리 (수론)|자리]] <math>\sigma\in\operatorname{Places}_\infty(K)</math>에 대하여, <math>X</math>의 <math>\sigma</math>에서의 올 <math>X_\sigma</math>는 다음과 같다.
:<math>X_\sigma=X\times_{\mathcal O_K}\bar K_\sigma</math>
이는 [[리만 곡면]]을 이룬다.

<math>X</math> 위의 '''아라켈로프 인자'''의 [[아벨 군]] <math>\widehat{\operatorname{Div}}(X)</math>은 다음과 같다.
:<math>\widehat{\operatorname{Div}}(X)=\operatorname{Div}(X)\oplus\bigoplus_{\sigma\in\operatorname{Places}_\infty(K)}\mathbb R\sigma</math>
여기서 <math>\textstyle\bigoplus_{\sigma\in\operatorname{Places}_\infty(K)}\mathbb R\sigma</math>는 <math>K</math>의 아르키메데스 위치들에 의하여 생성되는 [[실수 벡터 공간]]이다.

가역 [[유리 함수층|유리 함수]] <math>f\in\Gamma(X;\mathcal K_X^\times)=\left(\operatorname{Frac}\Gamma(X;\mathcal O_X)\right)^\times</math>에 대응하는 '''주 아라켈로프 인자'''({{llang|en|principal Arakelov divisor}}) <math>(f)\in\widehat{\operatorname{Div}}(X)</math>는 다음과 같다.<ref name="Lang"/>{{rp|75–76}}
:<math>(f)=(f)_0+\sum_{\sigma\in\operatorname{Places}_\infty(K)}(f)_\sigma\sigma</math>
:<math>(f)_\sigma=-\int_{X_\sigma}\ln|f_\sigma|\;\mathrm d\mu_\sigma</math>
여기서
* <math>\mathrm d\mu_\sigma</math>는 콤팩트 [[리만 곡면]] <math>X_\sigma</math> 위의, <math>\textstyle\int_{X_\sigma}\mathrm d\mu_\sigma=1</math>이 되는 표준적 [[부피 형식]]이다. 구체적으로, <math>X_\sigma</math> 위의 (1,0)-[[복소수 미분 형식]] <math>\alpha</math>에 대하여 <math>\alpha\wedge\bar\alpha</math>는 (1,0)-[[복소수 미분 형식]]의 [[가역층]] 위의 [[에르미트 계량]]을 정의하며, 이로부터 [[부피 형식]]을 정의할 수 있다.
* <math>(f)_0</math>은 [[베유 주인자]]를 뜻한다.

이는 [[군 준동형]]
:<math>(-)\colon \Gamma(X;\mathcal K_X^\times)\to \widehat{\operatorname{Div}}(X)</math>
을 이루며, 그 [[여핵]]을 '''아라켈로프 인자 유군'''({{llang|en|Arakelov divisor class group}})이라고 한다.<ref name="Lang"/>{{rp|76}}

== 예 ==
유리수체 <math>\mathbb Q</math>의 아라켈로프 인자는
:<math>(r)\infty^a\qquad(r\in\mathbb Q^\times,\;a\in\mathbb R)</math>
의 꼴이다. 유리수체 <math>\mathbb Q</math>의 모듈러스는
:<math>(n)\infty^a\qquad(n\in\mathbb Z^+,\;a\in\{0,1\})</math>
의 꼴이다. 만약 <math>n\in\mathbb Z^+</math>의 [[소인수 분해]]가
:<math>n=\prod_ip^{n_i}</math>
라면, <math>a,b\in\mathbb Q</math>에 대하여
:<math>a\equiv b\pmod{(n)}\iff\exists m,k\colon m(a-b)\in n\mathbb Z,\qquad m\nmid n</math>
이며,
:<math>a\equiv b\pmod{(n)\infty}\iff\left(a/b>1\land a\equiv b\pmod{(n)}\right)</math>
이다.

== 역사 ==
아라켈로프 인자의 개념은 [[수렌 아라켈로프]]가 도입하였다.<ref>{{저널 인용|이름=Сурен Ю.|성=Аракелов|저자링크=수렌 아라켈로프|제목=Теория пересечений дивизоров на арифметической поверхности|저널=Известия Академии наук СССР. Серия математическая|권=38|호=6|쪽=1179–1192|날짜=1974|url=http://mi.mathnet.ru/izv2004|mr=472815|issn=0373-2436|언어=ru}} 영역 {{저널 인용|이름=Suren Yu.|성=Arakelov|저자링크=수렌 아라켈로프|제목=Intersection theory of divisors on an arithmetic surface|저널=Mathematics of the USSR-Izvestiya|권=8|호=6|쪽=1167–1180|날짜=1974|zbl=0355.14002|doi=10.1070/IM1974v008n06ABEH002141|issn=0025-5726|언어=en}}</ref><ref>{{서적 인용|저자링크=수렌 아라켈로프|이름=Suren J.|성=Arakelov|장=Theory of intersections on the arithmetic surface|장url=http://www.mathunion.org/ICM/ICM1974.1/Main/icm1974.1.0405.0408.ocr.pdf|제목=Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Vancouver, 1974|날짜=1975|쪽=405–408|언어=en|access-date=2016-04-30|archive-date=2014-10-30|archive-url=https://web.archive.org/web/20141030151303/http://www.mathunion.org/ICM/ICM1974.1/Main/icm1974.1.0405.0408.ocr.pdf}}</ref>

{{앵커|인도자}}

== <math>L/K</math>의 "정의 모듈러스"와 "인도자" ==
이 글의 본문은 [[아르틴 상호 법칙]]입니다.
:<math>K</math>가 [[대수적 수체]]이며, <math>L/K</math>를 유한 [[아벨 확대]]로 가정하면,
<math>S</math>가 <math>L/K</math>에서 파생되는 모든 소 아이디얼들을 포함하는 유한 집합이라면, <math>S</math>에 대하여 서로소인 [[분수 아이디얼]]들의 [[아벨 군]] <math>I^S_K</math>에서 [[갈루아 군]] <math>\operatorname{Gal}(L/K)</math>으로 가는 다음과 같은 [[군 준동형]]이 존재하며, 이를 '''아르틴 사상'''({{llang|en|Artin map}})이라고 한다.
<!--
:<math>\left(\frac{L/K}{\cdot}\right)\colon I^S_K\to\operatorname{Gal}(L/K)</math>
:<math>\prod_{i=1}^m\mathfrak p_i^{n_i}\mapsto\prod_{i=1}^m\left(\frac{L/K}{\mathfrak{p}_i}\right)^{n_i}</math>
-->

:<math>I^S_K\to\operatorname{Gal}(L/K)</math>
아르틴 상호 법칙에서 어떤 [[모듈러스 (수론)|모듈러스]] <math>c</math><!--  <math>\mathfrak c</math> --> 에 대하여, 군 준동형의 [[핵 (수학)|핵]]은 다음과 같은 형태이다.
:<math>i(K_{\mathfrak m,1})\operatorname N_{L/K}(I^{\mathfrak m}_L)</math>
여기서 <math>K_{\mathfrak m,1}</math>은 <math>\mathfrak m</math>에 대한 [[반직선 유군|반직선]]이며, <math>\operatorname N_{L/K}</math>는 [[체 노름]]이다. 이러한 조건을 만족시키는 [[모듈러스 (수론)|모듈러스]]를 <math>L/K</math>의 '''정의 모듈러스'''({{llang|en|defining modulus}})라고 하며, 여기서, 최소한의 <math>L/K</math>정의모듈러스를 <math>L/K</math>의 '''인도자'''(引導者, {{llang|en|conductor}})라고 한다.

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Modulus in algebraic number theory}}
* {{eom|title=Arakelov geometry}}
* {{nlab|title=Arakelov geometry}}

== 같이 보기 ==
* [[반직선 유군]]

[[분류:유체론]]
[[분류:대수적 수론]]