모듈러성 정리 문서 원본 보기

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[[대수기하학]]과 [[수론]]에서 '''모듈러성 정리'''({{llang|en|modularity theorem}}) 또는 '''다니야마-시무라-베유 추측'''({{llang|en|Taniyama–Shimura-Weil conjecture}})은 [[타원곡선]]과 고전 [[모듈러 곡선]]의 관계에 대한 정리다.<ref>{{서적 인용|이름=Fred|성=Diamond|공저자=Jerry Shurman|제목=A first course in modular forms|출판사=Springer|총서=Graduate Texts in Mathematics|issn=0072-5285|권=228|날짜=2005|isbn=978-0-387-23229-4|doi=10.1007/b138781|zbl=1062.11022|언어=en}}</ref>

== 정의 ==
'''모듈러성 정리'''는 다음과 같다.
:모든 [[유리수|유리]] [[타원곡선]]은 정수 계수 [[유리 함수]]를 통한 [[모듈러 곡선]] <math>X_0(N)</math>의 상으로 나타낼 수 있다.
여기서 <math>X_0(N)</math>은 [[합동 부분군]] <math>\Gamma_0(N)</math>에 대한 콤팩트 [[모듈러 곡선]]이고, <math>N</math>은 타원곡선에 따라 다른 양의 정수다.

== 연관된 성질 ==

모듈러성 정리에 의해 해석학적인 다음 성질이 성립한다. [[유리수|유리]] [[타원 곡선]] <math>E/\mathbb Q</math>의 [[하세-베유 L-함수]]
:<math>L(s,E)=\sum_{n=1}^\infty a_n/n^s</math>
가 주어지면, 그 계수로부터 다음과 같은 [[생성함수]]를 정의할 수 있다.
:<math>f(\tau,E)=\sum_{n=1}^\infty a_n\exp(2\pi in\tau)</math>
그렇다면, 모듈러성 정리에 따라서 <math>f</math>는 무게(weight)가 2이고 준위(level)가 ''N''인 [[모듈러 형식]]이다. 또한, 이 모듈러 형식은 모든 {{임시링크|헤케 연산자|en|Hecke operator}}에 대한 고유 형식이다.

== 역사 ==
[[다니야마 유타카]]가 1956년 (약간의 오류를 포함한 형태로) 추측하였다. 그 뒤 다니야마와 [[시무라 고로]]는 이 추측을 계속 연구하여, 1957년 엄밀한 형태의 추측을 발표하였다. 1967년 [[앙드레 베유]]가 독자적으로 이 추측을 발견하였고,<ref>{{저널 인용 | last=Weil | first=André | authorlink=앙드레 베유 | title=Über die Bestimmung Dirichletscher Reihen durch Funktionalgleichungen | doi=10.1007/BF01361551 | mr=0207658 | 날짜=1967 | journal=Mathematische Annalen | issn=0025-5831 | volume=168 | pages=149–156 | 언어=de}}</ref> 이 추측은 "다니야먀-시무라(-베유) 추측"으로 알려지게 되었다.

1986년 게르하르트 프라이(Gerhard Frey)가 모듈러성 정리(당시 다니야마-시무라 추측)을 사용하여 [[페르마의 마지막 정리]]를 증명할 수 있을 수 있다고 추측하면서,<ref>{{저널 인용 | last=Frey | first=Gerhard | title=Links between stable elliptic curves and certain Diophantine equations | mr=853387 | year=1986 | journal=Annales Universitatis Saraviensis. Series Mathematicae | issn=0933-8268 | volume=1 | issue=1 | pages=iv+40}}</ref> 이 추측이 주목받기 시작했다.

1995년 [[앤드루 와일스]]와 [[리처드 로런스 테일러]]가 준안정(semistable) [[타원곡선]]에 대하여 모듈러성 정리를 증명하였다.<ref>{{저널 인용 | last=Wiles | first=Andrew | authorlink=앤드루 와일스 | title=Modular elliptic curves and Fermat's last theorem | jstor=2118559 | mr=1333035 | year=1995 | journal=Annals of Mathematics (2nd series) | issn=0003-486X | volume=141 | issue=3 | pages=443–551}}</ref><ref>{{저널 인용 | last=Taylor | first=Richard|저자링크=리처드 로런스 테일러 | 공저자=[[앤드루 와일스|Andrew Wiles]] | title=Ring-theoretic properties of certain Hecke algebras | doi=10.2307/2118560 | mr=1333036 | year=1995 | journal=Annals of Mathematics (2nd series) | issn=0003-486X | volume=141 | issue=3 | pages=553–572 | 언어=en}}</ref> 이를 사용하여 [[페르마의 마지막 정리]]를 증명할 수 있다. 와일스의 증명을 기반으로 하여, {{임시링크|프레드 다이아몬드|en|Fred Diamond}}, {{임시링크|크리스토프 브뢰이|en|Christophe Breuil}}, {{임시링크|브라이언 콘래드|en|Brian Conrad}}, [[리처드 로런스 테일러]]가 모듈러성 정리 전체를 증명하였다.<ref>{{저널 인용 | last=Diamond | first=Fred | title=On deformation rings and Hecke rings | doi=10.2307/2118586 | mr=1405946 | year=1996 | journal=Annals of Mathematics (2nd series) | issn=0003-486X | volume=144 | issue=1 | pages=137–166|언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용 | last=Conrad | first=Brian | 공저자=Fred Diamond, [[리처드 로런스 테일러|Richard Taylor]] | title=Modularity of certain potentially Barsotti-Tate Galois representations | doi=10.1090/S0894-0347-99-00287-8 | mr=1639612 | year=1999 | journal=Journal of the American Mathematical Society | issn=0894-0347 | volume=12 | issue=2 | pages=521–567|언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용 | last=Breuil | first=Christophe | 공저자=Brian Conrad, Fred Diamond, [[리처드 로런스 테일러|Richard Taylor]] | title=On the modularity of elliptic curves over '''Q''': wild 3-adic exercises | doi=10.1090/S0894-0347-01-00370-8 | mr=1839918 | 날짜=2001 | journal=Journal of the American Mathematical Society | issn=0894-0347 | volume=14 | issue=4 | pages=843–939 | 언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용 | last=Darmon | first=Henri | title=A proof of the full Shimura-Taniyama-Weil conjecture is announced | url=http://www.ams.org/notices/199911/comm-darmon.pdf | mr=1723249 | year=1999 | journal=Notices of the American Mathematical Society | issn=0002-9920 | volume=46 | issue=11 | pages=1397–1401|언어=en}}</ref>

== 각주 ==
{{각주}}
* {{저널 인용|성=Lang|이름=Serge|저자링크=서지 랭|날짜=1995|제목=Some history of the Shimura–Taniyama conjecture|저널=Notices of the American Mathematical Society|권=42|호=11|쪽=1301–1307|url=http://www.ams.org/notices/199511/forum.pdf|언어=en}}
* {{저널 인용|성=Gouvêa|이름=Fernando Q.|날짜=1994|제목=“A marvelous proof”|저널=The American Mathematical Monthly|권=101|호=3|쪽=203–222|doi=10.2307/2975598|jstor=2975598|언어=en}}
* {{저널 인용|성=Mazur|이름=B.|저자링크=배리 메이저|날짜=1991|제목=Number theory as gadfly|저널= The American Mathematical Monthly|권=98|호=7|쪽=593–610|doi=10.2307/2324924|jstor=2324924|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Shimura-Taniyama conjecture|first=H. |last=Darmon}}
* {{매스월드| id=Taniyama-ShimuraConjecture | title= Taniyama-Shimura Conjecture }}
* {{뉴스 인용|제목=갈루아 표현, 보형 형식 그리고 시무라 다양체: 대수ㆍ해석ㆍ기하의 연결고리를 찾아서|저자=박지훈|출판사=포항공대신문|호=264|날짜=2010-09-01|url=http://times.postech.ac.kr/news/articleView.html?idxno=5182}}
* {{수학노트|title=타니야마-시무라 추측(정리)}}

[[분류:대수 곡선]]
[[분류:리만 곡면]]
[[분류:모듈러 형식]]
[[분류:수론 정리]]
[[분류:대수기하학 정리]]