모듈라이 공간 문서 원본 보기

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[[대수기하학]]에서 '''모듈라이 공간'''(moduli空間, {{llang|en|moduli space}})은 각 점이 어떤 공간족의 각 원소와 대응하는 공간이다. 이를 사용하여, 여러 분류 문제를 해결할 수 있다. [[대수적 위상수학]]의 [[분류 공간]]과 유사한 개념이다.

== 정의 ==
[[스킴 (수학)|스킴]]을 [[집합]]으로 대응시키는 [[함자 (수학)|함자]] <math>F\colon\operatorname{Sch}^{\operatorname{op}}\to\operatorname{Set}</math>가 주어졌다고 하자. 이 함자의 '''섬세한 모듈라이 공간'''({{llang|en|fine moduli space}}) <math>(M,\tau)</math>은 <math>F</math>의 [[표현 가능 함자|표현]]이다. 즉,
* <math>M\in\operatorname{Sch}</math>은 [[스킴 (수학)|스킴]]이다.
* <math>\tau\colon F\implies\hom_{\operatorname{Sch}}(-,M)</math>는 [[자연 동형]]이다.
이 정의는 다음과 같이 해석한다.
* 함자 <math>F(B)</math>는 어떤 밑공간 <math>B</math> 위에 존재할 수 있는 모든 공간족(族)들의 집합으로 생각한다.
* <math>\tau</math>는 <math>B</math> 위에 존재하는 공간족들이 사상 <math>B\to M</math>과 대응한다는 것을 의미한다. 즉, <math>B</math> 위의 임의의 공간족은 사상 <math>B\to M</math>으로 인한, <math>M</math> 위의 보편 공간족({{Llang|en|universal family}})의 당김으로 유도된다.

[[함자 (수학)|함자]] <math>F\colon\operatorname{Sch}^{\operatorname{op}}\to\operatorname{Set}</math>의 '''거친 모듈라이 공간'''({{llang|en|coarse moduli space}}) <math>(M,\tau)</math>은 다음을 만족시키는 순서쌍이다.
* <math>M\in\operatorname{Sch}</math>은 스킴이다.
* <math>\tau\colon F\implies\hom_{\operatorname{Sch}}(-,M)</math>는 [[자연 변환]]이다.
* 모든 [[대수적으로 닫힌 체]] <math>K</math>에 대하여, 함수 <math>\tau_{\operatorname{Spec}K}\colon F(\operatorname{Spec}K)\to\hom_{\operatorname{Sch}}(\operatorname{Spec}K,M)</math>은 [[전단사 함수]]이다.
* 임의의 스킴 <math>\tilde M</math> 및 자연 변환 <math>\tilde\tau\colon F\implies\hom_{\operatorname{Sch}}(-,\tilde M)</math>에 대하여, <math>\tilde\tau=\sigma\circ\tau</math>인 자연 변환 <math>\sigma\colon\hom_{\operatorname{Sch}}(-,M)\implies\hom_{\operatorname{Sch}}(-,\tilde M)</math>이 존재한다.

이 밖에도, 스킴의 범주 대신 예를 들어 어떤 주어진 스킴 위의 스킴들의 범주나 다른 기하학적 범주에서도 섬세한·거친 모듈라이 공간을 정의할 수 있다.

일반적으로, [[자기 동형 사상]]을 갖는 공간들의 공간족은 섬세한 모듈라이 공간을 가질 수 없으며, 오직 거친 모듈라이 공간만이 존재한다. 이 경우 추가 구조를 주어 자기 동형을 없애거나,  아니면 [[스택 (수학)|스택]]과 같은 대상을 사용하여야 한다.

== 예 ==
=== 그라스만 다양체 ===
어떤 <math>K</math>-[[벡터 공간]] <math>V</math>에 대하여, [[그라스만 다양체]] <math>G(n,V)</math>는 <math>V</math>의 (원점을 지나는) <math>n</math>차원 부분 벡터 공간들의 모듈라이 공간이다. <math>n=1</math>인 경우, 이는 '''[[사영 공간]]'''으로 불린다.

=== 저우 다양체 ===
[[저우 다양체]] <math>\operatorname{Chow}(d,\mathbb P^3)</math>는 <math>\mathbb P^3</math> 속의 차수 <math>d</math>의 곡선들의 모듈라이 공간이다. 보다 일반적으로, [[힐베르트 스킴]]은 [[사영 공간]] 속의 모든 닫힌 부분 스킴들을 분류하는 모듈라이 공간이다.

=== 곡선의 모듈라이 공간 ===
종수가 <math>g</math>인 [[비특이 대수다양체|비특이]] 사영 대수 곡선들의 경우 (섬세한) 모듈라이 공간이 존재하지 않고, 대신 오직 모듈라이 스택만이 존재하는데, 이를 <math>\mathcal M_g</math>라고 한다. 여기에 [[안정 곡선]]을 추가하여 콤팩트화하면, 종수 <math>g</math>의 안정 곡선들의 모듈라이 스택 <math>\overline{\mathcal M}_g</math>를 얻는다. 물론 종수가 <math>g</math>인 [[비특이 대수다양체|비특이]] (또는 [[안정 곡선|안정]]) 곡선들의 거친 모듈라이 공간은 존재하지만, 이는 모듈라이 스택보다 더 적은 양의 정보를 담고 있다.

== 같이 보기 ==
* [[모듈러스 (물리학)]]
* [[표현 가능 함자]]

== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용
|last=Harris
|first=Joe
|공저자=Ian Morrison
|title=Moduli of Curves
|publisher=Springer
|날짜=1998
|isbn=0-387-98429-1|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{웹 인용|url=http://ncatlab.org/nlab/show/moduli+space|제목=Moduli space|웹사이트=nLab|언어=en}}
* {{매스월드|id=ModuliSpace|title=Moduli space|author=van Tuyll, Edgar}}

{{전거 통제}}

[[분류:모듈라이 이론]]