모델-베유 군 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}

산술 기하에서 '''모델–베유 군'''은 수체 <math>K</math> 위에 정의된 모든 [[아벨 다양체|아벨 버라이어티]] <math>A</math>와 관련된 아벨 군이다. 이는 아벨 버라이어티의 산술 불변량이다. 그것은 단순히  <math>A</math>의 <math>K</math>-점들의 군이다. 그래서 <math>A(K)</math>가 모델–베유 군이다<ref>{{저널 인용|제목=The arithmetic of elliptic curves|저널=Inventiones Mathematicae|성=Tate|이름=John T.|url=https://doi.org/10.1007/BF01389745|날짜=1974-09-01|권=23|호=3|쪽=179–206|언어=en|bibcode=1974InMat..23..179T|doi=10.1007/BF01389745|issn=1432-1297}}</ref><ref>{{서적 인용|url=https://www.worldcat.org/oclc/405546184|제목=The arithmetic of elliptic curves|성=Silverman, Joseph H., 1955–|날짜=2009|판=2nd|출판사=Springer-Verlag|위치=New York|쪽=|isbn=978-0-387-09494-6|oclc=405546184}}</ref><sup>pg 207</sup>. 이 군에 대한 주요 구조 정리는 이 군이 실제로 [[유한 생성 아벨 군]]임을 보여주는 [[모델-베유 정리]]이다. 또한 이 군과 관련된 많은 추측이 있는데, 예를 들어, <math>A(K)</math>의 랭크와 특정 점에서 연관된 [[L-함수]]의 근을 연관시키는 [[버치-스위너턴다이어 추측]]이 있다.

== 예 ==
아벨 버라이어티의 모델–베유 군의 명시적<ref name=":0">{{웹 인용|url=https://www.math.arizona.edu/~jeremybooher/expos/mordellweil.pdf|제목=The Mordell–Weil theorem for elliptic curves|성=Booher|이름=Jeremy|날짜=|웹사이트=|보존url=https://web.archive.org/web/20210127183440/https://www.math.arizona.edu/~jeremybooher/expos/mordellweil.pdf|보존날짜=27 Jan 2021|url-status=live|확인날짜=}}</ref> 예를 구성하는 것은 항상 성공이 보장되지는 않는 중요한 과정이므로 대신 특정 타원 곡선 <math>E/\mathbb{Q}</math>의 경우를 보겠다. <math>E</math>가 [[유리수|유리수 체]] 위에서 [[타원곡선|바이어스트라스 방정식]]<blockquote><math>y^2 = x(x-6)(x+6)</math></blockquote>으로 정의된 타원곡선이라 하자. 이는 판별식 <math>\Delta_E = 2^{12}\cdot 3^6</math>를 갖는다. (그리고 이 다항식은 대역 모델 <math>\mathcal{E}/\mathbb{Z}</math>을 정의하는 데 사용될 수 있다. ). 이는<ref name=":0">{{웹 인용|url=https://www.math.arizona.edu/~jeremybooher/expos/mordellweil.pdf|제목=The Mordell–Weil theorem for elliptic curves|성=Booher|이름=Jeremy|날짜=|웹사이트=|보존url=https://web.archive.org/web/20210127183440/https://www.math.arizona.edu/~jeremybooher/expos/mordellweil.pdf|보존날짜=27 Jan 2021|url-status=live|확인날짜=}}</ref><blockquote><math>E(\mathbb{Q}) \cong \mathbb{Z}/2\times \mathbb{Z}/2 \times \mathbb{Z}</math></blockquote>임을 다음 절차를 통해 보일 수 있다. 먼저, 몇 가지 숫자를 연결하여 몇 가지 명백한 비틀림 점을 찾는다:<blockquote><math>\infty, (0,0), (6,0), (-6,0)</math></blockquote>더욱이, 더 작은 정수 쌍을 시도한 후에 <math>(-3,9)</math>을 발견했다. 이는 분명히 비틀림이 아닌 점이다. <math>E(\mathbb{Q})</math>의 비틀림 부분을 찾는 데 유용한 결과 중 하나는 <math>p</math>와 서로소인 비틀림이다.<math>E(\mathbb{Q})_{\mathrm{tors},p}</math>로 나타내는  <math>p</math>로의 좋은 축소를 가지는 <math>E</math>에 대해,  <math>E(\mathbb{F}_p)</math>로 가는 단사<blockquote><math>E(\mathbb{Q})_{\mathrm{tors},p} \hookrightarrow E(\mathbb{F}_p)</math></blockquote>두 개의 소수 <math>p = 5,7</math>를 확인하고 집합의 기수를 계산한다.<blockquote><math>\begin{align}
\# E(\mathbb{F}_5) &= 8 = 2^3 \\
\# E(\mathbb{F}_{7}) &= 12 = 2^2\cdot 3
\end{align}</math></blockquote>두 소수 모두 <math>2^2</math>만 포함하기 때문에 주의하라. 우리는 비틀림 점을 모두 찾았다. 게다가 우리는 점 <math>(-3,9)</math>을 알고 있다  그렇지 않으면 두 크기가 공유하는 소인수를 가지기 때문에 랭크는 무한이다. 따라서 랭크는 최소한 <math>1</math> . 이제 랭크를 계산하는 것은 군 계산<math>E(\mathbb{Q})/2E(\mathbb{Q}) \cong (\mathbb{Z}/2)^{r + 2}</math>, 여기서 <math>r = \operatorname{rank}(E(\mathbb{Q}))</math>으로 구성된 더 힘든 과정이다. 호몰로지 대수학 및 쿰머 사상의 긴 완전열을 사용한다.

== 특별한 경우에 관한 정리 ==
특정 차원의 아벨 버라이어티, 특정 체 또는 기타 특별한 속성을 갖는 모델-베유 군의 구조에 대한 많은 정리가 문헌에 있다.

=== 유리함수체 ''k''(''t'') 위의 아벨 버라이어티 ===
고정 체 <math>k</math>에 대해 정의된 [[초타원 곡선]] <math>C</math>과 아벨리안 버라이어티 <math>A</math>에 대해,  <math>A|_{k(t)}</math>의 비틀림을 <math>A_b</math>로 표시하자. (<math>A</math>를 함수체<math>k(t) = k(\mathbb{P}^1)</math>로 당김) 덮개 사상 <math>f:C \to \mathbb{P}^1</math>과 관련된 체 확대의 [[갈루아 코호몰로지]]에 대해 1-여순환<blockquote><math>b \in Z^1(\operatorname{Gal}(k(C)/k(t)), \text{Aut}(A))</math></blockquote><math>G = \operatorname{Gal}(k(C)/k(t) \cong \mathbb{Z}/2</math>임을 주의하라. 이는 사상이 초타원형이라는 점에서 유래한다. 더 명확하게 말하면, 이 1-여순환은 군 사상으로 제공된다.<blockquote><math>G\times G \to \operatorname{Aut}(A)</math></blockquote>[[보편 성질]]을 사용하는 것은 두 개의 사상 <math>G \to \text{Aut}(A)</math>을 제공하는 것과 같다. 따라서 우리는 그것을 사상<blockquote><math>b = (b_{id}, b_{\iota})</math></blockquote>으로 쓸 수 있다. 여기서 <math>b_{id}</math>는 포함 사상이고  <math>b_\iota</math>는 네거티브 <math>\operatorname{Id}_A</math>로 보내진다. 이것은 대수 기하학의 일반 이론을 사용하여<ref>{{서적 인용|url=https://www.worldcat.org/oclc/681203844|제목=Adeles and algebraic groups|성=Weil, André, 1906-1998.|날짜=1982|출판사=Birkhäuser|위치=Boston|쪽=|장=1.3|isbn=978-1-4684-9156-2|oclc=681203844}}</ref> <sup>pg 5</sup> <math>k(t)</math> 위의 [[Twisted abelian variety|비틀린 아벨 버라이어티]] <math>A_b</math>를 정의하는 데 사용될 수 있다.  특히, 이 구성의 [[보편 성질]]으로부터, <math>k(t)</math> 위의 <math>A_b</math>는 기저체를 <math>k(C)</math>로 바꾸면 <math>A|_{k(C)}</math>와 동형인 아벨 버라이어티이다.

==== 정리 ====
위에 주어진 설정의 경우,<ref>{{저널 인용|제목=The Mordell–Weil group of certain abelian varieties defined over the rational function field|저널=Tohoku Mathematical Journal|성=Hazama|이름=Fumio|url=https://projecteuclid.org/euclid.tmj/1178227300|날짜=1992|권=44|호=3|쪽=335–344|언어=EN|doi=10.2748/tmj/1178227300|issn=0040-8735}}</ref> 아벨 군의 동형이 있다.<blockquote><math>A_b(k(t)) \cong \operatorname{Hom}_k(J(C), A)\oplus A_2(k)</math></blockquote>여기서 <math>J(C)</math>는 곡선 <math>C</math>의 야코비안이다 , 그리고 <math>A_2</math>는 <math>A</math>의 2-비틀림 부분 군이다.

== 같이 보기 ==

* [[모델-베유 정리|모델–베유 정리]]

== 참고문헌 ==
<references />

=== 추가 사례 ===

* [https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-1-4757-9284-3_3 종수 2 곡선의 모델-체유 군]
* [https://mathoverflow.net/questions/283136/determining-the-mordell-weil-group-of-a-universal-elliptic-curve 보편 타원 곡선의 모델-베유 군 결정]
* [https://eudml.org/doc/206809 Galois descent and twists of an abelian variety]
* [[arxiv:1002.3310|함수체에서 정의된 야코비안들의 모델-베유 야코비 군]]

[[분류:아벨 다양체]]
[[분류:타원곡선]]
[[분류:디오판토스 기하학]]