모노이드 대상 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[범주론]]에서 '''모노이드 대상'''(monoid對象, {{llang|en|monoid object}})은 [[모노이드 범주]]에서 [[모노이드]]와 같은 성질을 가진 대상이다.

== 정의 ==
<math>(\mathcal C,\otimes,I,\alpha,\lambda,\rho)</math>가 [[모노이드 범주]]라고 하자. <math>\mathcal C</math>의 '''모노이드 대상''' <math>(M,m,e)</math>는 다음 데이터로 이루어진다.
* <math>M</math>은 <math>\mathcal C</math> 속의 대상이다.
* <math>m\colon M\otimes M\to M</math>, <math>e\colon I\to M</math>는 <math>\mathcal C</math> 속의 [[사상 (범주론)|사상]]이다. 이들은 각각 [[모노이드]]의 [[이항 연산]] 및 [[항등원]]에 해당한다.
이는 다음과 같은 성질을 만족하여야 한다.
* ([[결합 법칙]]) <math>m\circ(m\otimes\operatorname{id}_M)=m\circ(\operatorname{id}_M\otimes m)\circ\alpha_{M,M,M}</math>. (여기서 <math>(M\otimes M)\otimes M=M\otimes(M\otimes M)</math>로 간주한다.) 즉, 다음 [[그림 (범주론)|그림]]은 가환 그림을 이룬다.
:<math>\begin{matrix}
(M\otimes M)\otimes M&\xrightarrow\alpha&M\otimes(M\otimes M)\\
{\scriptstyle m}\downarrow&&\downarrow\scriptstyle m\\
M\otimes M&&M\otimes M\\
{\scriptstyle m}\downarrow&&\downarrow\scriptstyle m\\
M&=&M
\end{matrix}</math>
* ([[항등원]]의 존재) <math>m\circ(e\otimes\operatorname{id}_M)=\lambda_M</math>이고, <math>m\circ(\operatorname{id}_M\otimes e)=\rho_M</math>이다. 즉, 다음 그림은 가환 그림을 이룬다.
:<math>\begin{matrix}
I\otimes M&\xrightarrow e&M\otimes M&\xleftarrow e&M\otimes I\\
&{\scriptstyle\lambda}\searrow&\downarrow\scriptstyle m&\swarrow\scriptstyle\rho\\
&&M
\end{matrix}</math>

== 예 ==
[[집합]]과 [[함수]]의 [[데카르트 모노이드 범주]] 속의 모노이드 대상은 [[모노이드]]와 같다.

범주 <math>\mathcal C</math> 위의 자기 함자 범주 <math>\operatorname{End}\mathcal C</math> 속의 모노이드 대상은 '''[[모나드 (범주론)|모나드]]'''라고 한다. [[아벨 군]]의 범주 <math>\operatorname{Ab}</math>는 텐서곱과 함께 [[모노이드 범주]]를 이루며, 이 [[모노이드 범주]] 속의 모노이드 대상은 [[환 (수학)|환]]의 개념과 같다.

== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용|이름=Serge|성=Lang|저자링크=서지 랭|제목=Algebra|언어=en|기타=Graduate Texts in Mathematics 211|판=3|위치=New York|출판사=Springer|ISBN=978-0-387-95385-4|url=https://www.springer.com/mathematics/algebra/book/978-0-387-95385-4|연도=2002}}

== 같이 보기 ==
* [[내적 범주]]
* [[군 대상]]

== 외부 링크 ==
* {{nlab|id=monoid in a monoidal category|title=Monoid in a monoidal category}}

[[분류:범주론]]
[[분류:반군론]]