모노이드 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
{{대수 구조|expanded=군}}

[[추상대수학]]에서 '''모노이드'''({{llang|en|monoid}})는 [[항등원]]을 갖는, [[결합 법칙]]을 따르는 [[이항 연산]]을 갖춘 [[대수 구조]]이다. [[군 (수학)|군]]의 정의에서 역원의 존재를 생략하거나, [[반군]]의 정의에서 항등원의 존재를 추가하여 얻는다.

== 정의 ==
'''모노이드''' <math>(M,\cdot)</math>는 다음과 같은 데이터로 구성되는 [[대수 구조]]이다.
* <math>M</math>은 [[집합]]이다.
* <math>\cdot\colon M\times M\to M</math>은 [[이항 연산]]이다.
이 데이터는 다음과 같은 두 공리를 만족시켜야 한다.
* ([[결합 법칙]]) 임의의 <math>a,b,c\in M</math>에 대하여, <math>(a\cdot b)\cdot c=a\cdot(b\cdot c)</math>
* ([[항등원]]의 존재) 임의의 <math>a\in M</math>에 대하여 <math>1\cdot a=a\cdot1=a</math>가 성립하는 원소 <math>1\in M</math>이 존재한다. (만약 이러한 항등원이 존재한다면, 이는 유일하다는 것을 쉽게 보일 수 있다.)
두 번째 공리를 생략하면 '''[[반군]]'''의 개념을 얻는다. 즉, 모노이드와 반군의 관계는 [[환 (수학)|환]]과 [[유사환]]의 관계와 같다. 보통, 편의상 이항 연산을 (곱셈과 같이) 생략하는 경우가 많다.

즉, 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.
:[[마그마 (수학)|마그마]] ⊋ [[반군]] ⊋ 모노이드 ⊋ [[군 (수학)|군]]

[[범주론]]적으로, 모노이드는 [[집합]]과 [[함수]]의 범주 <math>\operatorname{Set}</math> 속의 [[모노이드 대상]]이다. 또한, 하나의 대상만을 갖는 [[작은 범주]]는 모노이드와 같은 개념이다. 이 경우, 모든 사상은 [[자기 사상]]이며, 모노이드 이항 연산은 [[자기 사상]]의 합성이다.

=== 모노이드 준동형 ===
두 모노이드 <math>M</math>, <math>N</math> 사이의 '''모노이드 준동형'''(monoid準同型, {{llang|en|monoid homomorphism}})은 다음 조건을 만족시키는 함수 <math>f\colon M\to N</math>이다.
* (이항 연산의 보존) 임의의 <math>m,n\in M</math>에 대하여, <math>f(mn)=f(m)f(n)</math>
* (항등원의 보존) <math>f(1_M)=1_N</math>
둘째 조건은 생략할 수 없다. 첫째 조건을 만족시키지만 둘째 조건을 만족시키지 않는 함수는 모노이드 준동형이 아닌 [[반군 준동형]]이다.

모노이드를 하나의 대상을 갖는 [[범주 (수학)|범주]]로 간주할 때, 모노이드 준동형은 두 범주 사이의 [[함자 (수학)|함자]]와 같다.

=== 부분 모노이드 ===
모노이드 <math>M</math>의 부분 집합 <math>S\subseteq M</math>가 다음 조건을 만족시킨다면, <math>S</math>를 <math>M</math>의 '''부분 모노이드'''(部分monoid, {{llang|en|submonoid}})라고 한다.
* 임의의 <math>s,t\in S</math>에 대하여, <math>st\in S</math>
* <math>1\in S</math>
둘째 조건은 첫째로부터 함의되지 않는다. 첫째 조건을 만족시키지만 둘째 조건을 만족시키지 않는 부분 집합은 [[부분 반군]]을 이루지만, 부분 모노이드를 이루지 않는다.

=== 가역원군 ===
모노이드 <math>M</math>의 원소 <math>m\in M</math>의 '''왼쪽 역원'''({{llang|en|left inverse}})은 (만약 존재한다면) 다음 조건을 만족시키는 원소 <math>n\in M</math>이다.
:<math>nm=1</math>
모노이드 <math>M</math>의 원소 <math>m\in M</math>의 '''오른쪽 역원'''({{llang|en|right inverse}})은 (만약 존재한다면) 다음 조건을 만족시키는 원소 <math>n\in M</math>이다.
:<math>mn=1</math>
<math>m\in M</math>의 왼쪽 역원이자 오른쪽 역원인 원소는 '''역원'''({{llang|en|inverse}})이라고 하고, <math>m^{-1}</math>로 쓴다. 주어진 원소의 왼쪽 역원 및 오른쪽 역원은 유일하지 않을 수 있지만, 주어진 원소의 역원은 (만약 존재한다면) 유일하다. 역원을 갖는 원소를 '''[[가역원]]'''({{llang|en|invertible element}}, {{lang|en|unit}})이라고 한다.

모노이드 <math>M</math>의 가역원들의 [[부분 집합]]은 부분 모노이드를 이루며, 또한 [[군 (수학)|군]]을 이룬다. 이를 <math>M</math>의 '''[[가역원군]]'''({{llang|en|unit group}}) <math>\operatorname{Unit}(M)</math>이라고 한다.

=== 영원과 멱등원 ===
모노이드 <math>M</math> 속에서, 다음과 같은 원소 <math>0\in M</math>이 존재한다면, 이를 <math>M</math>의 '''영원'''({{llang|en|zero element}})이라고 한다.
:<math>0m=m0=0\qquad\forall m\in M</math>
이러한 원소는 만약 존재한다면 유일하다.

모노이드 <math>M</math> 속에서 <math>m^2=m</math>을 만족시키는 원소 <math>m\in M</math>을 '''멱등원'''({{llang|en|idempotent element}})이라고 한다. 항등원 <math>1\in M</math>은 정의에 따라 멱등원이다.

=== 아이디얼 ===
모노이드 <math>M</math> 속에서, 다음 조건을 만족시키는 [[부분 반군]] <math>I\subseteq M</math>을 <math>M</math>의 '''왼쪽 아이디얼'''({{llang|en|left ideal}})이라고 한다.
:<math>mi\in I\qquad\forall m\in M,i\in I</math>
모노이드 <math>M</math> 속에서, 다음 조건을 만족시키는 [[부분 반군]] <math>I\subseteq M</math>을 <math>M</math>의 '''오른쪽 아이디얼'''({{llang|en|left ideal}})이라고 한다.
:<math>im\in I\qquad\forall m\in M,i\in I</math>
왼쪽 아이디얼이자 오른쪽 아이디얼인 부분 반군을 '''아이디얼'''({{llang|en|ideal}})이라고 한다.

아이디얼은 부분 모노이드를 이룰 필요가 없다 (즉, 1을 포함하지 않을 수 있다). 모노이드 <math>M</math>의 부분 모노이드를 이루는 아이디얼은 <math>M</math> 전체 밖에 없다.

=== 그린 관계 ===
{{본문|그린 관계}}
모노이드 <math>M</math> 위에 다음과 같이 5개의 표준적인 [[동치 관계]]가 존재하며, 이를 '''[[그린 관계]]'''라고 한다.<ref name="Green">{{저널 인용|제목=On the structure of semigroups|이름=J. A.|성=Green|권=54|호=1|날짜=1951-07|쪽=163–172|언어=en}}</ref>
:<math>m \;\mathcal L\; n\iff Mm=Mn</math>
:<math>m \;\mathcal R\; n\iff mM=nM</math>
:<math>m \;\mathcal J\; n\iff MmM=MnM</math>
:<math>m \;\mathcal H\; n\iff (m \;\mathcal{L}\; n)\land(m \;\mathcal{R}\; n)</math>
:<math>m \;\mathcal D\; n\iff\exists p\in M\colon m\;\mathcal L\;p\;\mathcal R\;n\iff \exists q\in M\colon m\;\mathcal R\;q\;\mathcal L\;n</math>
즉, <math>\mathcal L</math> · <math>\mathcal R</math> · <math>\mathcal J</math>는 각각 두 원소가 생성하는 왼쪽 · 오른쪽 · 양쪽 아이디얼이 같은지 여부이다. <math>\mathcal H</math>는 <math>\mathcal L</math>과 <math>\mathcal R</math>가 동시에 성립하는 것이며, <math>\mathcal D</math>는 첫째가 생성하는 왼쪽 아이디얼이 둘째가 생성하는 오른쪽 아이디얼과 교차하는지 여부이다.

== 종류 ==
=== 가환 모노이드 ===
모노이드 <math>M</math>이 다음 조건을 만족시킨다면, '''가환 모노이드'''(可換monoid, {{llang|en|commutative monoid}})라고 한다.
:임의의 <math>m,n\in M</math>에 대하여, <math>mn=nm</math>
가환 모노이드인 [[군 (수학)|군]]은 [[아벨 군]]이다. 즉, 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.
:[[마그마 (수학)|마그마]] ⊋ [[반군]] ⊋ 모노이드 ⊋ 가환 모노이드 ⊋ [[아벨 군]] = [[군 (수학)|군]] ∩ 가환 모노이드

=== 멱등 모노이드 ===
모노이드 <math>M</math>이 다음 조건을 만족시킨다면, '''멱등 모노이드'''(冪等monoid, {{llang|en|idempotent monoid}})라고 한다.
:임의의 <math>m\in M</math>에 대하여, <math>m^2=m</math>
자명 모노이드가 아닌 멱등 모노이드는 [[군 (수학)|군]]이 될 수 없다.

== 연산 ==
=== 반대 모노이드 ===
모노이드 <math>(M,\cdot)</math>이 주어졌을 때, 집합 <math>M</math> 위에 다음과 같은 다른 [[이항 연산]] <math>\cdot'</math>을 줄 수 있다.
:<math>\cdot'\colon M\times M\to M</math>
:<math>a\cdot'b=b\cdot a\qquad\forall a,b\in M</math>
그렇다면 <math>(M,\cdot')</math>은 모노이드를 이룬다. 이를 <math>(M,\cdot)</math>의 '''반대 모노이드'''(反對monoid, {{llang|en|opposite monoid}})라고 하고, <math>M^{\operatorname{op}}</math>으로 쓴다.

군론의 [[반대군]]이나, 환론의 [[반대환]]은 반대 모노이드의 특수한 경우이다. 모노이드를 하나의 대상을 갖는 [[범주 (수학)|범주]]로 간주한다면, 반대 모노이드는 [[반대 범주]]의 특수한 경우이다.

군의 경우 모든 군은 스스로의 [[반대군]]과 역원 함수를 통해 표준적으로 [[동형]]이지만, 모노이드의 경우 일반적으로 스스로의 반대 모노이드와 동형이 아니다. (가환 모노이드는 물론 스스로의 반대 모노이드와 같다.)

=== 직접곱 ===
{{본문|직접곱}}
모노이드의 [[모임 (집합론)|모임]]은 [[대수 구조 다양체]]이므로, 여러 개의 모노이드들의 '''[[직접곱]]'''을 정의할 수 있다. 구체적으로, 모노이드들의 집합 <math>\{M_i\}_{i\in I}</math>의 '''직접곱''' <math>\textstyle\prod_iM_i</math>은 집합으로서 [[곱집합]]과 같으며, 그 위의 이항 연산은 다음과 같다.
:<math>(a_i)_{i\in I}\cdot(b_i)_{i\in I}=(a\cdot b)_{i\in I}\qquad\forall a_i,b_i\in M_i</math>
만약 모든 <math>M_i</math>가 가환 모노이드라면, 이들의 직접곱 <math>\textstyle\prod_i M_i</math> 역시 가환 모노이드이다. 모노이드의 직접곱은 모노이드의 범주에서의 [[곱 (범주론)|범주론적 곱]]이다.

=== 자유곱 ===
{{본문|자유곱}}
모노이드의 [[모임 (집합론)|모임]]은 [[대수 구조 다양체]]이므로, 여러 개의 모노이드들의 '''[[자유곱]]'''을 정의할 수 있으며, 이는 모노이드의 범주의 [[쌍대곱]]이다. 구체적으로, 모노이드들의 집합 <math>\{M_i\}_{i\in I}</math>이 주어졌을 때, 자유곱 <math>\textstyle\coprod_iM_i</math>의 원소는 다음과 같은 [[문자열]]이다.
:<math>a_{i_1}a_{i_2}\cdots a_{i_k}\qquad(a_{i_1}\in M_{i_1}\setminus\{1_{M_{i_1}}\},\dots,a_{i_k}\in M_{i_k}\setminus\{1_{M_{i_k}}\};\quad i_1\ne i_2\ne\cdots\ne i_k)</math>
즉, 각 모노이드의 항등원이 아닌 원소들로 구성된 문자열이며, 문자열에서 서로 마주하는 문자들은 서로 다른 모노이드에 속하여야 한다.

=== 0의 추가 ===
모노이드 <math>M</math>이 주어졌을 때, <math>M\sqcup\{0\}</math>에 다음과 같은 [[이항 연산]]을 주자.
:<math>0m=m0=0^2=0\qquad\forall m\in M</math>
그렇다면 <math>M\sqcup\{0\}</math>은 모노이드를 이룬다.

=== 멱집합 ===
모노이드 <math>M</math>이 주어졌을 때, 그 [[멱집합]] <math>\mathcal P(M)</math> 위에 다음과 같은 이항 연산을 주자.
:<math>ST=\{st\colon s\in S,t\in T\}</math>
그렇다면 <math>\mathcal P(M)</math>은 모노이드를 이루며, 이항 연산의 항등원은 [[한원소 집합]] <math>\{1_M\}\in\mathcal P(M)</math>이다.

== 예 ==
모든 [[군 (수학)|군]]은 모노이드를 이룬다. 모든 (곱셈 항등원을 갖는) [[환 (수학)|환]] <math>(R,+,\cdot)</math>은 덧셈 연산을 잊으면 <math>(R,\cdot)</math>은 모노이드를 이룬다. (곱셈 연산을 잊으면 <math>(R,+)</math> 역시 [[아벨 군]]이므로 가환 모노이드를 이룬다.)

유계 [[격자 (순서론)|격자]] <math>(L,\vee,\wedge)</math>의 경우, <math>(L,\vee)</math> 및 <math>(L,\wedge)</math> 둘 다 가환 멱등 모노이드를 이룬다. <math>(L,\wedge)</math>의 항등원은 <math>\bot</math> ([[최소 원소]])이며, <math>(L,\vee)</math>의 항등원은 <math>\top</math> ([[최대 원소]])이다.

[[자연수]](음이 아닌 [[정수]])의 집합 <math>\mathbb N</math>은 덧셈에 대하여 가환 모노이드를 이룬다. (그러나 양의 정수의 집합 <math>\mathbb Z^+</math>은 덧셈에 대하여 가환 [[반군]]을 이루지만 가환 모노이드를 이루지 않는다.)

정수 집합의 다음과 같은 부분 집합들은 곱셈에 대하여 가환 모노이드를 이룬다.
* 양의 정수의 집합 <math>\mathbb Z^+</math>
* 자연수의 집합 <math>\mathbb N=\mathbb Z^+\cup\{0\}</math>
* <math>\{0,1\}</math>
* <math>\{0\}</math>
* <math>\{1\}</math>
* 임의의 정수 <math>k</math>에 대하여, <math>\{1,k,k^2,k^3,\dots\}</math>

=== 자명 모노이드 ===
{{본문|자명군}}
다른 [[대수 구조 다양체]]와 마찬가지로, 모노이드의 경우 '''자명 모노이드'''(自明monoid, {{llang|en|trivial monoid}})를 정의할 수 있다. 이는 [[한원소 집합]] 위에 정의할 수 있는 유일한 [[이항 연산]]이다. 이는 사실 [[아벨 군]]을 이루며, 이를 '''[[자명군]]'''이라고 한다.

=== 자기 사상 모노이드 ===
임의의 [[국소적으로 작은 범주]] <math>\mathcal C</math> 속의 대상 <math>X\in\mathcal C</math>에 대하여, <math>X</math> 위의 [[자기 사상]] 집합 <math>\hom_{\mathcal C}(X,X)</math>은 사상 합성에 대하여 모노이드를 이룬다. 이를 '''[[자기 사상 모노이드]]'''({{llang|en|endomorphism monoid}}) <math>\operatorname{End}_{\mathcal C}X</math>라고 한다. 자기 사상 모노이드 <math>\operatorname{End}_{\mathcal C}X</math>의 [[가역원군]]은 [[자기 동형군]] <math>\operatorname{Aut}_{\mathcal C}X</math>이다.

예를 들어, [[집합]]의 범주 <math>\operatorname{Set}</math>에서, 집합 <math>S</math>의 자기 사상 모노이드 <math>\operatorname{End}_{\operatorname{Set}}S</math>는 '''완전 변환 모노이드'''({{llang|en|full transformation monoid}})라고 하고, 그 가역원군은 <math>S</math>의 '''[[대칭군 (군론)|대칭군]]''' <math>\operatorname{Sym}S</math>이다.

=== 자유 모노이드 ===
모노이드의 모임은 [[대수 구조 다양체]]를 이루므로, [[자유 대수]]를 정의할 수 있다. 이를 '''자유 모노이드'''(自由monoid, {{llang|en|free monoid}})라고 한다. [[집합]] <math>S</math>로부터 생성되는 자유 모노이드는 그 [[클레이니 스타]] <math>S^*</math>와 같다. 즉, <math>S^*</math>의 원소는 <math>S</math>를 알파벳으로 하는 [[문자열]]이며, 모노이드 연산은 문자열의 이음이다. 모노이드 연산의 항등원은 길이가 0인 유일한 문자열이다.

[[공집합]]으로 생성되는 자유 모노이드는 자명 모노이드이다. [[한원소 집합]]으로 생성되는 자유 모노이드는 자연수의 덧셈 모노이드 <math>(\mathbb N,+)</math>와 동형이다. 두 개 이상의 원소를 갖는 집합으로 생성되는 자유 모노이드는 비가환 모노이드이며 무한 집합이다.

=== 자유 가환 모노이드 ===
가환 모노이드의 모임은 [[대수 구조 다양체]]를 이루므로, [[자유 대수]]를 정의할 수 있다. 이를 '''자유 가환 모노이드'''(自由可換monoid, {{llang|en|free commutative monoid}})라고 한다. [[집합]] <math>S</math>로부터 생성되는 자유 가환 모노이드 <math>\mathbb N^S</math>는 <math>S</math>의 원소만을 포함하는 유한 [[중복집합]]들의 집합이다. 즉, <math>\mathbb N^S</math>의 원소는 <math>S</math>의 각 원소에 [[자연수]]를 대응시키는 함수
:<math>f\colon S\to\mathbb N</math>
로 생각할 수 있다. 이 위의 이항 연산은 함수의 점별 합이다.
:<math>f+g\colon s\mapsto (f(s)+g(s))</math>

[[공집합]]으로 생성되는 자유 가환 모노이드는 자명 모노이드이다.  [[한원소 집합]]으로 생성되는 자유 가환 모노이드는 한원소 집합 위의 자유 모노이드와 같으며, 자연수의 덧셈 모노이드 <math>(\mathbb N,+)</math>와 동형이다. [[산술의 기본 정리]]에 따르면, 양의 정수 집합의 곱셈 모노이드 <math>(\mathbb Z^+,\cdot)</math>는 [[소수 (수론)|소수]] 집합 위의 자유 가환 모노이드와 표준적으로 동형이다.

=== 작은 크기의 모노이드 ===
크기가 1인 모노이드는 자명 모노이드 밖에 없다. 크기가 2인 모노이드는 다음 2개가 있으며, 둘 다 가환 모노이드이다.
* 2차 [[순환군]] <math>\operatorname{Cyc}(2)</math> ([[아벨 군]]). 표시: <math>\langle x|x^2=1\rangle</math>
* <math>\langle 0|0^2=0\rangle</math> (가환 멱등 모노이드). 이는 [[자명군]]에 0을 추가한 것이다.
크기가 3인 모노이드는 다음 7개가 있으며, 7개 가운데 5개는 가환 모노이드이다.
* 가역원군 크기 3:
** 3차 [[순환군]] <math>\operatorname{Cyc}(3)</math> ([[아벨 군]]). 표시: <math>\langle x|x^4=1\rangle</math>.  3차 [[유한체]] <math>\mathbb F_3</math>의 덧셈 [[아벨 군]]이다.
* 가역원군 크기 2:
** <math>\operatorname{Cyc}(2)\cup\{0\}</math> (가환 모노이드). 표시: <math>\langle 0,x|0x=x0=0^2=0,x^2=1\rangle</math>. 이는 2차 [[순환군]] <math>\operatorname{Cyc}(2)</math>에 0을 추가한 것이다. 또한, 3차 [[유한체]] <math>\mathbb F_3</math>의 곱셈 모노이드이다.
* 가역원군 크기 1:
** <math>\langle 0,x|0x=x0=0^2=0,x^2=x\rangle</math> (가환 멱등 모노이드). 이는 크기 2의 가환 모노이드 <math>\langle x|x^2=x\rangle</math>에 0을 추가한 것이다.
** <math>\langle 0,x|0x=x0=x^2=0^2=0\rangle</math> (가환 모노이드)
** <math>\langle x|x^3=x\rangle</math> (가환 모노이드)
**  <math>\langle x,y|x^2=xy=x,y^2=yx=y\rangle</math> (비가환 멱등 모노이드).
** 위 모노이드의 반대 모노이드. 표시: <math>\langle x,y|x^2=yx=x,y^2=xy=x\rangle</math>
마지막 두 개의, 크기 3의 비가환 모노이드를 '''플립플롭 모노이드'''({{llang|en|flip-flop monoid}})라고 한다. 이는 [[크론-로즈 정리]]에 등장한다.

크기가 <math>n</math>인 모노이드의 동형류의 수는 다음과 같다. (<math>n=1,2,3,\dots</math>)
:1, 2, 7, 35, 228, 2237, 31559, 1668997, … {{OEIS|A058129}}
모노이드와 그 반대 모노이드를 동치로 간주할 때, 크기가 <math>n</math>인 모노이드의 동치류의 수는 다음과 같다. (<math>n=1,2,3,\dots</math>)
:1, 2, 6, 27, 156, 1373, 17730, 858977, 1844075697, 52991253973742, … {{OEIS|A058133}}
크기가 <math>n</math>인 가환 모노이드의 동형류의 수는 다음과 같다. (<math>n=1,2,3,\dots</math>)
:1, 2, 5, 19, 78, 421, 2637, … {{OEIS|A058131}}

=== 연결합 ===
{{본문|연결합}}
주어진 차원의 [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[매끄러운 다양체]]들의 [[미분 동형]]류들의 집합을 생각하자. 이 집합은 [[연결합]]을 통해 가환 모노이드를 이루며, 항등원은 해당 차원의 [[초구]]이다. [[매끄러운 다양체]] 대신 (위상) [[다양체]]를 사용하여도 가환 모노이드를 얻는다.

=== 벡터 다발 ===
{{본문|위상 K이론}}
주어진 [[매끄러운 다양체]] 위의 실수 [[벡터 다발]]들의 동형류의 집합을 생각하자. 이는 [[직합]]을 통해, 또는 텐서곱을 통해 가환 모노이드를 이룬다.

=== 유한 상태 기계 ===
{{본문|유한 상태 기계}}
알파벳 <math>\Sigma</math>에 대한, 상태 집합이 <math>S</math>인 [[유한 상태 기계]] <math>\delta\colon \Sigma\times S\to S</math>는 <math>\Sigma</math> 위의 문자열 모노이드(자유 모노이드)에서 <math>S</math>의 완전 변환 모노이드로 가는 모노이드 준동형
:<math>\Sigma^*\to\operatorname{End}_{\operatorname{Set}}S</math>
을 정의한다. 즉, 이는 <math>S</math> 위에 [[모노이드 작용|작용]]하는 모노이드를 정의한다. 모노이드 이론, 특히 [[크론-로즈 정리]] 등을 사용하여 유한 상태 기계를 분석할 수 있다.

== 같이 보기 ==
* [[모노이드 작용]]
* [[모노이드 대상]]
* [[모노이드 범주]]
* [[모노이드 환]]

== 각주 ==
{{각주}}
* {{서적 인용 | first=John Mackintosh | last=Howie | title=Fundamentals of semigroup theory | series=London Mathematical Society Monographs | volume=12 | 날짜=1995 | publisher=Clarendon Press | location=Oxford | isbn=0-19-851194-9 | zbl=0835.20077 |언어=en}}
* {{서적 인용 | zbl=0945.20036 | last1=Kilp | first1=Mati | last2=Knauer | first2=Ulrich | last3=Mikhalev | first3=Alexander V. | title=Monoids, acts and categories with applications to wreath products and graphs. A handbook for students and researchers | url=http://www.degruyter.com/view/product/46899 | series=de Gruyter Expositions in Mathematics | volume=29 | publisher=Walter de Gruyter | 날짜=2000 | isbn=978-3-11-015248-7 | 언어=en | access-date=2016-01-06 | archive-date=2015-11-01 | archive-url=https://web.archive.org/web/20151101055117/http://www.degruyter.com/view/product/46899 | url-status=dead }}
* {{서적 인용 | 이름=Gerard |성=Lallement | 제목=Semigroups and combinatorial applications | url=https://archive.org/details/semigroupscombin0000lall | 출판사= Wiley | 날짜=1979 | isbn=0471043796 | 언어=en}}
* {{서적 인용 | 제목=Finitely generated commutative monoids | 이름=J. C. | 성 = Rosales|이름2= P. A.|성2= García-Sánchez | 날짜=1999 | 출판사 = Nova Publishers | isbn=978-156072670-8|언어=en}}
* {{서적 인용 | 제목=Theorie der Endlich Erzeugbaren Kommutativen Halbgruppen | 이름=László |성=Rédei| 날짜=1963 | 출판사 = B. G. Teubner  | 위치=[[라이프치히]] |언어=de}}
** {{서적 인용 | 제목=The theory of finitely generated commutative semigroups | 이름=László |성=Rédei| 날짜=1965 | 출판사 = Pergamon Press | 총서= International series of monographs in pure and applied mathematics|권=82|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Monoid}}
* {{매스월드|id=Monoid|title=Monoid}}
* {{매스월드|id=CommutativeMonoid|title=Commutative monoid}}
* {{매스월드|id=Submonoid|title=Submonoid}}
* {{매스월드|id=FreeIdempotentMonoid|title=Free idempotent monoid}}
* {{nlab|id=monoid|title=Monoid}}
* {{nlab|id=category of monoids|title=Category of monoids}}
* {{nlab|id=free monoid|title=Free monoid}}
* {{nlab|id=commutative monoid|title=Commutative monoid}}
* {{nlab|id=MSet}}
* {{nlab|id=topological monoid|title=Topological monoid}}
* {{웹 인용|url=http://mathoverflow.net/questions/131110/what-are-the-main-structure-theorems-on-finitely-generated-commutative-monoids|제목=What are the main structure theorems on finitely generated commutative monoids?|웹사이트=Math Overflow|언어=en}}

[[분류:반군론]]
[[분류:대수 구조]]
[[분류:범주론]]