멱 규칙 문서 원본 보기

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[[미적분학]]에서 '''멱 규칙'''({{llang|en|power rule}})은 [[멱함수]]의 [[도함수]]를 구하는 공식이다.

== 정의 ==
'''멱 규칙'''에 따르면, [[멱함수]] <math>x^n</math> (<math>n\in\mathbb R</math>)의 [[도함수]]는 다음과 같다.
:<math>\frac d{dx}x^n=nx^{n-1}</math>
멱함수의 [[원함수]]를 구하는 공식은 다음과 같으며, 이는 멱 규칙과 동치이다. (여기서 <math>C</math>는 [[적분 상수]]이다.)
:<math>\int x^ndx=\begin{cases}\frac{x^{n+1}}{n+1}+C&n\ne-1\\\ln x+C&n=-1\end{cases}</math>
보다 일반적으로, 멱함수의 [[고계 도함수]]를 구하는 공식은 다음과 같다. (여기서 <math>n^{\underline k}</math>는 [[하강 계승]]이다.)
:<math>\frac{d^k}{dx^k}x^n=n^\underline kx^{n-k}=n(n-1)\cdots(n-k+1)x^{n-k}</math>
미분은 선형성을 가지기 때문에, 멱 규칙으로부터 [[다항식]]의 도함수를 구하는 공식을 유도할 수 있으며, 이는 다음과 같다.
:<math>\frac d{dx}\sum_{k=0}^na_kx^k=\sum_{k=0}^nka_kx^{k-1}</math>
마찬가지로 다항식의 원함수를 구하는 공식은 다음과 같다.
:<math>\int\sum_{k=0}^na_kx^k dx=\sum_{k=0}^n\frac{a_k}{k+1}x^{k+1}+C</math>

== 증명 ==
=== 자연수 지수의 경우 ===
자연수 <math>n</math>에 대한 명제는 [[수학적 귀납법]]으로 증명 가능하다. 우선 <math>n=0</math>인 경우는 [[상수 함수]]의 미분이 0이라는 명제가 되므로 자명하게 성립한다. 이제 어떤 <math>n</math>에 대하여 성립한다고 가정하자. 그렇다면, [[곱 규칙]]에 따라, <math>n+1</math>에 대한 명제
:<math>\frac d{dx}x^{n+1}=\frac d{dx}(x\cdot x^n)=1\cdot x^n+x\cdot nx^{n-1}=(n+1)x^n</math>
역시 성립한다. 수학적 귀납법에 따라 멱 규칙은 임의의 자연수에 대하여 성립한다. [[자연수]] 지수의 멱 규칙은 [[이항 정리]]를 통해 다음과 같이 증명할 수도 있다.
:<math>\begin{align}\frac d{dx}x^n
&=\lim_{\Delta x\to0}\frac{(x+\Delta x)^n-x^n}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to0}\frac{nx^{n-1}\Delta x+\frac{n(n-1)}2x^{n-2}(\Delta x)^2+\cdots nx(\Delta x)^{n-1}+(\Delta x)^n}{\Delta x}\\
&=\lim_{\Delta x\to0}\left(nx^{n-1}+\frac{n(n-1)}2x^{n-2}\Delta x+\cdots +nx(\Delta x)^{n-2}+(\Delta x)^{n-1}\right)=nx^{n-1}
\end{align}</math>

=== 실수 지수의 경우 ===
음의 정수 지수 <math>-n</math>에 대한 명제는 자연수의 경우와 [[몫의 법칙]]을 통해 다음과 같이 증명할 수 있다.
:<math>\frac d{dx}x^{-n}=\frac d{dx}\frac1{x^n}=-\frac{nx^{n-1}}{x^{2n}}=-nx^{-n-1}</math>
[[유리수]] 지수 <math>m/n</math>에 대한 명제는 정수의 경우와 [[연쇄 법칙]]을 통해 다음과 같이 증명할 수 있다.
:<math>mx^{m-1}=\frac d{dx}x^m=\frac d{dx}(x^{m/n})^n=n(x^{m/n})^{n-1}\frac d{dx}x^{m/n}</math>
[[실수]] 지수 <math>r</math>에 대한 명제는 [[지수 함수]] 및 [[로그 함수]]의 미분과 [[연쇄 법칙]]을 통해 다음과 같이 증명할 수 있다.
:<math>\frac d{dx}x^r=\frac d{dx}e^{r\ln x}=e^{r\ln x}\frac rx=rx^{r-1}</math>

== 예 ==
예를 들어, 낮은 양의 정수 차수의 멱함수의 도함수 공식은 다음과 같다.
:<math>\frac d{dx}x=1</math>
:<math>\frac d{dx}x^2=2x</math>
:<math>\frac d{dx}x^3=3x^2</math>
:<math>\frac d{dx}x^4=4x^3</math>
:<math>\frac d{dx}x^5=5x^4</math>

자연수가 아닌 경우에 대한 몇 가지 예시는 다음과 같다.
:<math>\frac d{dx}\frac1x=-\frac1{x^2}</math>
:<math>\frac d{dx}\frac1{x^2}=-\frac2{x^3}</math>
:<math>\frac d{dx}\sqrt x=\frac1{2\sqrt x}</math>
:<math>\frac d{dx}\sqrt[3]x=\frac1{3\sqrt[3]{x^2}}</math>
:<math>\frac d{dx}\frac1{\sqrt x}=-\frac1{2\sqrt{x^3}}</math>
:<math>\frac d{dx}\frac1{\sqrt[3]x}=-\frac1{3\sqrt[3]{x^4}}</math>

다항식의 도함수를 구하는 예시는 다음과 같다.
:<math>\frac d{dx}(x^3-3x+1)=3x^2-3</math>
:<math>\frac d{dx}(4x^5-2x^3+x^2)=20x^4-6x^2+2x</math>

== 같이 보기 ==
* [[미분법]]
* [[곱 규칙]]
* [[몫 규칙]]

== 외부 링크 ==
* {{플래닛매스|id=proofofthepowerrule|title=Proof of the power rule}}
* {{proofwiki|id=Power Rule for Derivatives|제목=Power rule for derivatives}}

[[분류:미적분학]]