멱함수 문서 원본 보기

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[[파일:Potenzfkt.svg|섬네일|멱함수의 그래프]]

[[수학]]에서 '''멱함수'''(冪函數, {{llang|en|power function}})는 [[거듭제곱]]의 지수를 고정하고 밑을 변수로 하는 [[함수]]이다.

== 정의 ==
'''멱함수'''는 다음과 같은 꼴의 [[실수]] 또는 [[복소수]] 함수이다.
:<math>f(x)=cx^\alpha</math>

== 성질 ==
=== 정의역·치역 ===
편의상 <math>c=1</math>이라고 하자. 실수 멱함수 <math>x^\alpha</math>의 [[정의역]]과 [[치역]]은 다음과 같다.
{| class="wikitable"
! 지수 !! 정의역 !! 치역 !! 예시
|-
| 분모와 분자가 [[홀수]]인 양의 [[기약 분수]] (특히, 양의 홀수)
| 전체 실수
| 전체 실수
| <math>x^{1/3}</math>
|-
| 분모가 홀수, 분자가 [[짝수]]인 양의 기약 분수 (특히, 양의 짝수)
| 전체 실수
| 음이 아닌 실수
| <math>x^{2/3}</math>
|-
| 0
| 0이 아닌 실수
| 1
| <math>x^0</math>
|-
| 분모와 분자가 홀수인 음의 기약 분수 (특히, 음의 홀수)
| 0이 아닌 실수
| 0이 아닌 실수
| <math>x^{-1}</math>
|-
| 분모가 홀수, 분자가 짝수인 음의 기약 분수 (특히, 음의 짝수)
| 0이 아닌 실수
| 양의 실수
| <math>x^{-2}</math>
|-
| 분모가 [[짝수]]인 양의 기약 분수
| 음이 아닌 실수
| 음이 아닌 실수
| <math>x^{1/2}</math>
|-
| 기약 분모가 짝수인 음의 기약 분수
| 양의 실수
| 양의 실수
| <math>x^{-1/2}</math>
|-
| [[무리수]]
| 양의 실수
| 양의 실수
| <math>x^{\sqrt2}</math>
|}

=== 미적분 ===
멱함수 <math>x^\alpha</math>의 [[도함수]]는 다음과 같다. 이를 [[멱의 법칙]]이라고 한다.
:<math>(x^\alpha)'=\alpha x^{\alpha-1}</math>
멱함수 <math>x^\alpha</math>의 [[부정적분]]은 다음과 같다.
:<math>\int x^\alpha dx=
\begin{cases}
\textstyle\frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C&\alpha\ne-1\\
\ln x+C&\alpha=-1
\end{cases}
</math>

=== 테일러 급수 ===
멱함수 <math>(1+x)^\alpha</math>의 [[테일러 급수]] 전개는 다음과 같다.
:<math>(1+x)^\alpha=\sum_{n=0}^\infty\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}x^n</math>

== 같이 보기 ==
* [[멱법칙]](power law)

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Power function}}

[[분류:함수의 종류]]