멱집합 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[파일:Hasse diagram of powerset of 3.svg|섬네일|[[하세 도형]]으로 표현한 <math>\{x, y, z\}</math>의 멱집합]]
[[집합론]]에서 '''멱집합'''(冪集合, {{llang|en|power set}})은 주어진 [[집합]]의 모든 [[부분 집합]]들로 구성된 집합이다.

== 정의 ==
[[집합]] <math>X</math>의 '''멱집합''' <math>\mathcal P(X)</math> 또는 <math>2^X</math>는 <math>X</math>의 모든 [[부분 집합]]들로 구성된 집합이다. 즉, 이는 다음과 같다.
:<math>\begin{align}\mathcal P(X)
& =\{S|S\subseteq X\} \\
& =\{S|\forall s\in S\colon s\in X\}
\end{align}
</math>

[[선택 공리]]를 추가한 [[체르멜로-프렝켈 집합론]](ZFC)의 '''멱집합 공리'''({{llang|en|axiom of power set}})는 다음과 같은 명제이다.
* 임의의 집합 <math>X</math>에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 집합 <math>\mathcal Y</math>가 존재한다.
** 임의의 집합 <math>S</math>에 대하여, 만약 (임의의 <math>s\in S</math>에 대하여 <math>s\in X</math>)라면, <math>S\in\mathcal Y</math>이다.
이는 ZFC의 [[공리]]이며, 특히 참이다. 멱집합 공리 및 다른 ZFC 공리들로부터, 임의의 집합 <math>X</math>의 멱집합의 존재를 다음과 같이 증명할 수 있다. 위 조건을 만족시키는 집합 <math>\mathcal Y</math>를 잡자. 그렇다면, 분류 공리꼴에 따라, 다음과 같은 집합을 정의할 수 있다.
:<math>\mathcal Y'=\{S\in\mathcal Y|\forall s\in S\colon s\in X\}</math>
또한, <math>\mathcal Y</math>의 선택에 따라, <math>\mathcal Y'</math>는 <math>X</math>의 멱집합을 이룬다. 확장 공리에 따라, 임의의 집합의 멱집합은 유일하다.

== 성질 ==
=== 크기 ===
집합 <math>X</math>의 멱집합 <math>\mathcal P(X)</math>의 [[집합의 크기|크기]]는
:<math>|\mathcal P(X)|=2^{|X|}</math>
이다. 여기서 <math>|X|</math>는 <math>X</math>의 크기를 나타내며, <math>2^{|X|}</math>는 [[기수 (수학)|기수]]의 거듭제곱을 나타낸다. 만약 <math>X</math>가 [[유한 집합]]일 경우, <math>|X|</math>는 (<math>X</math>의 원소 개수를 나타내는) 자연수이며, 기수의 거듭제곱 연산은 자연수의 거듭제곱 연산과 일치한다. 특히, 유한 집합의 멱집합은 유한 집합이다.

다음과 같은 부등식이 성립한다.
:<math>|\mathcal P(X)|=2^{|X|}\ge|X|^+>|X|</math>
여기서 <math>|X|^+</math>는 <math>|X|</math>보다 큰 최소의 기수이다 ([[선택 공리]]를 가정하면 이는 항상 존재한다). 이를 [[칸토어 정리]]라고 한다. 이에 따라, 멱집합 <math>\mathcal P(X)</math>의 크기는 항상 원래 집합 <math>X</math>의 크기보다 크다. 특히, <math>X</math>가 [[가산 무한 집합]]인 경우 <math>2^{\aleph_0}\ge\aleph_1</math>이다. 명제 <math>2^{\aleph_0}=\aleph_1</math>는 [[연속체 가설]]이라고 부른다. 연속체 가설과 그 부정 모두 [[ZFC]]에서 증명할 수 없다.

=== 순서론적 성질 ===
집합 <math>X</math>의 멱집합은 [[부분 집합]] 관계에 대하여 [[완비 불 대수]] <math>(\mathcal P(X),\subseteq)</math>를 이룬다. [[최소 원소]]는 [[공집합]] <math>\varnothing\in\mathcal P(X)</math>, [[최대 원소]]는 원래의 집합 <math>X\in\mathcal P(X)</math>, 이음은 [[합집합]] <math>\cup</math>, 만남은 [[교집합]] <math>\cap</math>이다. 또한, 임의의 부분 집합 <math>\mathcal S\subseteq\mathcal P(X)</math>의 [[상한과 하한|상한]]은 합집합
:<math>\bigcup\mathcal S=\bigcup_{S\in\mathcal S}S\in\mathcal P(X)</math>
으로 주어지며, [[상한과 하한|하한]]은 교집합
:<math>\bigcap\mathcal S=\bigcap_{S\in\mathcal S}S\in\mathcal P(X)</math>
으로 주어진다 (<math>\textstyle\bigcap\varnothing=X</math>).

=== 함자성 ===
멱집합과 [[상 (수학)|상]]은 [[집합]]의 [[범주 (수학)|범주]] <math>\operatorname{Set}</math> 위의 [[함자 (수학)|함자]]
:<math>\operatorname{Set}\to\operatorname{Set}</math>
:<math>X\to\mathcal P(X)</math>
:<math>(f\colon X\to Y)\mapsto(S\mapsto f(S))</math>
를 이룬다. 멱집합과 [[원상 (수학)|원상]]은 [[함자 (수학)|함자]]
:<math>\operatorname{Set}^{\operatorname{op}}\to\operatorname{Set}</math>
:<math>X\to\mathcal P(X)</math>
:<math>(f\colon X\to Y)\mapsto(T\mapsto f^{-1}(T))</math>
를 이룬다.

== 예 ==
[[공집합]]의 멱집합은 공집합을 원소로 가지는 한원소 집합이다.
:<math>\mathcal P(\varnothing)=\{\varnothing\}</math>

[[한원소 집합]] <math>\{x\}</math>은 공집합과 자기 자신을 부분 집합으로 하므로 그 멱집합은
:<math>\mathcal P(\{x\})=\{\varnothing,\{x\}\}</math>
이다.

두원소 집합 <math>\{a,b\}</math>의 부분 집합들은 정확히 다음과 같다.
* <math>\varnothing</math>
* <math>\{a\}</math>
* <math>\{b\}</math>
* <math>\{a,b\}</math>
따라서 그 멱집합은
:<math>\mathcal P(\{a,b\})=\{\varnothing,\{a\},\{b\},\{a,b\}\}</math>
이다.

세원소 집합 <math>\{a,b,c\}</math>의 부분 집합들은 정확히 다음과 같다.
* <math>\varnothing</math>
* <math>\{a\}</math>
* <math>\{b\}</math>
* <math>\{c\}</math>
* <math>\{a,b\}</math>
* <math>\{a,c\}</math>
* <math>\{b,c\}</math>
* <math>\{a,b,c\}</math>
따라서 그 멱집합은
:<math>\mathcal P(\{a,b,c\})=\{\varnothing,\{a\},\{b\},\{c\},\{a,b\},\{a,c\},\{b,c\},\{a,b,c\}\}</math>
이다.

== 같이 보기 ==
* [[베트 수]]

== 외부 링크 ==
* [http://www.mathlove.org/pds/mathqa/faq/setprop/setprop04.html 수학사랑 Q & A (멱집합)]
* {{eom|제목=Power set}}
* {{매스월드|id=AxiomofthePowerSet|제목=Axiom of the power set}}
* {{nlab|id=power set|제목=Power set}}
* {{플래닛매스|urlname=powerset|제목=Power set}}
* {{플래닛매스|urlname=axiomofpowerset|제목=Axiom of power set}}
* {{proofwiki|id=Definition:Power Set|제목=Definition: power set}}
{{집합론}}

[[분류:집합론의 기본 개념]]
[[분류:불 대수]]