멱영 아이디얼 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[환론]]에서 '''멱영 아이디얼'''(冪零ideal, {{llang|en|nilpotent ideal}})은 아이디얼의 거듭제곱을 취했을 때 [[영 아이디얼]]이 되는 [[아이디얼]]이다. 이는 [[멱영원]]만으로 구성된 아이디얼보다 더 강한 조건이다.

== 정의 ==
[[유사환]] <math>R</math> 속의 [[왼쪽 아이디얼]] <math>\mathfrak i\subseteq R</math>가 주어졌다고 하자.

만약
* <math>\mathfrak i^n=0</math>이 되는 양의 정수 <Math>n\in\mathbb Z^+</math>이 존재한다면, <math>\mathfrak i</math>를 '''멱영 왼쪽 아이디얼'''(冪零-ideal, {{llang|en|nilpotent left ideal}})이라고 한다.
* <math>\mathfrak i</math>의 모든 원소가 [[멱영원]]이라면 (즉, 임의의 <Math>r\in\mathfrak i</math>에 대하여 <math>r^{n_r}=0</math>이 되는 양의 정수 <math>n_r\in\mathbb Z^+</math>이 존재한다면), <math>\mathfrak i</math>를 '''멱영원 왼쪽 아이디얼'''(冪零元-ideal, {{llang|en|nil left ideal}})이라고 한다.

마찬가지로, '''멱영(원) 오른쪽 아이디얼'''(冪零(元)-ideal, {{llang|en|nil(potent) right ideal}}) 및 '''멱영(원) 양쪽 아이디얼'''(冪零(元)兩-ideal, {{llang|en|nil(potent) two-sided ideal}})을 정의할 수 있다.

임의의 [[유사환]]에서, 모든 멱영 아이디얼은 멱영원 아이디얼이지만, 일반적으로 그 역은 (심지어 [[가환환]]에서도) 성립하지 않을 수 있다.

== 성질 ==
'''레비츠키 정리'''(Левицкий定理, {{llang|en|Levitsky theorem}})에 따르면, [[오른쪽 뇌터 환]]의 [[왼쪽 아이디얼]] <math>\mathfrak i\subseteq R</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* 멱영 왼쪽 아이디얼이다.
* 멱영원 왼쪽 아이디얼이다.
마찬가지로, [[오른쪽 뇌터 환]]의 [[오른쪽 아이디얼]]에 대하여 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* 멱영 오른쪽 아이디얼이다.
* 멱영원 오른쪽 아이디얼이다.

=== 쾨테 추측 ===
[[유사환]] <math>R</math>에 대하여, 다음 성질을 생각할 수 있다.
:(가) 만약 <math>R</math> 속의 유일한 멱영원 양쪽 아이디얼이 0이라면, <math>R</math> 속의 유일한 멱영원 왼쪽 아이디얼 역시 0 밖에 없다.

모든 [[유사환]]이 이 조건을 만족시킨다는 명제를 '''쾨테 추측'''(Köthe推測, {{llang|en|Köthe conjecture}})이라고 한다. 이는 일부 종류의 (유사)환들에 대하여 증명되었으나, 일반적인 경우는 현재 미해결 문제이다.

== 역사 ==
쾨테 추측은 1930년에 고트프리트 쾨테({{llang|de|Gottfried Köthe}})가 제시하였다.<ref>{{저널 인용 | last1=Köthe | first1=Gottfried | title=Die Struktur der Ringe, deren Restklassenring nach dem Radikal vollständig reduzibel ist | doi=10.1007/BF01194626 | year=1930 | journal=Mathematische Zeitschrift | volume=32 | issue=1 | pages=161–186 | 언어=de}}</ref>

레비츠키 정리는 1939년에 야코프 레비츠키({{llang|ru|Я́ков Леви́цкий}}, {{llang|uk|Я́ків Леви́цький|야키우 레비치키}}, {{llang|he|יַעֲקֹב לויצקי|야아코브 레비츠키}})가 증명하였으나, [[제2차 세계 대전]]으로 인해 그 증명은 1950년에 출판되었다.<ref>{{저널 인용
 |first1       = Jakob
 |last1        = Levitzki
 |year         = 1950
 |title        = On multiplicative systems
 |journal      = Compositio Mathematica
 |volume       = 8
 |pages        = 76–80
 |mr           = 0033799
 |url          = http://www.numdam.org/item?id=CM_1951__8__76_0
 |언어       = en
 |확인날짜 = 2017-06-07
 |보존url    = https://web.archive.org/web/20160303170849/http://www.numdam.org/item?id=CM_1951__8__76_0
 |보존날짜 = 2016-03-03
 |url-status = dead
}}</ref><ref>{{저널 인용 | last1=Levitzki | first1=Jakob | title=Solution of a problem of G. Koethe | doi=10.2307/2371958 | mr=0012269 | year=1945 | journal=American Journal of Mathematics | issn=0002-9327 | volume=67 | pages=437–442 | jstor=2371958 | issue=3 | 언어=en}}</ref>

== 같이 보기 ==
* [[영근기]]
* [[제이컵슨 근기]]
== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Nilpotent ideal}}
* {{eom|title=Nil ideal}}
* {{nlab|id=nilpotent ideal|title=Nilpotent ideal}}

{{전거 통제}}

[[분류:아이디얼]]