멱영 리 대수 문서 원본 보기

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[[리 군론]]에서 '''멱영 리 대수'''(冪零Lie代數, {{llang|en|nilpotent Lie algebra}})는 유한한 길이의 내림 중심열을 갖는 [[리 대수]]이다.

== 정의 ==
[[가환환]] <math>K</math> 위의 [[리 대수]] <math>\mathfrak g</math>의 '''내림 중심렬'''(-中心列, {{llang|en|lower central series}})은 다음과 같다.
:<math>\mathfrak g=\mathfrak g_0</math>
:<math>\mathfrak g_{i+1}=[\mathfrak g_i,\mathfrak g]</math>
:<math>\mathfrak g=\mathfrak g_0\supseteq\mathfrak g_1\supseteq\mathfrak g_2\supseteq\cdots</math>
만약 어떤 [[자연수]] <math>n\in\mathbb N</math>에 대하여 <math>\mathfrak g_n=0</math>이라면, <math>\mathfrak g</math>를 '''멱영 리 대수'''라고 한다. (<math>0</math>은 유일한 0차원 리 대수이다.) 즉, 다음 명제가 성립하는 자연수 <math>n\in\mathbb N</math>이 존재해야 한다.
:<math>[x_1,[x_2,[x_3,\dotsb[x_n,y]\dotsb]]]=0\qquad\forall x_1,\dotsc,x_n,y\in\mathfrak g</math>

가환환 <math>K</math> 위의 [[리 대수]] <math>\mathfrak g</math>가 다음 조건을 만족시킨다면, '''엥겔 조건 리 대수'''({{llang|en|Engel condition Lie algebra}})라고 하자.
:<math>\overbrace{[x,[x,[x,\dotsb[x}^{n(x,y)},y]\dotsb]]]=0\qquad\forall x,y\in\mathfrak g</math>가 되는 함수 <math>n\colon\mathfrak g\times\mathfrak g\to\mathbb Z^+</math>가 존재한다.

=== 멱영 리 군 ===
<math>\mathbb K\in\{\mathbb R,\mathbb C\}</math>라고 하자. [[리 군]] <math>G</math>의 리 대수가 <math>\mathbb K</math>-[[리 대수]] <math>\mathfrak g</math>라고 할 때, 다음 조건들이 서로 [[동치]]이다.<ref name="Knapp"/>{{rp|105}}
* 항등원을 포함하는 [[연결 성분]] <math>G_0\subseteq G</math>은 (군으로서) [[멱영군]]이다.
* <math>\mathfrak g</math>는 [[멱영 리 대수]]이다.

== 성질 ==
멱영 리 대수의 [[킬링 형식]]은 0이다.

=== 포함 관계 ===
임의의 [[가환환]] <math>K</math>에 대하여, 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.
:<math>K</math>-[[아벨 리 대수]] ⊆ <math>K</math>-멱영 리 대수 ⊆ <math>K</math>-[[가해 리 대수]] ⊆ <math>K</math>-[[리 대수]]
:<math>K</math>-멱영 리 대수 ⊆ <math>K</math>-엥겔 조건 리 대수 ⊆ <math>K</math>-[[리 대수]]
'''엥겔 정리'''에 따르면, (임의의 표수의) [[체 (수학)|체]] <math>K</math> 위의 유한 차원 엥겔 조건 리 대수는 항상 멱영 리 대수이다.<ref name="Knapp">{{서적 인용|last=Knapp|first=Anthony W.|title=Lie groups beyond an introduction|edition= 2판|총서=Progress in Mathematics |권=140|publisher=Birkhäuser|place= Boston|날짜= 2002|isbn=0-8176-4259-5 | zbl=1075.22501|mr=1920389 |url=https://www.springer.com/birkhauser/mathematics/book/978-0-8176-4259-4|언어=en}}</ref>{{rp|46, Theorem 1.35}}

=== 연산에 대한 닫힘 ===
멱영 리 대수의 모든 [[부분 리 대수]]는 멱영 리 대수이다. 멱영 리 대수의 모든 몫 리 대수 역시 멱영 리 대수이다.

== 예 ==
체 <math>K</math>에 대하여, 다음과 같은 <math>n\times n</math> [[정사각 행렬]]들의 집합을 생각하자.
:<math>\mathfrak n(n;K)=\{M\in\operatorname{gl}(n;K)\colon \forall i,j\in\{1,\dots,n\}\colon i\ge j\implies M_{i,j}=0\}</math>
즉, 대각 성분이 0인 [[상삼각 행렬]]의 집합이다. 이는 <math>\mathfrak{gl}(n;K)</math>의 부분 리 대수를 이루며, 또한 멱영 리 대수이다. 구체적으로, <math>\mathfrak n(n;K)</math>의 <math>n</math>번째 내림 중심열은 0이다. 엥겔 정리에 따라서, 모든 멱영 리 대수는 충분히 큰 <math>n</math>에 대한 <math>\mathfrak n(n;K)</math>의 부분 리 대수로 나타낼 수 있다.

== 역사 ==
엥겔 정리는 프리드리히 엥겔({{llang|de|Friedrich Engel}})이 1890년 7월 20일 [[빌헬름 킬링]]에게 보낸 편지에서 대략적으로 증명하였다. 이후 엥겔의 제자 카를 아르투어 움라우프({{llang|de|Karl Arthur Umlauf}})가 1891년 박사 학위 논문에서 이 정의의 완전한 증명을 제시하였다.<ref>{{서적 인용|제목=Über die Zusammensetzung der endlichen continuierlichen Transformationsgruppen, insbesondre der Gruppen vom Range Null |이름=Karl Arthur|성=Umlauf|기타=[[라이프치히 대학교]] 박사 학위 논문|위치=[[라이프치히]]|출판사=Druck von Breitkopf & Härtel|날짜=1891|url=https://archive.org/details/berdiezusammens00umlagoog|언어=de}}</ref>

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Lie algebra, nilpotent}}
* {{eom|title=Lie algebra, nil}}
* {{eom|title=Lie group, nilpotent}}
* {{매스월드|id=NilpotentLieAlgebra|title=Nilpotent Lie algebra}}
* {{매스월드|id=NilpotentLieGroup|title=Nilpotent Lie group}}
* {{매스월드|id=LieAlgebraLowerCentralSeries|title=Lie algebra lower central series}}

== 같이 보기 ==
* [[멱영군]]
* [[가해 리 대수]]
* [[이와사와 분해]]
* [[영다양체]]

{{전거 통제}}

[[분류:리 대수]]