멱등 행렬 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[대수학]]에서, [[멱등원|멱등]] 행렬(idempotent matrix)은 그 자체가 제곱해질 때 결국 자신을 산출하는 행렬이다.<ref>{{서적 인용|last=Chiang |first=Alpha C. |title=Fundamental Methods of Mathematical Economics |url=https://archive.org/details/fundamentalmetho0000chia_b4p1 |publisher=McGraw–Hill |edition=3rd |year=1984 |page=[https://archive.org/details/fundamentalmetho0000chia_b4p1/page/n99 80] |location=New York |isbn=0070108137 }}</ref><ref name=Greene>{{서적 인용|last=Greene |first=William H. |title=Econometric Analysis |url=https://archive.org/details/econometricanaly0000gree_b5n1 |publisher=Prentice–Hall |location=Upper Saddle River, NJ |edition=5th |year=2003 |pages=[https://archive.org/details/econometricanaly0000gree_b5n1/page/n841 808]–809 |isbn=0130661899 }}</ref> 즉, 행렬 M 은 MM = M 인 경우에 멱등원의 행렬이다. 이 제곱 MM 을 정의 하려면 M 이 반드시 [[정사각행렬]]이어야한다. 이 방법으로 보면, 멱등 행렬은 행렬 [[환 (수학)|환]]의 멱등 요소이다.
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==속성==
단위 행렬을 제외하고, 멱등 행렬은 단수입니다. 즉, 독립적 인 행 (및 열)의 수가 행 (및 열)의 수보다 적습니다. 서면으로 볼 수 있습니다.  <math>MM = M </math> , 그것을 가정하면  <math> M </math> 풀 랭크 (non-singular)이며,  <math>M^{-1}</math>} 얻기 위해  <math>M=IM=M^{-1}MM=M^{-1}M=I</math>

멱수 행렬을 항등 행렬에서 빼면 그 결과는 멱등수가됩니다. 이것은 [ I - M ] [ I - M ] = I - M - M + M 2 = I - M - M + M = I - M으로 유지된다.

행렬  <math>A</math> 모든 양의 정수 n에 대해서만 멱등수이다.  <math> A^n = A </math> . 'if'방향은 흔히 <math>n=2</math>. '유일한 경우'부분은 유도에 의한 증거를 사용하여 표시 할 수 있습니다. 분명히 우리는 <math>n=1</math>, 같이 <math> A^1 = A </math>. 한다고 가정  <math> A^{k-1} = A </math> . 그때,  <math> A^k = A^{k-1} A = A A = A </math>, 필요에 따라. 그러므로 유도 원리에 따라 결과가 나온다.

멱등 행렬은 항상 대각선 화 가능하며 그것의 고유 값 은 0 또는 1입니다. [3] 멱등 행렬 - 주 대각선에 있는 요소의 합계 -는 행렬의 순위 와 같으므로 항상 정수입니다. 이것은 랭크를 계산하는 쉬운 방법을 제공합니다. 또는 요소가 명확하게 알려지지 않은 행렬의 궤적을 결정하는 쉬운 방법을 제공합니다 (예 : 통계에 도움이됩니다. 예를 들어, 표본 분산 을 사용하는 편견 의 정도를 설정하는 데 도움이됩니다. 인구 변동 의 추정치).

==응용==
멱등 행렬은 회귀 분석 과 계량 경제학에서 자주 발생합니다. 예를 들어, 일반 최소 자승법에서 회귀 문제는 벡터를 선택하는 것입니다. <math>\beta</math> 계수 예측치의 제곱 된 잔차 (실수 예측)의 합을 최소화하기 위해 e i : 매트릭스 형태로,

:<math>\text{Minimize } (y - X \beta)^T(y - X \beta) </math>

여기서 y는 종속 변수 관측 벡터이며, X는 독립 변수 중 하나의 관측 열이되는 행렬입니다. 결과 추정자는 다음과 같습니다.

:<math>\hat\beta = (X^TX)^{-1}X^Ty </math>

여기서 위첨자 T는 전치 (transpose )를 나타내며, 잔차의 벡터는 [2]

:<math>\hat e = y - X \hat\beta = y - X(X^TX)^{-1}X^Ty = [I - X(X^TX)^{-1}X^T]y = My </math>

여기서 M 과  <math>X(X^TX)^{-1}X^T</math>(후자는 모자 행렬 로 알려져 있음)는 멱등수 및 대칭 행렬이며, 제곱 된 잔차의 합이 계산될 때 단순화를 허용하는 사실입니다.

:<math> \hat e^T \hat e = (My)^T(My) = y^TM^TMy = y^TMMy = y^TMy </math>

M 의 멱등 (idempotency)은 평가자의 분산을 결정할 때와 같이 다른 계산에서도 중요한 역할을한다. <math>\hat \beta</math>

멱등 선형 연산자 P는 널 공간 N (P)을 따라 범위 공간 R (P) 에 투영 연산자입니다. P는 멱등수 및 대칭 인 경우에만 직교 투영 연산자입니다.

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== 예 ==
:<math>2\times 2</math>
:<math>\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}</math>
:<math>\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}</math>
:<math>3\times 3</math>
:<math>\begin{pmatrix}2 & -2 & -4 \\ -1 & 3 & 4 \\ 1 & -2 & -3 \end{pmatrix}</math>
:<math>\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math>

== 같이 보기 ==
* [[항등행렬]]
* [[전치 행렬]]

== 각주 ==
{{각주}}

[[분류:행렬]]
[[분류:회귀분석]]