멩거 스펀지 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[파일:Menger sponge (Level 0-3).jpg|섬네일|1/3분할을 반복하는 0단계,1단계,2단계,3단계의 멩거큐브]]
[[파일:Menger-Schwamm-farbig.png|섬네일|4회의 반복만으로 구현된 멩거 큐브]]수학에서, '''멩거 스펀지'''({{lang|en|Menger sponge}}), '''멩거 큐브''', '''멩거 유니버셜 커브''', '''시어핀스키 큐브''', 또는 '''시어핀스키 스펀지'''<ref>{{서적 인용|last1=Beck|first1=Christian|last2=Schögl|first2=Friedrich|title=Thermodynamics of Chaotic Systems: An Introduction|date=1995|publisher=Cambridge University Press|isbn=9780521484510|pages=97|url=https://books.google.com/books?id=GyPpZ-Lg6KAC&pg=PA97|language=en}}</ref><ref>{{서적 인용|last1=Bunde|first1=Armin|last2=Havlin|first2=Shlomo|title=Fractals in Science|date=2013|publisher=Springer|isbn=9783642779534|page=7|url=https://books.google.com/books?id=dh7rCAAAQBAJ&pg=PA7|language=en}}</ref><ref>{{서적 인용|last1=Menger|first1=Karl|title=Reminiscences of the Vienna Circle and the Mathematical Colloquium|date=2013|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=9789401111027|pages=11|url=https://books.google.com/books?id=BKIyBwAAQBAJ&pg=PR11|language=en}}</ref>는 [[프랙탈 곡선]]이다. 1차원 [[칸토어 집합]]에 이어서 2차원 [[시어핀스키 카펫]]을 3차원으로 일반화했다. 이것은 1926년에 [[카를 멩거 (수학자)|카를 멩거]](Karl Menger)에 의해 [[위상 공간 (수학)|위상]] 차원의 개념에 대한 그의 연구에서 처음 묘사되었다.<ref>{{인용|first= Karl|last= Menger| title= Dimensionstheorie |year =1928| publisher= B.G Teubner Publishers}}</ref><ref>{{인용|first=Karl |last=Menger|title= Allgemeine Räume und Cartesische Räume. I. |year=1926|journal= Communications to the Amsterdam Academy of Sciences}}. English translation reprinted in {{인용|editor1-last=Edgar |editor1-first=Gerald A. |title=Classics on fractals |publisher=Westview Press. Advanced Book Program, Boulder, CO |series=Studies in Nonlinearity |isbn=978-0-8133-4153-8 |mr=2049443 |year=2004}}</ref>

멩거 스펀지는 기존의 차원개념을 [[정수]]로 당연시 하던 고정관념에 [[실수]]차원이 존재한다는 사실을 증명하는 사례이다.

== 멩거큐브 단계 ==

큐브의 단위 길이를 '1'로 둘경우
멩거 큐브내에서 <math>{{1}\over{3}}</math>분할로 3등분하는 단계적 반복으로 증가하는 빈공간의 정육면체의 개수와 빈공간으로 인해 증가하는 큐브의 면적 그리고 상대적으로 줄어드는 부피와의 관계는 아래와 같다.


:길이: <math>L=\left({{1}\over{3}}\right)^{n}</math>
:[[프랙털 차원]]은 <math>{{ln 20}\over{ln 3}}=2.726833027...</math> 차원이다.

{| class="wikitable"
|-
! 단계 !! 정육면체-빈공간 정육면체 개수= 남은 정육면체 !! 겉넓이 !!  부피 !! 이미지
|-
| 0 || <math>1-0=1</math> || <math>1\times 1\times 6=6</math>|| <math>1\times 1\times 1=1^3=1</math>||[[파일:MengerSponge0.gif|200px]]
|-
| 1 ||<math> 27-7=20</math> || <math>\left( {{1}\over{3}}\times {{1}\over{3}}\right) \times \left((2\times 20)+(4\times 8)\right)</math>
<math>= {{(2\times 20)}\over{9}}+{{(4\times 8)}\over{9}}={{72}\over{9}}=8</math>
|| <math>{{1}\over{3^1}}\times{{1}\over{3^1}}\times{{1}\over{3^1}}\times 20={{20}\over{27}}= 0.740740...</math>||[[파일:MengerSponge1.gif|200px]]
|-
| 2 || <math>20\times (27-7)=400</math> || <math>\left( {{1}\over{3^2}}\times {{1}\over{3^2}}\right) \times \left((2\times 20^2)+(4\times 8^2)\right)</math>
<math>= 2\left({{20}\over{9}} \right)^2+ 4\left( {{8}\over{9}}\right)^2={{1056}\over{81}}=13.037037...</math>
||<math>{{1}\over{3^2}}\times{{1}\over{3^2}}\times{{1}\over{3^2}}\times 400={{400}\over{729}}=0.5486968449...</math>||[[파일:MengerSponge2.gif|200px]]
|-
| 3 ||<math>400\times (27-7)=8000</math> ||<math> 2\left({{20}\over{9}} \right)^3+ 4\left( {{8}\over{9}}\right)^3={{18048}\over{729}}=24.75720164...</math> ||<math>{{1}\over{3^3}}\times{{1}\over{3^3}}\times{{1}\over{3^3}}\times 8000={{8000}\over{19683}}= 0.406442107...</math>||[[파일:MengerSponge3.gif|200px]]
|-
| <math>n</math> ||<math>(20)^n = N</math> ||<math> 2\left({{20}\over{9}} \right)^n+ 4\left( {{8}\over{9}}\right)^n</math> ||<math> \left( {{20}\over{27}}\right)^n</math>||
|-
|}
:총 부피 =부피 x 개수
:<math>V=L^3 \times N=\left({{1}\over{3}}\right)^{3n} (20)^n= \left( {{20}\over{27}}\right)^n</math>
:멩거큐브2단계만으로 멩거큐브는 [[단위정육면체]](멩거큐브0단계)면적의 2배를 넘어서며, 부피에서 <math>{{1}\over{2}}</math>배에 접근한다.
<!-- 멩거큐브는 000단계에서 부피가 0.01에 수렴한다.  이때 면적은 단위 정육면체(멩거큐브0단계)의 000배이다.-->
<!-- 
==멩거큐브의 여백 공간==
  -->

== 같이 보기 ==
* [[시에르핀스키 삼각형]]
* [[프랙탈 차원]]
* [[하우스도르프 차원]]

== 각주 ==
{{각주}}

[[분류:위상 공간]]
[[분류:프랙탈]]
[[분류:정육면체]]