메넬라오스 정리 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[파일:Menelaos's theorem 1.png|섬네일|메넬라오스 정리. 직선이 삼각형 내부를 지나는 경우.]]
[[파일:Menelaos's theorem 2.png|섬네일|메넬라오스 정리. 직선이 삼각형 내부를 지나지 않는 경우.]]
[[기하학]]에서 '''메넬라오스 정리'''({{llang|en|Menelaus' theorem}})는 [[삼각형]]의 각 변 위의 점이 같은 직선 위의 점일 필요충분조건을 세 점이 각 변을 분할하는 비율 사이의 관계로 나타내는 정리이다.

== 정의 ==
점 <math>D</math>, <math>E</math>, <math>F</math>가 각각 삼각형 <math>ABC</math>의 변 <math>BC</math>, <math>CA</math>, <math>AB</math>의 직선 위의 점이라고 하자. '''메넬라오스 정리'''에 따르면, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* <math>D</math>, <math>E</math>, <math>F</math>는 [[공선점]]이다.
* [[파일:메넬라오스 정리-유형 3.png|섬네일|메멜라오스 정리. 직선이 삼각형 내로 지나지 않는 경우 - 유형 2.]]<math>\frac{AF}{FB}\cdot\frac{BD}{DC}\cdot\frac{CE}{EA}=-1</math>
두 번째 조건에 등장하는 세 개의 비율은 유향 선분의 비율이다. 즉, <math>AF/FB</math>는 <math>F</math>가 <math>AB</math>의 내분점이면 양의 부호를, 외분점이면 음의 부호를 가지며, 남은 두 비율도 마찬가지다. 따라서 두 번째 조건을 만족시키려면 세 점이 모두 외분점이거나 정확히 하나가 외분점이어야 한다. 메넬라오스 정리는 세 점 가운데 하나가 [[무한원점]]인 경우에도 유효하다. 예를 들어, <math>F</math>가 직선 <math>AB</math> 위의 무한원점일 경우, <math>D</math>, <math>E</math>, <math>F</math>가 공선점일 필요충분조건은 <math>DE</math>가 <math>AB</math>에 평행하는 것이며, <math>AF/FB=-1</math>이 성립한다.

== 증명 ==
=== 증명 1 ===
우선 <math>D</math>, <math>E</math>, <math>F</math>가 [[공선점]]이라고 가정하고, 세 비율의 곱이 −1임을 보이자.<ref name="Coxeter">{{서적 인용
|성1=Coxeter
|이름1=H. S. M.
|저자링크1=해럴드 스콧 맥도널드 콕서터
|성2=Greitzer
|이름2=S. L.
|기타=Buehler, George H. 삽화
|제목=Geometry Revisited
|언어=en
|출판사=Mathematical Association of America
|위치=Washington, D.C.
|날짜=1967
|isbn=0-88385-619-0
}}</ref>{{rp|66-67, §3.4}} [[파슈 공리]]에 의하여 외분점은 홀수 개이므로 세 비율의 곱은 음의 부호를 갖는다. 각 꼭짓점 <math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math>에서 직선 <math>DE</math>에 내린 수선의 발을 <math>P</math>, <math>Q</math>, <math>R</math>라고 하자. 그렇다면 <math>AP</math>, <math>BQ</math>, <math>CR</math>는 평행선이므로
:<math>
\left|\frac{AF}{FB}\right|=\left|\frac{AP}{BQ}\right|,\;
\left|\frac{BD}{DC}\right|=\left|\frac{BQ}{CR}\right|,\;
\left|\frac{CE}{EA}\right|=\left|\frac{CR}{AP}\right|</math>
이다. 따라서
:<math>
\left|\frac{AF}{FB}\cdot\frac{BD}{DC}\cdot\frac{CE}{EA}\right|
=\left|\frac{AP}{BQ}\cdot\frac{BQ}{CR}\cdot\frac{CR}{AP}\right|=1</math>
가 성립한다.

반대로
:<math>\frac{AF}{FB}\cdot\frac{BD}{DC}\cdot\frac{CE}{EA}=-1</math>
이라고 가정하고 <math>D</math>, <math>E</math>, <math>F</math>가 공선점임을 보이자. 직선 <math>DE</math>가 직선 <math>AB</math>와 <math>F'</math>에서 만난다고 하자. 그렇다면 위에서 증명한 바에 의하여
:<math>\frac{AF'}{F'B}\cdot\frac{BD}{DC}\cdot\frac{CE}{EA}=-1</math>
이며, 따라서
:<math>\frac{AF}{FB}=\frac{AF'}{F'B}</math>
이다. 직선 <math>AB</math>를 주어진 비율로 분할하는 점은 유일하므로 <math>F=F'</math>이며, 특히 <math>F</math>는 직선 <math>DE</math> 위의 점이다.

=== 증명 2 ===
우선 <math>D</math>, <math>E</math>, <math>F</math>가 [[공선점]]이라고 가정하자.<ref name="Honsberger">{{서적 인용
|성=Honsberger
|이름=Ross
|제목=Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry
|언어=en
|총서=New Mathematical Library
|권=37
|출판사=The Mathematical Association of America
|위치=Washington
|날짜=1995
|isbn=0-88385-639-5
}}</ref>{{rp|147-148, §13.1}} 꼭짓점 <math>B</math>를 지나는 직선 <math>DE</math>의 평행선이 대변 <math>AC</math>의 직선과 점<math>X</math>에서 만난다고 하자. 그렇다면 삼각형 <math>ABX</math>와 <math>AFE</math>는 서로 닮음이며, 삼각형 <math>BCX</math>와 <math>DCE</math> 역시 서로 닮음이다. 특히
:<math>
\left|\frac{AF}{FB}\right|=\left|\frac{AE}{EX}\right|,\;
\left|\frac{BD}{DC}\right|=\left|\frac{XE}{EC}\right|</math>
이므로,
:<math>
\left|\frac{AF}{FB}\cdot\frac{BD}{DC}\cdot\frac{CE}{EA}\right|
=\left|\frac{AE}{EX}\cdot\frac{XE}{EC}\cdot\frac{CE}{EA}\right|=1</math>
가 성립한다. 세 비율의 곱이 음의 부호라는 증명과 반대 방향의 증명은 첫 증명과 같다.

== 따름정리 ==
=== 변의 중점에 대한 반사 관련 성질 ===
점 <math>D</math>, <math>E</math>, <math>F</math>가 각각 삼각형 <math>ABC</math>의 변 <math>BC</math>, <math>CA</math>, <math>AB</math>의 직선 위의 점이라고 하고, 이들에 각각 변 <math>BC</math>, <math>CA</math>, <math>AB</math>의 중점에 대한 [[반사 (기하학)|반사]]를 가하여 얻는 점을 <math>D'</math>, <math>E'</math>, <math>F'</math>이라고 하자. 그렇다면, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* <math>D</math>, <math>E</math>, <math>F</math>는 공선점이다.
* <math>D'</math>, <math>E'</math>, <math>F'</math>는 공선점이다.
이는 반사된 세 점의 비율이 각각 원래 세 점의 비율의 역수이기 때문이다.

=== 내각과 외각의 이등분선의 성질 ===
삼각형의 세 [[외각의 이등분선]]의 발은 공선점이다. 삼각형의 두 [[내각의 이등분선]]과 남은 한 외각의 이등분선의 발은 공선점이다. 다시 말해, 삼각형 <math>ABC</math>의 세 내각 또는 외각의 이등분선 <math>AD</math>, <math>BE</math>, <math>CF</math>가 대변 <math>BC</math>, <math>CA</math>, <math>AB</math>의 직선과 점 <math>D</math>, <math>E</math>, <math>F</math>에서 만난다고 하자. 만약 이들이 모두 외각의 이등분선이거나 정확히 하나가 외각의 이등분선이라면, 이들의 발 <math>D</math>, <math>E</math>, <math>F</math>는 공선점이다.

=== 수심축 ===
{{본문|수심축}}
삼각형 <math>ABC</math>의 각 꼭짓점 <math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math>에서 대변의 직선에 내린 수선의 발을 <math>P</math>, <math>Q</math>, <math>R</math>라고 하고, [[수심 삼각형]] <math>PQR</math>의 세 변 <math>QR</math>, <math>RP</math>, <math>PQ</math>가 각각 원래 삼각형의 세 변 <math>BC</math>, <math>CA</math>, <math>AB</math>와 점 <math>D</math>, <math>E</math>, <math>F</math>에서 만난다고 하자. 그렇다면 <math>D</math>, <math>E</math>, <math>F</math>는 공선점이며, 이들의 직선을 원래 삼각형 <math>ABC</math>의 '''[[수심축]]'''이라고 한다. 이는 원래 삼각형의 각 변이 수심 삼각형의 외각의 이등분선이기 때문이다.

=== 외접원의 접선의 성질 ===
삼각형 <math>ABC</math>의 [[외접원]]의 각 꼭짓점 <math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math>에서의 [[접선]]이 대변 <math>BC</math>, <math>CA</math>, <math>AB</math>의 직선과 점 <math>D</math>, <math>E</math>, <math>F</math>에서 만난다고 하자. 그렇다면 <math>D</math>, <math>E</math>, <math>F</math>는 공선점이다.

== 일반화 ==
=== 다각형의 경우 ===
임의의 [[다각형]]에서도 성립한다. 예를 들어, [[사각형]] ''ABCD''의 네 변 ''AB'', ''BC'', ''CD'', ''DA'' 또는 그의 연장선과 직선 ''l''의 교점을 ''E'', ''F'', ''G'', ''H''라 하면 다음이 성립한다.
:<math>\frac{AE}{EB} \cdot \frac{BF}{FC} \cdot \frac{CG}{GD} \cdot \frac{DH}{HA}= 1</math>
직선이 다각형을 지나지 않아도 된다.

== 역사 ==
[[알렉산드리아의 메넬라오스]]({{llang|grc|Μενέλαος ὁ Ἀλεξανδρεύς}})는 저서 《구면학》({{llang|la|Sphaerica}})의 제3권에서 [[구면 삼각형]]에 대한 메넬라오스 정리를 제시하였으며, 이를 평면 삼각형에 대한 메넬라오스 정리를 사용하여 증명하였다.<ref name="Kline">{{서적 인용
|성=Kline
|이름=Morris
|제목=Mathematical Thoughts from Ancient to Modern Times. Volume 1
|언어=en
|출판사=Oxford University Press
|위치=New York, New York
|날짜=1972
|isbn=0-19-506135-7
}}</ref>{{rp|121, §5.6}} 평면 삼각형에 대한 정리의 증명은 이 책에서 제시되지 않았다.<ref name="Kline" />{{rp|121, §5.6}}

== 같이 보기 ==
* [[체바 정리]]
* [[하루키 정리]]
* [[체바 직선]]
* [[등각 켤레점]]
* [[각의 이등분선]]

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
{{위키공용분류|Menelaos's theorem|메넬라오스의 정리}}
* {{eom|title=Menelaus theorem}}
* {{매스월드|id=MenelausTheorem|title=Menelaus' theorem}}
* {{ProofWiki|id=Menelaus's Theorem|제목=Menelaus's theorem}}

[[분류:아핀기하학]]
[[분류:삼각형에 대한 정리]]
[[분류:유클리드 평면기하학]]